2024 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
（考试时间：120分钟 全卷满分：150分）
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合要求.
1. 已知集合 A {x∣ 3 x 3},B {x∣ 1 x 4}，则 A B （ ）
A. {x∣ 3 x 4} B. {x∣ 1 x 3}
C. {x∣ 3 x 1} D. {x∣ 1 x 4}
2. 命题“ x 1, lnx 0”的否定是（ ）
A. x 1, lnx 0 B. x 1, lnx 0
C. x 1, lnx 0 D. x 1, lnx 0
3. 盒中有 3个大小质地完全相同的球，其中 1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出 2个球，则
两次都摸出红球的概率为（ ）
1 2 5
A. B. 1 C. D.
3 2 3 6
4. 已知向量 a 1,2 ,b 3,1 ，向量c满足 c a， a / / c b ，则 c （ ）
A. 2, 1 B. 2, 1 C. 2,1 D. 2,1
5. 已知 a log52,b 5
0.3,c log62，则（ ）
A. c
C. c b a D. a b c
y N
6. 根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型 1 N
1 e px ，其中
y（单位：万辆）
y 0
为第 x年底新能源汽车的保有量， p为年增长率， N 为饱和度， y0为初始值.若该市 2023年底的新能源汽
车保有量是 20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为 1300万辆，那么 2033年底该市
新能源汽车的保有量约为（ ）（结果四舍五入保留整数，参考数据： ln0.887 0.12, ln0.30 1.2）
A. 65万辆 B. 64万辆 C. 63万辆 D. 62万辆
7. 已知点 P是直线 x y 3 0上一动点，过点 P作圆C : (x 1)2 y 2 1的一条切线，切点为A，则线
段 PA长度的最小值为（ ）
A. 2 3 B. 2 2 C. 2 D. 1
cos x π 2 5 8. 若 ，则 sin 2x
π
（ ）
6 5 6
1 1 3
A.
3
B. C. - D.
5 5 5 5
9. 已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）
A. 4 B. 2 5 C. 2 7
10. 在数列 an 中，已知 a1 2,a2 1，且满足 an 2 an an 1，则数列 an 的前 2024项的和为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
x2 y2 b
11. 设 F1,F2 是双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，O是坐标原点， P是渐近线 l : y x上a b a
3
位于第二象限的点，若 OP a, cos F2PO ，则双曲线C的离心率为（ ）3
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
12. 已知不等式 axex x 1 lnx有解，则实数 a的取值范围为（ ）
1
A. 2 ,
1 1 1
, , , B. C. 2 D. e e e e
二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分.
z 1-i13. 已知复数 = （i为虚数单位），则|z|＝__.
1+ i
14. 数列 an 中， Sn是数列 an 的前n项和，已知a1 1,a3 7，数列 log2 an 1 为等差数列，则
S5 __________.
15. 所有棱长均为 6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点M N ，则线段MN长度的最大值为
__________.
16. 已知 F 为抛物线C : x2 8y的焦点，过直线 l : y 4上的动点M 作抛物线的切线，切点分别是P,Q，
则直线 PQ过定点__________.
三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必做题：共 60分.
17. （12分）在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且 2bcos A ccos A acosC
（1）求角A的大小；
（2）若 a 7,b c 4，求bc的值．
18. （12分）如图，在四棱锥 P ABCD中， PD 平面 ABCD, AB / /DC ，
AB AD, AB 2PD 2CD 2AD 4,E是PA的中点.
（1）求证：DE 平面 PAB；
（2）求三棱锥 P BCE的体积.
19.（12分）某企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新产品进行合
理定价，该企业将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 xi , yi i 1,2, ,5 ，如表所示：
单价 x（千元） 4 5 6 7 8
销量 y（百件） 67 64 61 58 50
（1）若变量 x, y具有线性相关关系，求产品销量 y（百件）关于试销单价 x（千元）的线性回归方程 y b x a ；
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与 xi对应的产品销量的估计值 y i .当销售数据 xi , yi 对应的残差的
绝对值 y i yi 1时，则将销售数据 xi , yi 称为一个“精准销售”.现从 5个销售数据中任取 2个，求“精
5 5
2
准销售”至少有 1个的概率. 参考数据： x i yi 1760, xi 190参考公式：线性回归方程中b,a 的估
i 1 i 1
n
xi yi nx y
计值分别为b i 1n , a y b x
x2 2i nx
i 1
2 2
20. （12 x y分）已知椭圆C : 1(a b 0)的上下顶点分别为 B1,B2 ，左右顶点分别为 Aa2 b2 1
, A2 ，四边
形 A1B1A2B2的面积为 6 5，若椭圆C上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为 6.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点 1,0 且斜率不为 0的直线 l与C交于 P,Q（异于 A1, A2 ）两点，设直线 A2P与直线 A1Q交于点
M ，证明：点M 在定直线上.
21.（12分） 已知函数 f x ex ax b,a,b R .
