1
2024 届高三数学考试（文科） 水桶（轴截面如图所示）．若在一次降水过程中用此桶接了 24小时的雨水恰好是桶深的 2 ，则当日的降雨所属等级是（ ）
注意事项：
1.本试卷分第 I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名 考生号 座位
号涂写在答题卡上.本试卷满分 150分，考试时间 120分钟.
2.回答第 I卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为 1 ，空气的温度为 0 ，那么 t小时后物体的温度 可由公式
3.答题Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回. 0 1 0 e
kt
求得，其中 k是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有A、 B两个物体放在空气中冷
第 I卷 却，已知两物体的初始温度相同，冷却 2小时后，A、B两个物体的温度分别为 4 0、7 0，假设A、B两个物体的冷却
一 选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
系数分别为 kA、 kB，则（ ）
的
1 k 1k k ln2 k 1 k ln2 A ln2
kB 1
M 2, 1,0,1,2 ,N x 1 x 1, x N A． A B B． B A C． k 2 D．
ln2
1．已知集合 ∣ ，则M N （ ） 2 2 B kA 2
7．已知直线 y x m和圆 x2 1,0,1 0,1 0,1 y
2 4
1,1 交于 A，B两点，O为坐标原点，则“m 6 ”是“ AOB的面积为 3 ”的（ ）A． B． C． D．
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知复数 z满足 4i 3 z 3 i i，则 z在复平面内对应的点位于（ ）
8．已知 sin(
π
) 2sin( π ) ，则 sin(2
π
) （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3 6 3
3 3 4 4
a / / a b m= A． B． C． D．3．已知向量 a 4, 1 ，b 2,m ，且 ，则 （ ） 4 4 5 5
| AF |
1 1 9．过抛物线 y2 4x焦点 F 的直线 l交抛物线于 A,B两点（点A在第一象限），若直线 l的倾斜角为60 ，则 的值为
A． B． C． 2 D． 2 | BF |
2 2
3e x4 f (x) cos x
（ ）
．函数 2x 的部分图像大致为（ ）e 1 3 5
A． 2 B．3 C． D．
2 2
10．在三棱锥M ABC中，MA 平面 ABC，底面 ABC为正三角形，三棱锥M ABC的体积为 6， ABC的外接圆半
A． B． C． D． 径为 2，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
28π
A． 28π B． C． D 28 7π．
3 28 7π 3
π
11．已知函数 f x sin x 3 cos x 3 0 在 0,
2
上有且仅有三个零点，则 的取值范围是（ ）
5．降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：mm）．气象学中，把 24小时内的降水量叫作日降雨量，等级
10 14 10 14 14 14
划分如下： A． , B． , C． 4, D． 4, 3 3 3 3 3 3
2 2
降水量 /mm 0.1 9.9 10 24.9 25 49.9 50 99.9 12 x y ．已知椭圆C1 : 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1 c,0 ,F2 c,0 ，抛物线C2： x
2 2 py( p 0)，椭圆C
a b 1
与
5c
等级 小雨 中雨 大雨 曝雨 抛物线C2相交于不同的两点 A,B，且四边形 ABF1F2 的外接圆直径为 ，若b c，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）2
某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为 20cm，底面直径为8cm，深度为 20cm的圆台形 5 2 , 2 , 2 5
5 2 5 2 5
A． B．5 2 2 5 C．
, D． ,1
5 5 5
第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页
第Ⅱ卷 π18．如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD为菱形， BAD ，BD DE 2BF 2，DE AC，BF DE．
3
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22 题-第 23
题为选考题，考生根据需求作答.
二 填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
2x y 2 0
13．设变量 x， y 满足约束条件 x y 2 0 ，则 z x 2y的最小值为 .
4x y 4 0
(1)求证：平面 ACF 平面 BDEF；
14．若 p : x [1, 5]， ax 2 x 4 0是真命题，则实数 a的取值范围是 .
(2)当 BF⊥CD时，求三棱锥D ACF的体积．
15．在 ABC中，角 A ， B ，C的对边分别为 a， b， c，已知 a 2， bcosC ccosB asinC，且 AD 2DB ，则
19．已知数列 an ，若 a1 1，且 an 1 2an 1 .
