2024 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
（考试时间：120分钟 全卷满分：150分）
一 选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合要求，
1. 已知集合 A x∣x2 9 0 ,B x∣ 1 x 4 ，则 A B （ ）
A. x | 3 x 4 B. x | 1 x 3
C. x | 3 x 1 D. x | 1 x 4
2. 命题“ x 1, lnx 0”的否定是（ ）
A. x 1, lnx 0 B. x 1, lnx 0
C. x 1, lnx 0 D. x 1, lnx 0
3. 已知向量 a 1,2 ,b 3,1 c c a ，向量 满足 ， a / / c b c ，则 （ ）
A. 2, 1 B. 2, 1 C. 2,1 D. 2,1
y N
4. 根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型 1 N 1 e px ，其中
y（单位：万辆）
y
0
为第 x年底新能源汽车的保有量， p为年增长率， N 为饱和度， y0为初始值.若该市 2023年底的新能源汽
车保有量是 20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为 1300万辆，那么 2033年底该市
新能源汽车的保有量约为（ ）（结果四舍五入保留整数，参考数据： ln0.887 0.12, ln0.30 1.2）
A. 65万辆 B. 64万辆 C. 63万辆 D. 62万辆
5. 已知 a log 15 ,b 5
0.3 ,c log 2，则（ ）
3 6
A. c a b B. a c b
C. c b a D. a b c
cos π 2 5
π
6. 若 x ，则 sin 2x （ ） 6 5 6
1 1 3
A.
3
B. C. - D.
5 5 5 5
7. 为确保马拉松赛事在某市顺利举行，组委会在沿途一共设置了 7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一
个服务站，一共 6个服务站.由含甲 乙在内的 13支志愿者服务队负责这 13个站点的服务工作，每一个站点
有且仅有一支服务队负责服务，则甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻的概率为（ ）
2 3 4 5
A. B. C. D.
13 13 13 13
8. 在数列 an 中，已知 a1 2,a2 1，且满足 an 2 an an 1，则数列 an 的前 2024项的和为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9. 已知点 P是直线 x y 3 0上一动点，过点 P作圆C : (x 1)2 y 2 1的一条切线，切点为A，则线
段 PA长度的最小值为（ ）
A. 2 3 B. 2 2 C. 2 D. 1
x2 y2 b
10. 设 F1,F2 是双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，O是坐标原点，P是渐近线 l : y x上a b a
3
位于第二象限的点，若 OP a, cos F2PO ，则双曲线C的离心率为（ ）3
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
11. 在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，点 E F分别为棱 PA和 PB中点，则四棱锥
P CDEF 和四棱锥 P ABCD的体积之比为（ ）
2 3 3 4
A. B. C. D.
5 7 8 9
12. 已知不等式 axex x 1 lnx有解，则实数 a的取值范围为（ ）
1 1 1 1
A. ,
, 2 B. C. ,
2 D. ,
e e e e
二 填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分.
1-i
13. 已知复数 z= （i为虚数单位），则|z|＝__.
1+ i
14. 数列 an 中， Sn是数列 an 的前 n项和，已知 a1 1,a3 7，数列 log2 an 1 为等差数列，则
S5 __________.
15. 所有棱长均为 6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点M N ，则线段MN长度的最大值为
__________.
16. 已知 F 为抛物线C : x2 8y的焦点，过直线 l : y 4上的动点M 作抛物线的切线，切点分别是P,Q，
则 PQO与 QFO(O为坐标原点）面积之和的最小值为__________.
三 解答题：共 70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤第 17-21题为必考题，每个试
题考生都必须作答.第 22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必做题：共 60分.
17. （12分）在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别是a,b,c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答
下列问题.三个条件为：
① 2bcosA ccosA acosC；② asinB 3bcosA；③ cosC cosB 3sinB cosA 0 .
（1）求角 A的大小；
（2）若 a 7,b c 4，求bc的值.