（1）若 f x 是R 上的单调递增函数，求 a的取值范围；
（2）当a 0时， f x sinx 0对 x R恒成立，求b的取值范围.
（二）选做题：共 10分.请考生在第 22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计
分
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
x 3 3cost
22. 在平面直角坐标系中，点 P是曲线C1 : （ t为参数）上的动点，以坐标原点O为极点，x
y 3sint
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将线段OP逆时针旋转90 得到OQ，设点Q的轨迹为
曲线C2 .
（1）求曲线C1,C2 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，点M 的坐标为 8,
π π
，射线 l : ( 0)与曲线C1 C2分别交于 A,B两点，求
2 3
△MAB的面积.
[选修 4-5：不等式选讲]
23. 已知定义在R 上的函数 f x 2x 1 2 x 2 .
（1）若对任意 x R，不等式 f x m 1 m 2 恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若 f x 的最小值为n，设 a,b,c R，满足5a2 3b2 2c2 2n ，求证： 5a 3b 2c 10 .2024 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C A C A B D D C A D A
二、填空题
13.1 14. 57 15. 2 6 16. 0, 4
三、解答题
17. 【解析】
【小问 1详解】
若选①：因为 2bcosA ccosA acosC，
由正弦定理可得 2sin BcosA sinCcosA sin AcosC sin C A sin B，
且 B 0, π 1，则 sin B 0，可得cosA ，............4 分
2
且 A 0,π π，所以 A ；..............................................6 分
3
若选②：因为 asinB 3bcosA，由正弦定理可得 sin AsinB 3 sin BcosA，
且 B 0, π ，则 sin B 0，可得 tanA 3，............4 分
且 A 0,π π，所以 A ；............................................6 分
3
若选③：因为 cosC cosB 3sinB cosA 0，
则 cos A B cosAcosB 3sinBcosA 0 ，可得 sin AsinB 3 sin BcosA
且 B 0, π ，则 sin B 0，可得 tanA 3，............4 分
且 A 0,π A π，所以 .............................................6 分
3
【小问 2详解】
π
由（1）可知： A ，
3
由余弦定理可得： a2 b2 c2 2bccos A b c 2 2bc 2bccos A，............8 分
即7 16 2bc bc，解得bc 3 ............................................12 分
18.
【解析】
【小问 1详解】
因为 PD AD， E是 PA的中点，所以DE PA，
又 PD 平面 ABCD， AB 平面 ABCD，
PD AB，又 AB AD， AD,PD 平面 PAD，
AB 平面 PAD，DE 平面 PAD，
∴ DE AB， PA, AB 平面 PAB，
DE 平面 PAB ...................................6 分
【小问 2详解】
根据题意，得VP BCE VC PBE，
又CD / /AB，CD 平面 PAB， AB 平面 PAB，
所以CD / /平面 PAB，
所以点C到平面 PAB的距离等于点D到平面 PAB的距离，
S 1又 VPBE PE
1
AB 2 4 2 2，又DE 平面 PAB，
2 2 DE 2
，
1 4
VP BCE VC PBE VD PBE 2 2 2 ...................................12 分3 3
19.
【解析】
【小问 1详解】
67 64 61 58 50
由题意， n 5， x 6， y 60，5
b$ 1760 5 6 60结合参数数据得 4， a 2 60 4 6 84，190 5 6
所以线性回归方程为 y$ 4x 84 ...................................6 分
【小问 2详解】
当 x 4时， y$1 68， y1 67，则 y 1 y1 1 1，所以 x1, y1 为一个精准销售，
当 x 5时， y$ 64， y2 642 ，则 y 2 y2 0 1，所以 x2 , y2 为一个精准销售，
当 x 6时， y$3 60， y3 61，则 y 3 y3 1 1，所以 x3, y3 为一个精准销售，
当 x 7时， y$ 56， y4 584 ，则 y 4 y4 2 1，所以 x4 , y4 不是一个精准销售，
当 x 8时， y$ 52， y5 505 ，则 y 5 y5 2 1，所以 x3, y3 不是一个精准销售.
记三个精准销售为 A,B,C，两个非精准销售为m,n，
则从 5个销售数据中任选 2个，对应的基本事件有：
AB， AC， Am， An， BC， Bm，Bn，Cm，Cn，mn，
其中满足要求的共有 9个，
9
所以“精准销售”至少有 1个的概率为 p ...................................12 分
10
20.