AD BC .
x 2 3
(1)求证： an 1 是等比数列，并求出数列 an 的通项公式；
16．定义在 R上的奇函数 f x 满足 f x f 2 x 2 ，且当 x 0,1 时， f x x .则函数 g x f x 的所有
10 n a 1 1 1 3
(2) b 若 n n n ，且数列 b b 的前项和为 Sn，求证： S2 3 n
.
零点之和为 . n n 2 4
三 解答题：共 70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 20 x 2．已知函数 f x e ax x 1 .
（一）必考题：共 60分.
(1)当 a 1时，求曲线 y f x 在 x 1处的切线方程；
17．甲、乙两医院到某医科大学实施“小小医生计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟诊断这 3项程序后直接签
a
约一批毕业生，已知 3项程序分别由 3个部门独立依次考核，且互不影响，当 3项程序全部通过即可签约．假设该校口 (2)若 f x 0有两个不等的实根，求实数 的取值范围.
腔医学系 170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”的具体情况如下表（不存在通过 3项程序考核后放弃签约的现象）． 21．已知过抛物线 y2 4x的焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B两点，抛物线的准线与 x轴的交点为M ．
性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计 (1)若点A的横坐标大于 1，当直线MA与抛物线的另一个交点恰好为线段MA的中点时，求直线 AB的方程；
男生 58 27 85 (2)求△MAB内切圆的圆心到坐标原点距离的最大值．
（二）选考题：共 10分，请考生在第 22 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
女生 42 43 85
x 2cos
22．在直角坐标系 xoy中，曲线 C的参数方程为
合计 100 70 170 y 2sin
（ 为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立
(1)判断是否有95%的把握认为这 170 π 名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关； 极坐标系，已知直线 l的极坐标方程为 cos m 0．
4
(2)该校口腔医学系准备从专业成绩排名前 5名的毕业生中随机挑选 2人去参加乙医院的考核，求专业排名第一的小华 (1)求 C的普通方程和 l的直角坐标方程；
同学被选中的概率． (2)若 l与 C没有公共点，求 m的取值范围．
2 n ad bc
2
2
参考公式与临界值表：K ，n a b c d． 23．已知函数 f (x) x a a | x 2 |．
a b c d a c b d
(1)当 a 0时，求不等式 f (x) 8的解集；
p K 2 k 0.100 0.050 0.025 0.010 (2)若 f (x) 4恒成立，求 a的取值范围．
k 2.706 3.841 5.024 6.635
第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页
参考答案：
1．B
【分析】
化简集合 N，结合交集运算即可求解.
【详解】 N 0,1 , M N 0,1 ．
故选：B
2．B
【分析】先利用复数模的运算及除法运算化简计算复数，然后根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为 4i 3 z 3 i i，
3 i i
z 2 i 2 i 3 4i 2 11所以 i，
4i 3 4i 3 3 4i 3 4i 25 25
2 11 2 11
所以 z i ，所以 z在复平面内对应的点为 , ，位于第二象限.25 25 25 25
故选：B
3．B
【分析】根据向量坐标运算公式计算出 a b 6,m 1 ，再根据向量平行列出方程，求出
m 1 .
2
【详解】由已知得 a b 6,m 1 ，
又 a / / a b ，所以4 m 1 6 0 m 1，解得： .2
故选：B.
4．C
【分析】根据函数的定义域即可排除求解.
【详解】由于函数的定义域为 x x 0 ，故可排除 ABD，
故选：C
5．C
【分析】
根据题意，由圆台的体积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
答案第 1页，共 15页
设上口半径为 R，下口半径为 r，桶深为 h，水面半径为 r1，
r R r则 1 7cm，2
1 2 2
降水量的体积V πr πr1 πrr h 10 π1 r 2 r 2 rr 310πcm3 ，3 2 3 1 1
V 310π
降水深度为 2 3.1cm 31mm ，属于大雨等级.πR 100π
故选：C．
6．A
e 2kA 4 e 2kA0 1 0 0 1 0 3 0
【分析】由已知可得出 2k ，变形可得 2k ，两式相除变 0 1 0 e B 7 0 1 0 e B 6 0
形后可得合适的选项.
e 2kA 2kA0 1 0 4 0 1 0 e 3 0
【详解】由题意可得 ，则 ，
0 e
2kB
1 0 7 0 1 0 e
2kB 6 0
两式相除可得 e 2 kB kA 2，所以， 2 kA kB ln 2
1
，即 kA kB ln2 .2
故选：A.
