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文科数学模拟卷答案
一、选择题：
-5 CAAAB; 6--10 BCACA; 11--12 DB.
二、填空题：
13. ; 14. ; 15. ; 16. .
17.解：（1）因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以．
（2）由余弦定理，．
解法一：，
在中，，
故．
解法二：，
则，
故．
18.【解】（1）根据频率分布直方图知，，
所以此次满意度调查中物业所得的平均分值为分.
（2）由（1）及已知得列联表如下：
不满意 满意 总计
男 18 32 50
女 30 20 50
总计 48 52 100
则的观测值为：，
所以有的把握认为“业主满意度与性别有关”.
（3）由（2）知满意度分值低于70分的业主有48位，其中男士18位，女士30位，
用分层抽样方式抽取8位业主，其中男士3位，女士5位，
记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，
从中随机抽取两位为监督员事件为：，
共计28个基本事件，
其中抽到男女各一人有，共15个基本事件，
所以恰好抽到男女各一人为监督员的概率为.
19.(1)证明：取中点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，且平面，所以平面，
同理可知：四边形是平行四边形，所以，证得平面，
因平面，且，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
(2)解：若，
因为，，则，故，
所以两两垂直，
连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥，
则，
因为平面平面，故，
所以该几何体的体积为.
20.解：（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，所以等价于，
令，上述不等式等价于，
显然为单调增函数，∴原不等式等价于，即，
令，则，
在上，单调递增；在上，单调递减，
∴，
，即，∴的取值范围是.
21.（1）由已知，，所以，
又因为双曲线的离心率为，
可知，椭圆的离心率为即，故，进而，
所以椭圆的方程为；
（2）将椭圆上每一点横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线的方程为，
设、、，由，
由韦达定理可得，，
且，即，
由四边形是平行四边形，所以，
则，，
因为点在椭圆上，所以，整理可得，
所以，
则，
到直线的距离，
所以四边形的面积为.
22.解析（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为，
即． ∵ ，，
故曲线C的极坐标方程为． 5分
（2）将代入中，得，则．
∴ |OM|=．将代入中，得．
设点P的极径为，点Q的极径为，则． 所以|OP||OQ|=5．又|OM||OP||OQ|=10，则5=10．∴ t=或
23.解（1）对任意实数，都有恒成立，
又
（2）由（1）知，由柯西不等式知：
当且仅当，时取等号，
的最小值为.
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文科数学模拟卷
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.设集合，集合，则( )
A． B． C． D．
2．复数（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为( )
A． B． C． D．
3. 如图为某一正三棱柱侧视图，则该正三棱柱的体积为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图,若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系,半椭球面的方程为（,且a,b,c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆,给出下列结论：①;②;③;④若,则,其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.《九章算术》是我国古典数学教学名著之一，书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问一边在勾上的内接正方形的边长为多少步？”在此题的条件下，向此三角形内随机投粒豆子，则落在这个内接正方形内的豆子数大约是（ ）
A. 粒 B. 粒 C. 粒 D. 粒
7.若将确定的两个变量与之间的关系看成，则函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
10.已知球表面积为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则该正四棱锥体积的最大值为（ ）
B. C. D.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过焦点的直线与轴交于点，与双曲线的右支交于点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
12.等比数列的公比为，为其前n项和，且，则当取得最大值时，对应的为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若，则 ．
15.用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）用成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为_______．
16. 已知函数，若存在唯一零点，则k的取值范围是______.
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）
的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）已知，，求边上的中线的长．
18．（本小题满分12分）
某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分．工作人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如图．
(1)估计此次满意度调查所得的平均分值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在（1）中的以上为满意，低于为不满意，据统计有32位男生满意．据此判断是否有的把握认为“学生满意度与性别有关”？
(3)在（2）的条件下，学校从满意度分值低于分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率．
附：，其中．
19.如图1，在直角梯形中，，，点为中点，点在，
将四边形沿边折起，如图2.
（1）证明：图2中的平面；
（2）在图2中，若，求该几何体的体积.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
21．（本小题满分12分）（本小题12分）
已知椭圆的长轴长为，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）将椭圆上每一点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，若直线与曲线交于、两个不同的点，为坐标原点，是曲线上的一点，且四边形是平行四边形，判断四边形的面积是否为定值，如果不是定值，则求出四边形面积的取值范围。
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为：,
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设直线 与直线 交于点，与曲线交于两点，已知，求的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知对任意实数，都有恒成立.
（I）求实数的范围；
（Ⅱ）若的最大值为，当正数满足时，求的最小值.
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