北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期阶段练习（1月）数学试题（含解析）

首都师大附中2023—2024学年第一学期阶段练习
高三数学
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知集合，集合，则（）
AB. C. D.
3. 在等比数列中，，公比.若，则m=
A. 9B. 10C. 11D. 12
4. 函数图象如下图所示，则的解析式可能为（）
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线（）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（）
A. 4B. 6C. 8D. 10
6. 若，则（）
A. 64B. 33C. 32D. 31
7. 已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）
A. B. C. D.
8. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“向量同向”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：
①线段长度的取值范围是；
②存点使得平面；
③存点使得.
其中，所有正确结论的序号是
A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①②
10. 甲和乙是同班同学，该班级共43名同学．一次两人玩一个游戏，甲先在心里想好该班某一位同学的名字，乙来猜，其中乙可以提问个问题，问题必须一次性问完（意思是乙问完所有问题后才能得到每个问题的答案）．对每个问题，甲只能回答“是”或“不是”．若存在一种提问的策略，使得无论一开始甲想的是谁，乙一定能够猜出，则的最小值是（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，他在这10场比赛中得分的分位数为____________分．
12. 函数的零点是______________．
13. 已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m，下边长为1m，且下边距地面1 m．若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5 m 2，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为_______m3．
14. 已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则____________，____________．
15. 已知曲线．
①若为曲线上一点，则；
②曲线在处的切线斜率为0；
③与曲线有四个交点；
④直线与曲线无公共点当且仅当．
其中所有正确结论的序号是_____________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 在中，分别为内角所对的边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，并以此为依据求的面积．（注：只需写出一个选定方案即可）
条件①：；条件②：；条件③：．
17. 为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下
分组 A小区频数 B小区频数
18-40岁人群 60 30
41-70岁人群 80 90
其他人群 30 50
假设用频率估计概率，所有居民问卷测试结果互不影响．
（1）从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；
（2）从A、B小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）设事件为“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件为“从B小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件发生的概率与事件发生的概率的大小，并说明理由．
18. 如图，在四棱锥中，，是棱上靠近点的三等分点．
（1）证明：平面；
（2）设平面与平面的交线为，若平面平面，，求与平面所成角的正弦值．
19. 已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
20. 已知椭圆的离心率为为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上一点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，已知，求．
21. 若无穷数列的各项均为整数．且对于，都存在，使得，则称数列满足性质P．
（1）判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，，，…；
②，，，，…．
（2）若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
（3）若周期数列满足性质P，请写出数列的通项公式（不需要证明）．
首都师大附中2023—2024学年第一学期阶段练习
高三数学
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数，进而得到其共轭复数所对应的点所在象限．
【详解】令，
则，
则的共轭复数为，
所以对应的点位于第四象限．
故选：D．
2. 已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算集合,再计算结果，判断选项.
【详解】由，则，当且仅当，即取等号，
则，
故.
故选：A
3. 在等比数列中，，公比.若，则m=
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由等比数列的性质可知，答案选C.
考点：等比数列的性质
4. 函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
5. 已知抛物线（）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离计算可得.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，
所以，解得.
故选：C.
6. 若，则（）
A. 64B. 33C. 32D. 31
【答案】D
【解析】
【分析】给分别赋值，即可得到一系列方程组，通过对方程组的解决，问题即可得到解决.
【详解】因为，
所以令可得①，
令可得②，
令可得③，
②+③可得①，
将①代入④可得.
故选：D
7. 已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
8. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“向量同向”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】判断当时，，不能得同向，当同向时，可得，从而得出答案.
【详解】当时，，
但此时向量不一定同向；反之，当向量同向时，
成立，所以“”是
“向量同向”的必要不充分条件.
故选：B
9. 若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：
①线段长度的取值范围是；
②存在点使得平面；
③存在点使得.
其中，所有正确结论的序号是
A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①②
【答案】D
【解析】
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.
【详解】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.
在正方体中，平面，平面，，
又，，平面，即，，
同理可证，，则，.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，.
对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；
对于命题②，，则平面的一个法向量为，
，令，解得，
所以，存在点使得平面，命题②正确；
对于命题③，，令，
整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.
故选：D.
【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
10. 甲和乙是同班同学，该班级共43名同学．一次两人玩一个游戏，甲先在心里想好该班某一位同学的名字，乙来猜，其中乙可以提问个问题，问题必须一次性问完（意思是乙问完所有问题后才能得到每个问题的答案）．对每个问题，甲只能回答“是”或“不是”．若存在一种提问的策略，使得无论一开始甲想的是谁，乙一定能够猜出，则的最小值是（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】将43名学生进行二进制编号，再依次询问6个位置的编号是否是1，从而确定答案.