7．B
【分析】先求出 AOB的面积，得到面积为 3的等价条件，再根据充分条件和必要条件的
定义即可判断.
【 详 解 】 圆 x2 y2 4 的 圆 心 为 O ， 半 径 r 2 ， 则 圆 心 到 直 线 的 距 离 为
m
d 2 m
2 ，1 1 2 2
2
弦长 AB m 2 r 2 d 2 2 4 ，
2
1 1 m 2 2 2
所以，若 S AOB AB d 2 4 m 4
m 2
m 3 ，
2 2 2 2 2 2
则m 2 或m 6 .
所以，“m 6 ”是“ AOB的面积为 3 ”的充分不必要条件，
故选：B
8．C
答案第 2页，共 15页
π 1
【分析】根据题意，求得 tan( ) ，结合正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，
6 2
化为“齐次式”，代入即可求解.
π π
【详解】由题意知 sin( ) 2sin( )，
3 6
可得 cos[
π
( π )] cos( π ) 2sin( π ) ，可得 tan(
π 1
) ，
2 3 6 6 6 2
2sin( π ) cos( π ) 2 tan( π )
又由 sin(2
π) 2sin( π)cos( π) 6 6 6 4 .
3 6 6 sin 2( π ) cos2( π π ) tan 2( ) 1 5
6 6 6
故选：C.
9．B
【分析】求出直线方程，联立直线和抛物线方程，解得 A，B坐标，即可由抛物线定义求得
AF , BF ，得出所求.
【详解】由题可得 F 1,0 ，设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，（ x1 x2 ），
直线 l的倾斜角为60 ， 直线斜率为 3，
则直线 l的方程为 y 3 x 1 ，
y
2 4x 1
联立 可得3x2 10x 3 0，解得 x1 3, x2 ，
y 3 x 1 3
4
由抛物线的定义可得 AF x1 1 4, BF x2 1 ，3
| AF |
则 3| BF | .
故选：B.
10．D
【分析】根据正弦定理求出底面边长，再利用棱锥体积公式求出MA 2 3，最后根据勾股
定理求出外接球半径即可.
【详解】设底边正三角形的边长为 a，外接圆的半径为 r，外接圆的圆心为O1，三棱锥的外
接球的球心为O，
a
π 2r 4则根据正弦定理得 sin ，则 a 2 3，
3
1
因为MA 平面 ABC，则有VM ABC S3 ABC
MA，
答案第 3页，共 15页
1 1 2
即6 2 3 3 MA，解得MA 2 3，3 2 2
2 2MA 2 3
则外接球半径 R r 2 2
2 7 ，
2 2
4 4 3 28 7π
则外接球的体积为 πR3 π 7 .
3 3 3
故选：D.
11．D
【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程
的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可．
【详解】因为 f x sin x 3 cos x 3 2 1 sin x
3
cos x 3 ，
2 2
故可得 f x 2sin x
π
3，
3
x 0, π x π π , π π 由
2
，故可得
3
，
3 2 3
f x 0 π 3令 ，可得 sin x ，
3 2
x π π 2π 7π 8π则 或 或 或 ，L ，
3 3 3 3 3
π
因为 sin π 3 x
在
3 2
0, 上有且仅有三个解，
2
7π π π 8π ，解得 4,
14
．
3 2 3 3 3
故选：D.
【点睛】本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用，考查转化思想以及计算
能力，属于中档题．
12．A
答案第 4页，共 15页
【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形 ABF1F2 的外接圆就是△BF1F2的外接圆，
再利用正弦定理求得 sin F1BF2，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到 F1MF2 的取值范
围，从而得到关于 a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.
【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点 A,B关于 y轴对称，
四边形 ABF1F2是等腰梯形，易知四边形 ABF1F2的外接圆就是△BF1F2 的外接圆，
设四边形 ABF1F2 的外接圆半径为 R .