【解析】
【小问 1详解】
设右焦点坐标为 F2 c,0 ，椭圆C上的一点T m,n ，则 a m a，
m2 n2 b2m2
故 ，即 2 2 ，
a2
2 1 n b b a2
2 2
则T m,n 2到右焦点的距离 d m c n2 m2 2cm c 2 b2 b m
a2
c2m2 cm
2 2cm a
2 a ，
a a
因为 c cm cm m c，所以 c c， c a a c a，
a a
a c cm故 a a c，
a
即椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为 a c，最小值为 a c，
故 a c a c 2a 6，解得 a 3，
1 1
又四边形 A1B1A2B2 的面积为 A1A2 B1B2 2a 2b 2ab 6 5，2 2
故 ab 3 5，所以b 5，
x2 y2
椭圆方程为 1；..................................5 分
9 5
【小问 2详解】
当过点 1,0 且斜率不存在时，直线 l方程为 x 1 0，
x2 y2
1中，令 x= 1 y 2 10得， ，
9 5 3
不妨设 P 1,
2 10 ,Q 1, 2 10 ，
3 3
2 10
直线 ，即
A P : y 3 x 3 A2P : y
10
x 3 ，
2 1 3 6
10
同理可得 A1Q : y x 3 ，3
联立 A2P, A1Q得， x 9，故点M 在直线 x 9上，..................................7 分
当过点 1,0 的直线斜率存在且不为 0时，设直线 l方程设为 x 1 my，
x2 y2
联立 1得 5m2 9 y2 10my 40 0，
9 5
设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 y y
10m , y 40，则 1 2 5m2 9 1
y2 2 ，5m 9
两式相除得my1y2 4y1 4y2 ，
y1 y2
直线 A2P : y x 3 ，直线 A1Q : y x 3 x1 3 x
，
2 3
y y
联立 A2P, A
1
1Q得， x 3 2 x 3 x1 3 x
，
2 3
y1 x 3 y 2故 x 3
1 my1 3 1 my 3
，
2
解得 my1y2 2y1 x 3 my1y2 4y2 x 3 ，
将my1y2 4y1 4y2 代入上式中，得 y1 2y2 x 9 0，
要想 y1 2y2 x 9 0恒成立，则 x 9，
故点M 在定直线 x 9上，
综上，点M 在定直线 x 9上...................................12 分
21.
【解析】
【小问 1详解】
因为 f x ex ax b,a,b R ，所以 f x ex a，
若 f x 是R 上的单调递增函数，则在R 上有 f x 0恒成立，
x
即 ex a 0，所以有 a ex x R ，令 g x e ，
根据指数函数 y ex 的性质有： ex 0，则 ex 0，
所以 g x ,0 x R ，所以 a 0，
综上， f x 是R 上的单调递增函数，a 0 ...................................4 分
【小问 2详解】
当 a 0时，令F x f x sin x ex sin x b，
f x sinx 0对 x R 恒成立，即 F x 0对 x R 恒成立，
F x ex sin x b ex b 1 b 1，
当b 1时， F x 0对 x R 恒成立，即 f x sinx 0对 x R 恒成立；
1
b 1 x
1
2k π F 2k 1 π
2k π
当 时，令 ， e 2
b 1， 2 2
F 1 1 1
ln 1 b 1
因为 2k π 为单调递增函数，令 2k π2 e 2 b 1 0
，解得 k
2
，
π 2
1 ln 1 b 1 1 1
k Z k
2k π
，
2
， F 2k π e 2 b 1 0，
π 2 2
此时， F x 0不恒成立，即 f x sinx 0不恒成立；
综上，当 a 0时， f x sinx 0对 x R 恒成立，b 1...................................12 分
22.
【解析】
【小问 1详解】
x 3 3cost
将曲线C1 : （ t为参数）转化为直角坐标方程，
y 3sint
x 3 2得 y 2 9，
x cos
又 ，所以 cos 3 2 2 sin2 9，
y sin
整理得 6cos ，即曲线C1的极坐标方程为 6cos ，
以极点O为中心，将线段OP逆时针旋转90 得到OQ，
设Q点的极坐标为 , π ，则 P点的极坐标为 , ，
2
π
又点 P在曲线C1上，所以 6cos 6sin
2
即曲线C2的极坐标方程为 6sin ；..................................5 分
【小问 2详解】
π π
由题意点M 到射线 l : ( 0)的距离d 8sin 4，
3 6
π
联立 3 ，解得 A 3，
6cos
π
联立 3 ，解得 B 3 3，
6sin
故 AB B A 3 3 1 ，
1
所以△MAB的面积为 d AB 6 3 1 ...................................10 分2
23.
【解析】
【小问 1详解】
f x 2x 1 2 x 2 2x 1 2x 4 2x 1 2x 4 5，
当且仅当 2x 1 2x 4 0 1，即 x 2时取等号，
2
所以 f x 5min ，
因为对任意 x R ，不等式 f x m 1 m 2 恒成立，
所以 m 1 m 2 5，
m 2 2 m 1 m 1
则 或 或 ，
1 m m 2 5 1 m 2 m 5
m 1 m 2 5
解得 3 m 2或 2 m 1或1 m 2，
所以实数m的取值范围为[-3,2]；..................................5 分
【小问 2详解】
由（1）可得 f x 5min ，所以 n 5，
则5a2 3b2 2c2 10，
2 2 2 2 2 2
由柯西不等式可得 5a 3b 2c 5 2 3 2 5a 3b 2c ，
即10 10 5a 3b 2c 2，
所以 5a 3b 2c 10，
当且仅当 a b c 1时取等号...................................10 分