【详解】因为，
所以可以将43名学生进行六位二进制编号，
第个问题询问甲所想的同学的编号从左到右的第位二进制编号是否是1，
问完6个问题，则甲所想的同学的编号即确定.
故选：B
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，他在这10场比赛中得分的分位数为____________分．
【答案】
【解析】
【分析】利用茎叶图与百分位数的定义即可得解.
【详解】根据茎叶图，小王同学在篮球赛中得分记录从小到大排列为：，
因为，所以他在这10场比赛中得分的分位数为.
故答案为：.
12. 函数的零点是______________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用对数运算及零点含义可得答案.
【详解】由题意可得函数的定义域为.
，令可得，解得或（舍），
故答案为：.
13. 已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m，下边长为1m，且下边距地面1 m．若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5 m 2，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为_______m3．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，所得几何体体积为两个直三棱柱体积之差求解即可.
【详解】因为窗户下边长1m，所以留在底面上影子矩形的长为1m，
又影子矩形的面积为1.5 m 2，所以矩形的宽为1.5 m，
设影子矩形靠近墙的边长到窗户底部墙的距离为，则，
解得，
所以窗户与地面影子之间光线所形成的几何体为两个底面为直角三角形，高为1的直三棱柱体积之差，其中大三棱柱底面直角三角形两直角边为，小三棱柱底面直角三角形两直角边长为,
所以
故答案为：
14. 已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则____________，____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
当时，，即，；
当时，，即，；
综上：；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设，则，
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，
．
故答案为：；.
15. 已知曲线．
①若为曲线上一点，则；
②曲线在处的切线斜率为0；
③与曲线有四个交点；
④直线与曲线无公共点当且仅当．
其中所有正确结论的序号是_____________．
【答案】①②
【解析】
【分析】分、的符号情况化简曲线的方程，从而可画出曲线的图象，结合图象逐一分析即可.
【详解】当，时，曲线的方程为，即，曲线是双曲线的一部分；
当，时，曲线的方程为，即，曲线是椭圆的一部分；
当，时，曲线的方程为，曲线不存在；
当，时，曲线的方程为，即，曲线是双曲线的一部分；
双曲线和有一条共同的渐近线，
综上，可作出曲线的图象，如图：
由图象可知曲线的图象上的点都在直线的下方，
所以当在曲线上时，有，故①正确；
设过点的直线的方程是，若直线与椭圆相切，
则由得，
，得；
若直线与双曲线相切，
则由得，则且，得，
此时直线的方程是，与曲线相切，故②正确；
直线是表示与直线平行或重合的直线，
由曲线的图象可知，直线与曲线不可能有四个交点，故③错误；
设直线与椭圆相切，则
由得，
所以，解得，结合曲线的图象，取，
即直线与曲线相切，
所以若直线与曲线无公共点，结合曲线的图象，
或，故④错误.
故答案为：①②.
【点睛】方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值；
2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 在中，分别为内角所对的边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，并以此为依据求的面积．（注：只需写出一个选定方案即可）
条件①：；条件②：；条件③：．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简得，进而求得解；
（2）选择①②，不唯一；选②③，利用正弦定理与三角形面积公式即可得解；选①③，利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.
【小问1详解】
因为，
则，
故，
由于，
所以.
【小问2详解】
若选①②，
三个已知条件是，没有一个是具体的边长，无法确定．
若选②③，
三个已知条件是，由正弦定理得，
此时存在且唯一，，
所以；
若选①③，
三个已知条件是，
由余弦定理得，即，
解得（负值舍去），则，
此时存在且唯一，所以.
17. 为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下
分组 A小区频数 B小区频数
18-40岁人群 60 30
41-70岁人群 80 90
其他人群 30 50
假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．
（1）从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；
（2）从A、B小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）设事件为“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件为“从B小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件发生的概率与事件发生的概率的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望值；
（3），理由见解析；
【解析】
【分析】（1）由频数分布表计算出样本中的频率，即可估计出其概率；
（2）分别估计出A、B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率，求出随机变量对应取值的概率，即可得出分布列和期望值；
（3）分别估计出A、B小区三个不同群体对垃圾分类比较了解的概率，根据题意由概率乘法公式分别计算可得，即可得出结论.