18. （12分）为了加强企业文化建设，某公司组织了一次趣味答题比赛，题目分为生活和文化两大类，比
赛规则如下：
（i）选手在每个类别中回答 5道题目，每个类别中答对 3道及以上为合格；
（ii）第一个类别答完 5道题并且合格后可以进入下一个类别，否则该选手结束比赛；
（iii）选手进入第二个类别后再回答 5道题，无论答对与否均结束比赛.
若选手甲在生活类答题比赛中每道题目答对的概率都是 0.5.
（1）求选手甲参加生活类答题合格的概率；
（2）已知选手甲参加文化类答题合格的概率为 0.4.比赛规定每个类别答题合格得 5分，不合格得 0分.设累
计得分为 X，为使累计得分 X的期望最大，选手甲应选择先进行哪个类别的答题比赛（每个类别合格的概
率与次序无关），并说明理由.
19.（12分） 如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，延长 AC至D，使 AC CD，连接 B1D,M ,N 分别是
B1D,BC1 的中点，动点 P在直线 AD上， AB AA1 2 .
（1）证明：MN∥平面 ABC；
2 15（ ）试确定点 P位置，使二面角C BC1 P的余弦值为 .
5
20.（12分）在直角坐标系 xOy中，设 F 为抛物线C : y2 2px(p 0) 的焦点，M 为C上位于第一象限
内一点.当MF OF 0时， OFM 的面积为 1.
（1）求C的方程；
（2）当MF OF 3时，如果直线 l与抛物线C交于 A,B两点，直线MA,MB的斜率满足 kMA kMB 2，
试探究点M 到直线 l的距离的最大值.
21.（12分）已知函数 f x ex ax 2 .
（1）若 f x 在区间 0,1 存在极值，求 a的取值范围；
（2）若 x 0, , f x x sinx cosx，求 a的取值范围.
（二）选做题：共 10分.请考生在第 22 23题中选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修 4 4：坐标系与参数方程]
x 3 3cost
22. 在平面直角坐标系中，点 P是曲线C1 : （ t为参数）上的动点，以坐标原点O为极点，x
y 3sint
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将线段OP逆时针旋转90 得到OQ，设点Q的轨迹为
曲线C2 .
（1）求曲线C1,C2 的极坐标方程；
π π
（2）在极坐标系中，点M 的坐标为 8, ，射线 l : ( 0)与曲线C2 3 1
C2分别交于 A,B两点，求
△MAB的面积.
[选修 4-5：不等式选讲]
23. 已知定义在R 上的函数 f x 2x 1 2 x 2 .
（1）若对任意 x R，不等式 f x m 1 m 2 恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若 f x 的最小值为n，设 a,b,c R，满足5a2 3b2 2c2 2n ，求证： 5a 3b 2c 10 .2024 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C C B A D D A D D C A
二、填空题
13.1 14. 57 15. 2 6 16.16 3
三、解答题
17. 【解析】
【小问 1详解】
若选①：因为 2bcosA ccosA acosC，
由正弦定理可得 2sin BcosA sinCcosA sin AcosC sin C A sin B ，
且 B 0, π 1，则 sin B 0，可得cosA ，............4 分
2
且 A 0,π π，所以 A ；..............................................6 分
3
若选②：因为 asinB 3bcosA，由正弦定理可得 sin AsinB 3 sin BcosA，
且 B 0, π ，则 sin B 0，可得 tanA 3，............4 分
π
且 A 0,π ，所以 A ；............................................6 分
3
若选③：因为 cosC cosB 3sinB cosA 0，
则 cos A B cosAcosB 3sinBcosA 0 ，可得 sin AsinB 3 sin BcosA
且 B 0, π ，则 sin B 0，可得 tanA 3，............4 分
且 A 0,π ，所以 A π .............................................6 分