2c 5c 4
在△BF1F2中，由正弦定理，知 2R , sin F BF sin F1BF 2
1 2 5，2
记椭圆C1的上顶点为M , F1MF2 ，坐标原点为O，
FBF c π易知 1 2 ，又b c，则 tan tan F1MO 1，0 ，2 b 2 2
0 π π , 0 ，即 为锐角，
2 4 2
4
sin F
5 1
BF2 sin ，
2sin cos 2 tan 2 tan
又 sin 2 2 2 , 2
4
, 1 tan 2.
sin 2 cos2 tan 2 1 tan 2 1 5 2 2
2 2 2 2
0 π 1 1 c tan 1, 1 1 c
2
又 ， ，则 1，
2 4 2 2 2 b 4 b2
1 c2
所以 1 5 c 2 5 22 2 ，则 ，即 e ，4 a c 5 a 2 5 2
5 2
则椭圆C1的离心率的取值范围是 , ，
5 2
故选：A.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
c
①求出 a,c，代入公式 e ；
a
答案第 5页，共 15页
②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c的齐次式，结合b2 a2 c2转化为 a,c的齐次式，然后
等式(不等式)两边分别除以 a或 a 2转化为关于 e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e（ e
的取值范围）．
13． 6
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，
联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
2x y 2 0
【详解】由约束条件 x y 2 0 作出可行域如图，
4x y 4 0
x y 2 0
联立 A(2, 4)
4x y
，解得 ，
4 0
z x 2y y x z化目标函数 为 ，
2 2
x z
由图可知，当直线 y 过A时，直线在 y轴上的截距最大， z有最小值为 6．
2 2
故答案为： 6．
【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
14． 5,
4 1
【分析】根据 p : x [1, 5]， ax 2 x 4 0是真命题，由 x [1,5]， a 2 恒成立求解.x x
【详解】解：因为 p : x [1, 5]， ax 2 x 4 0是真命题，
所以 x [1,5]， ax 2 x 4 0恒成立，
即 x [1,5]， a
4 1
恒成立，
x2 x
t 4 1 4 1 1
2
1
则 2 5 ，x x x 8 16
所以 a 5，
答案第 6页，共 15页
故实数 a的取值范围是 5,
故答案为： 5,
8
15．
3
π
【分析】根据正弦定理将条件式边化角，利用三角恒等变换求出角C ，再利用向量数量
2
积转化运算求得结果.
【详解】Q bcosC ccosB asinC，由正弦定理得 sin BcosC sinC cosB sin AsinC，
即sin B C sin AsinC，又 B C π A，sin B C sin A，
sin A sin AsinC，0 A π， sin A 0，
sinC 1，又0 C π，
C π .又 ，
2 AD 2DB
2 2 2 2 2AD BC AB BC 8 AC CB BC AC BC BC .3 3 3 3 3
8
故答案为： .
3
16．18
3
【分析】判断出 f x 的对称性、周期性，画出 y f x , y x 2 的图象，结合图象求得
10
g x 的所有零点之和.
【详解】解：依题意，定义在 R上的奇函数 f x 满足 f x f 2 x ，
f 1 x f 2 1 x f 1 x ，所以 f x 关于 x 1对称，
f x 4 f 1 x 3 f 1 x 3 f 2 x f 2 x
f 2 x f x f x ，所以 f x 是周期为 4的周期函数.
f 2 x f 1 1 x f 1 1 x f x f x f 2 x ，
答案第 7页，共 15页
所以 f x 关于点 2,0 对称.
x3 x 2 3 x 2 3 x3
由于函数 y 关于原点对称， y 图象可以由 y 图象向右平移1000 10 1000 1000
2个单位得到，
y x 2
3
所以函数 关于 2,0 对称，
10
3
y f x y x 2 画出 ， 的图象如下图所示，
10
x 2 3
由图可知， y f x ， y 有9个公共点，
10
所以 g x 的所有零点和为9 2 18 .
故答案为：18
17．(1)有95%的把握认为这 170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有
关.
2
(2) .
5
【分析】
n ad bc 2
（1）依据列联表中的数据代入K 2 ，求出后参考临界值表即可
a b c d a c b d
得到结果.
（2）列出所有的基本事件，再由古典概型的概率公式即可求出结果.
【 详 解 】 （ 1 ） 因 为
答案第 8页，共 15页
2 n ad bc
2
170 58 2 43 42 27
K 314432 6.217 3.841，
a b c d a c b d 85 85 100 70 50575
所以有95%的把握认为这 170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关.
（2）分别记专业成绩排名前 5名的毕业生依次为 A,B,C,D,E ,则从这 5人中随机选取 2人的
基本事件有：
A,B , A,C , A,D , A,E , B,C , B,D , B,E , C,D , C,E , D,E ,共 10个，
其中选出的这 2 人中包含专业成绩排名第一的基本事件有 A,B , A,C , A,D , A,E ,共 4
个，
4 2
故所求概率为 P .