【小问1详解】
根据频数分布表可知，
抽取的A小区300人样本中，有人对垃圾分类比较了解，
所以样本中对垃圾分类比较了解的概率为；
由样本估计总体的思想，用频率估计概率可知：
从A小区随机抽取一名居民，估计其对垃圾分类比较了解的概率为；
【小问2详解】
根据频数分布表可知，A小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
易知随机变量所有可能取值为；
易知，
；
；
所以的分布列如下：
0 1 2
期望值
【小问3详解】
，理由如下：
从三个年龄组随机抽取两组共有种，每一种组合出现的可能为；
易知A小区三个年龄组对垃圾分类比较了解的概率分别为，
所以可得，
同理，显然；
即.
18. 如图，在四棱锥中，，是棱上靠近点的三等分点．
（1）证明：平面；
（2）设平面与平面的交线为，若平面平面，，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，由可得平面；
（2）延长，交于点，则直线就是平面与平面的交线，以点A为原点建立空间直角坐标系，求出及面的法向量，求与平面所成角的正弦值．
【小问1详解】
连接交于点，连接，
因为，所以，
又因是棱上靠近点的三等分点，
所以，所以，
又平面平面，所以平面；
【小问2详解】
延长，交于点，
所以为平面与平面的公共点，
所以直线就是平面与平面的交线；
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
因，
所以，所以，
则，
则，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
即与平面所成角的正弦值为
19. 已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
【答案】（1）（2）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（3）的最大值为
【解析】
【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解．一般是分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围．
【详解】（1）由,得．
又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得．
（2）,
①当时,,为上的增函数,
所以函数无极值．
②当时,令,得,．
,;,．
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．
综上,当时,函数无极小值
当,在处取得极小值,无极大值．
（3）当时,
令,
则直线:与曲线没有公共点,
等价于方程在上没有实数解．
假设,此时,,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．
又时,,知方程在上没有实数解．
所以的最大值为．
解法二:
（1）（2）同解法一．
（3）当时,．
直线:与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:
（*）
在上没有实数解．
①当时,方程（*）可化,在上没有实数解．
②当时,方程（*）化为．
令,则有．
令得,
当变化时,的变化情况如下表:
减 增
当时,,同时当趋于时,趋于,
从而的取值范围为．
所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．
综上,得的最大值为．
考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．
20. 已知椭圆的离心率为为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上一点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，已知，求．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）写出直线的方程，根据原点到直线的距离及离心率求得即可；
（2）解法一：设，写出方程并联立求得坐标，代入斜率公式计算即可；
解法二：与联立可得坐标，将与椭圆方程联立得坐标，写出方程得坐标，代入斜率公式计算即可.
【小问1详解】
原点到直线即的距离，
又，
，解之得，所以椭圆的方程为．
【小问2详解】
解法一：设，则，
直线的斜率，
因为，所以，
令得，所以，
又，联立可得，
直线的斜率
，所以
．
综上．
解法二：因为
所以，与联立可得，
将代入得，
所以，则，，
所以，
则直线的斜率为，
所以，令得，则，
所以斜率为
，
则．
综上．
【点睛】关键点睛：关系式中关键是的计算，计算必须要有各点的坐标，故要设直线方程联立求交点坐标.
21. 若无穷数列的各项均为整数．且对于，都存在，使得，则称数列满足性质P．
（1）判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，，，…；
②，，，，…．
（2）若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
（3）若周期数列满足性质P，请写出数列的通项公式（不需要证明）．
【答案】（1）①不满足；②满足
（2）证明见解析；（3）或；
【解析】
【分析】（1）根据题意分析判断；
（2）根据题意先证为数列中的项，再利用反证法证明集合为无限集；
（3）先根据题意证明，再分为常数列和非常数列两种情况，分析判断.
【小问1详解】
对①，取，对，则，
可得，
显然不存在，使得，
所以数列不满足性质P；
对②，对于，则，，
故
，因为，
则，且，
所以存在，，
使得，
故数列满足性质P；
【小问2详解】
若数列满足性质，且，则有：
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
故数列中存在，使得，即，
反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
即这与假设相矛盾，故集合为无限集.
【小问3详解】
设周期数列的周期为，则对，均有，
设周期数列的最大项为，最小项为，
即对，均有，
若数列满足性质：
反证：假设时，取，则，使得，
则，即，
这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；
反证：假设时，取，则，使得，
这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；
综上所述：对，均有，
反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，
∵，即为数列中的项，
这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，
∵，则，
当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，
使得，解得或，即或符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
③当为数列中项，则，即为数列中的项，但，不成立；
综上所述：或.
【点睛】（1）对于证明中出现直接证明不方便时，我们可以利用反证法证明；
（2）对于周期数列满足性质，证明思路：先逐步缩小精确的取值可能，再检验判断.