3
【小问 2详解】
π
由（1）可知： A ，
3
由余弦定理可得： a2 b2 c2 2bccos A b c 2 2bc 2bccos A，............8 分
即7 16 2bc bc，解得bc 3 ............................................12 分
18. 【解析】
【小问 1详解】
若选手甲参加生活类答题合格，则答对的题目数量为：3，4，5，
所以选手甲参加生活类答题合格的概率C35 0.5
5 C45 0.5
5 C55 0.5
5 0.5 .............5 分
【小问 2详解】
选手甲先进行生活类答题，理由如下：
若选手甲先进行生活类答题，可知：X的可能取值为 0，5，10，
则 P X 0 1 0.5 0.5,P X 5 0.5 1 0.4 0.3,P X 10 0.5 0.4 0.2 ，
可得 E X 0 0.5 5 0.3 10 0.2 3.5；............8 分
若选手甲先进行文化类答题，可知：X的可能取值为 0，5，10，
则 P X 0 1 0.4 0.6,P X 5 0.4 1 0.5 0.2,P X 10 0.4 0.5 0.2 ，
可得 E X 0 0.6 5 0.2 10 0.2 3；............11 分
因为3 3.5，所以选手甲先进行生活类答题.............12 分
19. 【解析】
【小问 1详解】
连接 B1C，可知 N 为 B1C的中点，
且M 分别是 B1D的中点，则MN∥CD，
且MN 平面 ABC，CD 平面 ABC，所以MN∥平面 ABC ...........4 分
【小问 2详解】
分别取 AC的中点O，连接 BO，
由题意可知： BO AC，
以O为坐标原点，OB,OC分别为 x, y轴，过O作平行于 AA1的直线为 z轴，建立空间直角坐标系，
则 B 3,0,0 ,C 0,1,0 ,D 0,3,0 ,C1 0,1,2 ，
设 P 0, t,0 ，可得BC 3,1,0 ,BC1 3,1,2 ,BP 3,t ,0 ，
n BC 3x y 0
设平面 BCC n
x , y , z 1 11的法向量 1 1 1 ，则 ，
n BC1 3x1 y1 2z1 0
令 x1 1，则 y1 3, z1 0，可得 n 1, 3,0 ，..........6 分
设平面 PBC
1的法向量m
m BP 3x2 ty2 0x2 , y2 , z2 ，则
m
，
BC1 3x2 y2 2z2 0
令 x
3
2 t，则 y2 3, z
3
t 1 ，可得m t, 3, t 12 ，..........8 分2 2
n m t 3
cos n ,m 15
由题意可得： n m
2 t 2 3 3
5 ，..........10 分
t 1 2
4
整理得 t 2 3t 0，解得 t 0或 t 3，
结合图形可知 t 0或 t 3均符合题意，
15
所以当点 P为点O或点D时，二面角C BC1 P的余弦值为 ...........12 分
5
p
20.【解析】（1）由题意得 F ,02
.
由MF OF 0，得M
p
, p
.
2
1 p
从而 OFM 的面积 S OFM p 1，则 p 2 .2 2
所以，抛物线C的方程为 y2 4x ....................4 分
t 2 t 2
（2）设M , t (t 0)，则MF 1 , t ,OF 1,0 .
4 4
t 2
由MF OF 3，得1 3，即 t 4 .
4
所以，此时M 4,4 .....................6 分
由题意可知， l斜率必不等于 0，于是可设 l : x my n .
x my n,
由 22 可得 y 4my 4n 0 .
y 4x
2
上述方程的判别式满足Δ ( 4m) 4 4n 0，即m2 n .
y 2 2
设 A 1
, y1 ,B
y
2 , y4 4 2
.
根据韦达定理有： y1 y2 4m, y1y2 4n .
因为 kMA kMB 2，
y1 4 y2 4 2, 4 42 2 2所以 y1 4 y 2 4 y1 4 y2 4
，
4 4
于是 y1y2 4 y1 y2 24 0 ........................8 分
所以， 4n 16m 24 0，即 n 4m 6 .
故直线 l的方程为 x my 4m 6，即 x 6 m y 4 ，
所以直线 l恒过定点 N 6, 4 ........................10 分
过点M 作m l，且 l m M1，则 MM1 MN 2 17 .
其中，当MN l时等号成立.