10 5
18．(1)证明见解析
(2) 3
3
【分析】
（1）根据线面垂直的判定证明 AC 平面 BDEF 即可；
（2）先根据线面垂直的判定证明 BF 平面 ABCD，再根据VD ACF VB ACF VF ABC 求解即
可.
【详解】（1）因为BF DE，所以 B,D,E,F 四点共面，
因为四边形 ABCD为菱形，所以 AC BD，
因为 AC DE ,BD DE D ,BD ,DE 平面 BDEF，
所以 AC 平面 BDEF，
因为 AC 平面 ACF，
所以平面 ACF 平面 BDEF；
（2）因为 AC 平面 BDEF， BF 平面 BDEF，所以BF AC，
又因为BF CD,AC CD C，CD,AC 平面 ABCD，故 BF 平面 ABCD，
又因为 AC,BD互相平分，所以点D到平面 ACF的距离等于点 B到平面 ACF的距离，
所以VD ACF VB ACF，
V V 1 BF S 1 1 1 3 3又因为 B ACF F ABC 3 ABC
2 2 ，
3 2 2 3
答案第 9页，共 15页
所以三棱锥D ACF 3的体积为 .
3
19．(1) n证明见解析， an 2 1
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义结合递推关系式证明即可得结论，从而根据等比数列的通
项公式求得数列 an 的通项公式；
1
（2）根据裂项相消法求解数列 的前项和为 Sn，再根据 Sn的单调性求最值即可得结
bnbn 2
论.
【详解】（1）证明： an 1 2an 1， an 1 1 2an 1 1 2 an 1
又 a1 1 2 0，
an 1 是首项为 2，公比为 2的等比数列，
an 1 2 2
n 1 2n n， an 2 1；
n a 1
（2）证明： b nn n ，且结合（1）得b2 n
n，
1 1 1 1 1
b ，nbn 2 n n 2 2 n n 2
S 1 n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n 2 2 2 n 1 n 2
3 1 1 1
，
4 2 n 1 n 2
Sn 1 Sn 0， Sn 是递增数列，
S 1 1 1又 1 ， 0，3 n 1 n 2
1 S 3 .
3 n 4
20．(1) e 1 x y 0
e2 1
(2) ,0
4
答案第 10页，共 15页
【分析】（1）求导，得到 f 1 e 1, f 1 e 1,进而求出切线方程；
（2） f 0 0，故只需当 x 0时， f x 0有且仅有一个实根，参变分离，转化为两函数
ex1 x 1只有 个交点，求导，得到 g x 2 x 0 的单调性，画出其图象，数形结合得到参x
数的取值范围.
【详解】（1）当 a 1时， f x ex x2 x 1, f x ex 2x 1，
f 1 e 1, f 1 e 1,
所以曲线 y f x 在 x 1处的切线方程为 y e 1 e 1 x 1 ，即 e 1 x y 0 .
（2）显然 f 0 0，要使方程 f x 0有两个不等的实根，
只需当 x 0时， f x 0有且仅有一个实根，
x
x 0 f x 0 a e x 1当 时，由方程 ，得
x2
.
x
g x e x 1
x
令 2 x 0 y a g x
e x 1
，则直线 与 2 x 0 的图象有且仅有一个交点.x x
ex 1 x2 2x ex x 1 x 2 ex 1
g x .
x4
x3
又当 x 0时， g x 0, g x 单调递减，
当0 x 2时， g x 0, g x 单调递减，
当 x 2时， g x 0, g x 单调递增，
x 2 g x g 2 e
2 1
所以当 时， 取得极小值 ，
4
又当 x 0时， ex 1，所以 ex x 1 0，即 g x 0，
当 x 0时， e x 1, e x x 1 0 ，即 g x 0，
所以作出 g x 的大致图象如图所示.
答案第 11页，共 15页
ex x 1
由图象，知要使直线 y a与 g x 2 x 0 的图象有且仅有一个交点，x
e2 1
只需 a<0或 a .
4
2
综上，若 f x 0 e 1 有两个不等的实根，则 a的取值范围为 ,0 .
