2023-2024学年广东省茂名市电白区高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省茂名市电白区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简的结果等于( )
A. B. C. D.
2.式子的值等于( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则实数( )
A. B. C. D.
4.函数的最小值和周期分别是( )
A. B. C. D.
5.以下区间中，使关于的不等式成立的是( )
A. B. C. D.
6.在中，，，其面积为，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象的一部分如图所示，则图中的函数图象所对应的函数解析式是( )
A. B. C. D.
8.已知向量，若，则( )
A. B.
C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. 与方向相同的单位向量的坐标为
B. 当时，与的夹角为锐角
C. 当时，、可作为平面内的一组基底
D. 当时，在方向上的投影向量为
10.函数的图像与直线为常数的交点可能有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.设，其中，，则( )
A. 相邻两个最高点之间的距离是
B.
C. 的单调递增区间是
D. 的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.已知点，，点在线段上，且，则点的坐标为______．
13.如图，在直角坐标系中，已知圆是以原点为圆心，半径长为的圆，一个质点在圆上，以为始点，沿逆时针方向匀速运动，每秒转一圈，则该质点的纵坐标关于时间单位：秒的函数解析式是______．
14.如图，在平行四边形中，，与相交于若，，则的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，，，点在边上，且．
Ⅰ求；
Ⅱ求线段的长．
16.本小题分
已知向量和，则，，求：
的值；
的值；
与的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知角，求下面式子的值：
；
；
．
18.本小题分
如图，经过村庄有两条夹角为的公路，，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库，异于村庄，要求．
当时，求线段的长度；
问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？即工厂与村庄的距离最远
19.本小题分
定义非零向量，若函数解析式满足，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．
已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围；
已知点满足，向量的“伴生函数”在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围；
已知向量的“伴生函数”在时的取值为若中，，点为该三角形的外心，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据向量的三角形法则，
可得．
故选：．
根据向量的三角形法则，即可求解．
本题考查向量的加法运算，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：原式．
故选：．
根据两角差的正弦公式进行计算即可．
本题考查了两角差的正弦公式，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，且，
则，解得．
故选：．
结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：
，
故最小值为，．
故选：．
结合辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：当时，由于在上为增函数，
在上为减函数，且，
所以当时，成立；当时，成立．
当时，且，
结合，可知时，恒成立．
当时，在上为减函数，
在上为增函数，且，
所以当时，成立；时，成立．
当时，由于且，所以恒成立．
综上所述，使关于的不等式成立的区间为
故选：．
在一个周期范围内，分四种情况讨论正弦函数与余弦函数的单调性，比较与的大小，从而得到所求结论．
本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数的单调性及其应用等知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，其面积为，
则，
即，
由余弦定理可得：，
即，
由正弦定理可得：，
故选：．
由三角形面积公式，结合正弦定理及余弦定理求解即可．
本题考查了三角形面积公式，重点考查了正弦定理及余弦定理，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：图的横坐标先缩短为原来的，再向右平移个单位长度，纵坐标均不改变，可得到图对应的图象，
所以图对应的函数解析式为．
故选：．
根据函数图象的伸缩和平移变换法则，即可得解．
本题考查三角函数的图象变换，理解函数图象的伸缩和平移变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为向量，
若，则，
两边平方得，，
所以，
所以，，
所以，，
．
故选：．
结合向量数量积的坐标表示及同角基本关系先求出，，然后结合和差角公式即可求解．
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，同角基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，与方向相同的单位向量为，故A错误；
对于，当时，，，，
所以，与的夹角为锐角，故B正确；
对于，当时，，，则，则与不平行，、可作为平面内的一组基底，故C正确；
对于，设与的夹角为，则在方向的投影向量为，
当时，，，，，
所以，故D错误．
故选：．
根据与方向相同的单位向量为可判断选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断选项；判断出、不共线，可判断选项；利用投影向量的定义可判断选项．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：作出的图像，结合函数图像可知，与其的交点可能有个，个，个．
故选：．
结合正弦函数的图象及函数图象的变换即可求解．
本题主要考查了正弦函数图象的变换，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
所以的最小正周期为，
对于，相邻两个最高点之间的距离为，故正确；
对于，因为，所以的值域为，所以，故错误；
对于，当时，令，，解得，，
所以当时，的单调递增区间为，，
同理可求，当时，的单调递增区间是，故错误；
对于，的图象向左平移个单位长度得到的函数，为偶函数，故图象关于轴对称，故正确．
故选：．
利用辅助角公式化简，结合正弦函数的图象特征以及性质逐一对命题进行判断即可求解．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为点在线段上，且，则有，
又点，，设，
则有，即，解得，
故点的坐标为．
故答案为：．
根据平面向量的线性运算及坐标运算，即可求得结论．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
13.【答案】，
【解析】解：由题意知，，，所以，
又，所以质点的纵坐标关于时间的函数解析式是：
，．
故答案为：，．
根据题意求出、和、，即可写出函数解析式．
本题考查了三角函数模型应用问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，是的中点，与相交于，
设，
则，
，
由，可得，
则，解之得，则，
则，
又，则，解得，即的长为．
故答案为：．
先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
15.【答案】解：Ⅰ根据余弦定理：，
Ⅱ因为，所以，
，
，
，
根据正弦定理得：，
．
【解析】本题考查利用正余弦定理，同角的三角函数的关系，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．
Ⅰ直接根据余弦定理即可求出；
Ⅱ根据同角三角函数的关系和正弦定理即可求出．
16.【答案】解：，，，
；
，
；
，
．
【解析】根据平面向量的数量积的定义即可求解；
根据平面向量的数量积的性质与定义即可求解；
根据平面向量的夹角公式即可求解．
本题考查平面向量的数量积的定义及性质，属基础题．
17.【答案】解：因为，
所以，；
由得，，
；
．
【解析】结合同角基本关系即可求解；
结合二倍角公式及和差角公式即可求解；
结合两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：因为，且，
故，故，
故，则；
设，由题意，
在中，由正弦定理，
则
在中，由余弦定理可得：，
又由可得，
则，当且仅当，即时，
取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时．
【解析】根据题意分析可得，结合直角三角形的性质，即可求解；
在中，利用正弦定理进行边化角可得，在中，利用余弦定理结合三角恒等变换整理可得，以为整体结合正弦函数求的最大值．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为向量为函数的“源向量”，所以，
则方程上有且仅有四个不相等的实数根，
所以在上有且仅有四个不相等的实数根，
令，，
当时，
，
当时，，
所以，
其图象为：
结合，，，
故当在上有且仅有四个不相等的实数根时，
的取值范围为．
由题意得：
，其中，
当，即时，取最大值，
故，
则，
令，由于，故，
即，则，解得，
所以，因为单调递增，
所以，所以的取值范围为；
由题意得，，则，
在三角形中，，，因此，
设三角形外接圆半径为，根据正弦定理，，故，
所以，
，
，
代入得：，
所以当时，取得最大值．
【解析】根据题意得到方程，参变分离后，写出函数的解析式，画出函数图象，结合图象即可；
根据题中条件求得的值，继而求得，利用二倍角公式求得的表达式，换元后利用函数单调性即可求得取值范围；
根据条件可先求得，继而根据正弦定理可得角形外接圆半径，则，再根据向量的运算法则及数量积的定义化简所求，进一步分析即可．
本题考查三角函数性质，参变分离，数形结合，换元法构造函数，属于难题．
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