所以，点M 到直线 l的距离的最大值为 2 17 ........................12 分
21. 1 f x ex ax 2 f x ex【解析】（ ）由 ，得 a，
当 a 0时， f x 0，则 f x 单调递增， f x 不存在极值.....................2 分
当 a 0时，令 f x 0，则 x lna，
若 x lna，则 f x 0, f x 单调递减；若 x lna，则 f x 0, f x 单调递增.
所以 x lna是 f x 的极小值点.
因为 f x 在区间 0,1 存在极值，则 0 lna 1，即1 a e .
所以， f x 在区间 0,1 存在极值时， a的取值范围是 1,e .....................5 分
（2）由 f x x sinx cosx在 x 0, 时恒成立，
ex即 cosx sinx a 1 x 2 0在 x 0, 时恒成立.
设 g x ex cosx sinx a 1 x 2，则 g x 0在 x 0, 时恒成立，
g x ex则 sinx cosx a 1 ,
令m x g x ex sinx cosx a 1 x，则m x e cosx sinx .
令 n x m x ex cosx sinx，则 n x ex sinx cosx，
则 x 0,1 时， ex sinx 1 n x ex，则 sinx cosx 0; x 1, 时， ex e，则 n x 0,
所以 x 0, 时， n x 0，则 n x 即m x 单调递增，
所以m x m 0 0，则m x 即 g x 单调递增，
所以 g x g 0 1 a ....................8 分
①当 a 1时， g 0 1 a 0，故 x 0, , g x 0，则 g x 单调递增.
所以 g x g 0 0，
所以 f x x sinx cosx在 x 0, 时恒成立.
②当 a 1时， g 0 1 a 0，
g ln a 3 a 3 sin ln a 3 cos ln a 3 a 1
2 2sin ln a
π
3 0，....................10 分 4
故在区间 0, ln a 3 上函数 g x 存在零点 x0，即 g x0 0，
由于函数 g x 在 0, 上单调递增，则 x 0, x0 时， g x g x0 0，
故函数 g x 在区间 0, x0 上单调递减，
所以，当 x 0, x0 时，函数 g x g 0 0，不合题意.
综上所述， a的取值范围为 ,1 .....................12 分
（二）选做题：共 10分.请考生在第 22 23题中选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修 4 4：坐标系与参数方程]
22.
【解析】
x 3 3cost
将曲线C1 : （ t为参数）转化为直角坐标方程，
y 3sint
得 x 3 2 y 2 9，
x cos 2
又 ，所以 cos 3 2 sin2 9，
y sin
整理得 6cos ，即曲线C1的极坐标方程为 6cos ，
以极点O为中心，将线段OP逆时针旋转90 得到OQ，
设Q点的极坐标为 , ，则 P点的极坐标为 ,
π
，
2
π
又点 P在曲线C1上，所以 6cos
6sin
2
即曲线C2的极坐标方程为 6sin ；..........5 分
【小问 2详解】
由题意点M 到射线 l : π ( 0)的距离d 8sin π 4，
3 6
π
联立 3 ，解得 A 3，
6cos
π
联立 3 ，解得 B 3 3，
6sin
故 AB B A 3 3 1 ，
1
所以△MAB的面积为 d AB 6 3 1 ...........10 分2
[选修 4-5：不等式选讲]
23.
【小问 1详解】
f x 2x 1 2 x 2 2x 1 2x 4 2x 1 2x 4 5，
1
当且仅当 2x 1 2x 4 0，即 x 2时取等号，
2
所以 f x 5min ，
因为对任意 x R，不等式 f x m 1 m 2 恒成立，
所以 m 1 m 2 5，
m 2 2 m 1 m 1
则 或 或 ，
1 m m 2 5
1 m 2 m 5
m 1 m 2 5
解得 3 m 2或 2 m 1或1 m 2，
所以实数m的取值范围为[-3,2]；..........5 分
【小问 2详解】
由（1）可得 f x 5min ，所以 n 5，
则5a2 3b2 2c2 10，
2 2 2 2 2 2 2
由柯西不等式可得 5a 3b 2c 5 3 2 5a 3b 2c ，
即10 10 5a 3b 2c 2，
所以 5a 3b 2c 10，
当且仅当 a b c 1时取等号...........10 分