4
21．(1)2 2x y 2 2 0或 2 2x y 2 2 0
(2)3 2 2
【分析】（1）设 A x1, y1 ，依题意得到关于 x1, y1的方程组，进而求得A的坐标，结合 F (1,0)
即可得解；
（2）联立直线 AB与抛物线的方程，证得△MAB内切圆的圆心在 x轴上，再利用角平分线
定理得到 sin
1 a
AMD ，分析∠AMD的取值情况，从而得到关于 a的不等式组，解之即
1 a
可得解.
【详解】（1）由题意，知 F (1,0) 2，设 A x1, y1 x1 1 ，则 y1 4x1，
M ( 1,0) x1 1, y1 又 ，所以线段MA的中点坐标为 2 2
，
y2
代入抛物线方程，得 1 4 x1 1 ，
4 2
y2 4x
1 1 x1 2 x1 2
联立 y2 x 1，解得 或 ，
1 4 1
y 2 2 y 2 2
4 2 1 1
所以 A(2,2 2)或 A(2, 2 2)，又 F (1,0)，
所以 kAF 2 2或 kAF 2 2，
答案第 12页，共 15页
所以直线 AB的方程为 y 2 2 x 1 或 y 2 2 x 1 ，
即 2 2x y 2 2 0或 2 2x y 2 2 0 .
（2）设直线 AB的方程为 x my 1, A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
y2 4x
联立 ，消去 x并整理，得 y2 4my 4 0，
x my 1
所以 0, y1 y2 4m, y1y2 4 ，
2my y 2 y y
所以 k
y1 y2 y1 y2 1 2 1 2
MA kMB x1 1 x2 1 my1 2 my2 2 my1 2 my2 2
8m 8m
0
my1 2 my2 2 ，
所以 AMF BMF，即△MAB内切圆的圆心在 x轴上，
设△MAB内切圆的圆心为 P(a, 0)，
| AF | | FP | 1 a
由角平分线定理，得 | AM | |MP | 1 a，
过点A作抛物线准线的垂线，设垂足为D，
1 a | AF | | AD |
则 sin AMD sin AMD 1
2
1 a | AM | | AM | ，即 ，1 a
故当 a最大时， sin AMD最小，
所以只有当直线 AM 与抛物线相切时，∠AMD取得最小值，
此时直线 AM 斜率存在，设切线为 y k x 1 ，
y2 4x y k 2 2联立 ，消去 ，得 x 2k 2 4 x k 2 0，
y k x 1
则Δ 2k 2 4 2 π 4k 4 0，解得 k 1，则∠AMD的最小值为 ，4
答案第 13页，共 15页
π
AMD 2 1 a易知 ，则 1，解得2 0 a 3 2 2
，
2 1 a
所以△MAB内切圆的圆心到坐标原点距离的最大值为3 2 2 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 x1, y1 , x2 , y2 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x（或 y）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 x1 x2、 x1x2（或 y1 y2 、 y1y2）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．(1) x2 y2 4 2 x 2 ； x y 2m 0
(2)m>2或m 2 .
【分析】（1）结合同角三角函数的平方关系消去参数 ，可得曲线 C的普通方程，将直线 l
的极坐标方程化简后利用极坐标与直角坐标的互化公式可求得直线 l的直角坐标方程；
（2）联立 l与 C的方程根据韦达定理计算即可.
【详解】（1）由题知： 2sin y, 2cos x 4sin 2 4cos 2 x 2 y 2 4 ，
即曲线 C的普通方程为 x2 y2 4 2 x 2 ；
π
因为直线 l 的极坐标方程为 cos m 0，
4
2
所以 cos 2 sin m 0 ，
2 2
又因为 sin y， cos x
l 2 x 2所以直线 的直角坐标方程为 y m 0，即 x y 2m 0．
2 2
x y 2m 0
（2 2 2）由（1）可联立方程 2x 2 2mx 2m 4 0
x2
，
y
2 4
则Δ 8m2 8 2m2 4 32 8m2 0 m 2或m 2 .
23．(1)[ 5,3]
(2) ( , 2) (3, )
答案第 14页，共 15页
【分析】
（1）分类讨论，去掉绝对值符号，解不等式，即可得答案；
（2）结合绝对值三角不等式确定 f (x) 2的最小值，结合题意可得 a a 2 4恒成立，解不
等式，即可得答案.
