北师大版数学八年级上册第一章 勾股定理 综合素质评价（含答案）

第一章　综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，则AB的平方为(　　)
(第1题)
A.9 B.16 C.25 D.41
2.下列各组数中，是勾股数的是(　　)
A.0.3，0.4，0.5 B.，，1
C.4，5，6 D.7，24，25
3.在△ABC中，∠B＝35°，BC2－AC2＝AB2，则∠C的大小为(　　)
A.35° B.55° C.65° D.90°
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD的长度是(　　)
(第4题)
A.2 B.3 C.4 D.5
5.[情境题 生活应用]如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B(∠C＝90°)绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村.已知AC＝9 km，BC＝12 km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为(　　)
(第5题)
A.7 km B.6 km C.5 km D.2 km
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为(　　)
(第6题)
A.225 B.200 C.150 D.无法计算
7.[情境题 生活应用 母题 教材P6习题T1]如图母题①，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，如图②，则滑轮到地面的距离为(　　)
(第7题)
A.9米 B.12米 C.15米 D.24米
8.[2024岳阳月考]如图，长为6 cm的橡皮筋AB固定两端A和B后把中点C向上竖直拉升4 cm至D点，则橡皮筋被拉长了(　　)
(第8题)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
9.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AD⊥BC于点D，E为AD上任意一点，则CE2－BE2＝(　　)
(第9题)
A.1 B.2 C.4 D.5
10.[新考向 数学文化]意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理.若设图①中空白部分的面积为S1，图③中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是(　　)
(第10题)
A. S1＝a2＋b2＋2ab B. S1＝a2＋b2＋ab
C. S2＝c2 D. S2＝c2＋ab
二、填空题(每题3分，共15分)
11.[2024天津西青区期中]如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为　　　　cm2.
(第11题)
12.已知三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高等于　　　　.
13.如图，一座桥横跨一河，桥AB的长为40 m，一艘小船自桥北头(A处)出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸(C处)后，发现已偏离桥南头(B处)9 m，则小船实际行驶的路程为　　　　m.
(第13题)
14.[母题教材P17复习题T5]如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile，1 h后两轮船分别位于点A，B处，且相距20 n mile.如果知道甲轮船沿北偏西40°方向航行，则乙轮船沿　　　　方向航行.
15.[2024青岛期末]如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3 m的半圆，其边缘AB＝CD＝16 m，点E在CD上，CE＝4 m.一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为　　　　m.(π取3)
三、解答题(16题10分，17～19题每题12分，20题14分，21题15分，共75分)
16.如图，∠B＝90°，求x的值.
17.如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13.试说明△ACD是直角三角形.
18.[2024赣州期末]图①是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高AB＝5 cm，连杆BC＝30 cm，灯罩CD＝20 cm.如图②，转动BC，CD，使得∠BCD成平角，且灯罩端点D离桌面l的高度DH为45 cm，求AH的距离.
19.观察下列勾股数：
①3，4，5，且32＝4＋5；
②5，12，13，且52＝12＋13；
③7，24，25，且72＝24＋25；
④9，b，c，且92＝b＋c；
…
(1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：b＝　　　　，c＝　　　　；
(2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确.
20.如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝.
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是　　　　；
A　　　　　 　B　　　　　　　C　　　 　　　D
(2)求该长度最短的金属丝的长；
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度为m，则m2的值为　　　　.
21.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，验证勾股定理，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.
(1)如图①，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板.
①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图①验证a2＋b2＝c2；
②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少.
(2)如图②，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓(实线)的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积.
答案详解详析
一、1. D　2. D　3. B　4. A　5. B　6. A　7. A　8. C
9. D 【点拨】在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2－AD2，CD2＝AC2－AD2，
所以在Rt△BDE和Rt△CDE中，
BE2＝BD2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2，EC2＝CD2＋ED2＝AC2－AD2＋ED2，
所以EC2－EB2＝（AC2－AD2＋ED2）－（AB2－AD2＋ED2）＝AC2－AB2＝32－22＝5.
10. B
二、11.64　12.　13.41
14.北偏东50°（或东偏北40°） 【点拨】因为AP＝1×12＝12（n mile），PB＝1×16＝16（n mile），AB＝20 n mile，所以AP2＋BP2＝400＝AB2，所以∠APB＝90°.因为∠APN＝40°，所以∠BPN＝50°.因为∠EPN＝90°，所以∠BPE＝40°.所以乙轮船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行.
15.15 【点拨】如图是U型池的内侧面展开图，
则AD≈3×3＝9（m），CD＝16 m，CE＝4 m.所以DE＝CD－CE＝16－4＝12（m）.
在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2≈92＋122＝152，所以AE≈15 m.故他滑行的最短路程约为15 m.
三、16.【解】由勾股定理，得62＋x2＝（x＋4）2，
解得x＝2.5.故x的值为2.5.
17.【解】因为AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
所以AC2＝152－92＝144.
因为52＋144＝132，所以AD2＋AC2＝CD2，
所以∠DAC＝90°，所以△ACD是直角三角形.
18.【解】由题意，得BD＝BC＋CD＝50 cm.
如图，过点B作BE⊥DH于点E，
易得EH＝AB＝5 cm，BE＝AH，
所以DE＝DH－EH＝40 cm，
所以BE2＝BD2－DE2＝302.
所以BE＝30 cm，所以AH＝30 cm.
19.【解】（1）40；41
（2）猜想第n组勾股数为2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1.
因为（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，（2n2＋2n＋1）2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，
所以（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2.
因为n是正整数，
所以2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1是一组勾股数.
20.【解】（1）A
（2）由（1）可知该长度最短的金属丝的长为2AC.
因为圆柱底面的周长为12，
所以BC＝×12＝6.
因为圆柱的高AB＝8，
所以AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10，所以该长度最短的金属丝的长为2AC＝2×10＝20.
（3）2 368 【点拨】若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则m2＝42×＝2 368.
21.【解】（1）①设题图①中大、小两个正方形的面积分别为S1和S2，则S2＝（b－a）2＝a2＋b2－2ab，S1＝S2＋4×ab＝a2＋b2.
又因为S1＝c2，所以a2＋b2＝c2.
②因为AB＝13，EF＝7，
所以大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，
所以四个直角三角形的面积和为169－49＝120，设AE为x，DE为y，则4×xy＝2xy＝120，
易知x2＋y2＝132＝169，
所以（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝169＋120＝289，
所以x＋y＝17，
所以直角三角形两直角边之和为17.
（2）由题意，得AB＋BC＝48÷4＝12，OH＝OB＝6.
设AH＝BC＝x，则AB＝12－x，OA＝6＋x，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB2＋OA2＝AB2，即62＋（6＋x）2＝（12－x）2，
解得x＝2，所以OA＝OH＋AH＝6＋2＝8，
所以该图形的面积为4×OB·OA＝2OB·OA＝2×6×8＝96.