【详解】（1）当 a 0时，不等式 f (x) 8，即 x | x 2 | 8，
当 x 2时，有 x x 2 8，解得 x 5，即 5 x 2；
当 2 x 0时，有 x x 2 8，得 2 8，此时 2 x 0；
当 x 0时，有 x x 2 8，得 x 3，此时0 x 3；
故不等式 f (x) 8的解集为[ 5,3]；
（2） f (x) 4 x a2恒成立，即 a | x 2 | 4恒成立，
而 x a2 a x 2 x a2 a ( x 2) a2 a 2，
当且仅当 (x a2 a)(x 2) 0时取等号，
2
故需 a a 2 4恒成立，即 a2 a 2 4或 a2 a 2 4，
解得 a 2或 a 3或a ；
故 a的取值范围为 ( , 2) (3, ) .
答案第 15页，共 15页口口口
■
2024届高三数学考试（文科）
18(12分)
19(12分)
答题卡
姓名
班级
座号
回回
扫
贴条形码区
白镜
成
(正面朝上，请勿贴出虚线方框)
正确填涂■缺诊标记【]
1.[A]【B][C】[D】5.【A】[B】[C】ID]9.[A】[B]【C][D】
2.[AJ【B][C[DJ
6.【A][B[C]ID]10.[A】[B][C][D
3.[A][B][C][D]
7.[A][B][C][D]11.[A][B][C][D]
4.[A]IB][C][D]8.【A][B][C]ID]I2.[A】[B][C][D]
14.
15
16.
17(12分)
数学
数学
数学
1
第1页（共6页）
第2页（共6页）
第3页（共6页）
口口口■
姓名
班级
■
20(12分)
21(12分)
(10分)二选
2223
■
数学
0
数学
0
数学
1
第4页（共6页）
第5页（共6页）
第6页（共6页）2024届高三数学考试（文科)
水桶（轴截面如图所示）.若在一次降水过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的。，则当日的降雨所属等级是()
注意事项：
1本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、考生号、座位
号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.回答第I卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干
A.小雨
B.中雨
C.大雨
D.暴雨
净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
6.把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为日，空气的温度为O。,那么t小时后物体的温度0可由公式
3答题卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
8=B。+(8,-8)“求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有A、B两个物体放在空气中冷
第I卷
却，己知两物体的初始温度相同，冷却2小时后，A、B两个物体的温度分别为4，、70，假设A、B两个物体的冷却
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
系数分别为k4、k:,则()
的
1.已知集合M={-2,-1,0,1,2,N={x-1≤x≤1，x∈N,则MON=()
A.k-ka =n2
B-62c意-：D克-
7.已知直线y=x+m和圆x2+y2=4交于A,B两点，O为坐标原点，则“m=±√6”是“△AOB的面积为√5”的()
A.{-1,0,1}
B.{0,1
C.[-l,
D.[0,
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
2.己知复数z满足(4i-3)z=√5-i+i,则z在复平面内对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8.已知sin(写-0=-2in(a+爱，则sin(2a+孕=（)
6
31
3.已知向量a=(4,-1),b=(2,m),且a/a+b,则m=()
A
c
D.
B.2
9.过抛物线y2=4x焦点F的直线I交抛物线于A,B两点（点A在第一象限），若直线1的倾斜角为60°，则
AF
C.2
D.-2
F的值为
4.函数f)=3c6os的部分图像大致为（)
()
e2x-1
A.2
B.3
c
D.
10.在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC,底面△ABC为正三角形，三棱锥M-ABC的体积为6，△ABC的外接圆半
径为2，则该三棱锥的外接球的体积为()
A.28π
C.287π
D.28V7π
3
5.降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：mm).气象学中，把24小时内的降水量叫作日降雨量，等级
1.已知函数=nor+5co-5(o>0)在0引上有且仅有三个零点，则o的取值粒国是(）
1014
划分如下：
A.33
c.「414
43
降水量/mm
0.1~9.9
10~24.9
2549.9
50~99.9
2已知圆C+=a>b>0的左、右点分别为5(050，物线G:=20,圆C与
等级
小雨
中雨
大雨
曝雨
抛物线C,相交于不同的两点4，B,且四边形4BFE,的外接圆直径为号，若b>c,则椭圆C的离心率的取值范围是()
某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为20cm,底面直径为8cm,深度为20cm的圆台形
5√2
A52)
cs25)5
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