2023-2024学年江苏省南通市海安实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市海安实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数是纯虚数，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D.
3.已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设、是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
5.若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
A. B.
C. D.
6.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
8.在中，厘米，厘米，若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是( )
A. 若且，则
B.
C. 若，且，则
D.
10.已知，，下列命题正确的是( )
A.
B.
C. 若，则，至少有个为
D. 若，是两个虚数，，，则，为共轭复数
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则一定为等腰三角形
B. 若，则
C. 若：：：：，则的最大内角为
D. 若为锐角三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若在中，，，，则 ______．
13.的最大值为______．
14.已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求值：
；
；
．
16.本小题分
如图，在平面四边形中，，，的面积为．
求的长；
若，，求的长．
17.本小题分
已知复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，复数．
求，的值；
求，的值．
18.本小题分
如图在中，，，设，．
用表示向量．
若，，，求．
若，，求．
19.本小题分
某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点异于，，点在线段上，且满足已知，，设．
为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？
为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，，解得．
故选：．
根据向量共线的坐标公式求解．
本题考查平面向量的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，复数是纯虚数，
则有且，则．
故选：．
根据题意，由纯虚数的定义可得关于的方程，解可得答案．
本题考查纯虚数的定义，注意复数的分类，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，
由正弦定理，可得，，
则．
故选：．
由已知利用正弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，属于基础题．
根据题意易得，，代入求解即可．
【解答】
解：，是方程的两个根，
，，
则．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：因为与共线，不符合题意；
假设，则与共线，不符合题意；
，即与共线，不符合题意；
不存在实数，使得，即与不共线，符合题意．
故选：．
结合向量的共线定理及平面向量基本定理检验各选项即可判断．
本题主要考查了向量共线定理的应用，还考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
，，
则在上的投影向量为：．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
由余弦定理可得：，整理可得：，
，则的形状为等腰三角形．
故选：．
由余弦定理化简已知等式可求，即可得解三角形的形状．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，
，，则，
以为圆心，为半径画圆弧，要使有两个解，则圆弧和边应该有两个交点，
故CA且，即，
解得．
故选：．
以为圆心，为半径画圆弧，圆弧与边应该有两个交点，此时三角形有两解，数形结合即可求出的范围．
本题考查了数形结合的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：且，当为零向量时，则与不一定共线，即A错误，
由向量乘法的分配律可得：，即B正确，
因为，则，又，则或，即C错误，
取为非零向量，且与垂直，与不垂直，则，，即D错误，
故选：．
平面向量共线的传递性可得A错误，由向量乘法的分配律可得B正确，由向量垂直的运算可得，D错误，得解．
本题考查了平面向量共线的传递性、向量乘法的分配律，向量垂直的运算，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，显然错误；
设，都是实数，
则，
所以，
，B正确；
若，则
故，至少有个为，C正确；
设，都是实数，则，
，
若，，则，
所以，，即，为共轭复数，D正确．
故选：．
由已知结合复数的四则运算及复数的基本概念检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由和正弦定理得：，故A正确；
对于，由及余弦函数在单调递减，得，故B错误；
对于，由：：：：及大边对大角得，角最大，设，，，
则，，故C正确；
对于，由为锐角三角形得，，又正弦函数在单调递增，
，即，故D正确．
故选：．
根据三角形的基本性质及正、余弦定理，正余弦函数的单调性，逐项分析即可．
本题考查正、余弦定理，三角函数的性质和推理能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：由余弦定理，得，
所以．
故答案为：．
根据题意，利用数量积的定义和余弦定理加以计算，可得的值．
本题主要考查余弦定理、平面向量的数量积的定义等知识，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
即函数的最大值为，当，即，时取等号．
故答案为：．
先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦函数最值的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设，则，
设复平面内一点，
则有，
即点在以点为圆心，为半径的圆周上或圆内，
设直线与圆交于，两点，
则，，而，表示在上的投影，
由图可知，，，
则，，
又因为，，，
所以，
即，
所以的取值范围为
故答案为：
设，则，由复数的几何意义可知，点在以点为圆心，为半径的圆周上或圆内，再结合平面向量数量积的几何意义求解．
本题主要考查了复数的几何意义，考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
15.【答案】解：根据题意，；
；

【解析】由虚数单位的性质计算可得答案；
由复数的乘法公式计算可得答案；
由复数的除法公式计算可得答案．
本题考查复数的计算，注意复数的四则运算法则，属于基础题．
16.【答案】解：，，的面积为，
，
，
由余弦定理，得
，
；
由知中，，，
，，，
又，，
在中，由正弦定理，得，
即，．
【解析】根据，求出，再利用余弦定理得；
根据已知条件在中，求出，再利用正弦定理求出．
本题考查了正弦定理，余弦定理和面积公式的应用，熟练掌握正余弦定理和面积公式是解本题的关键，属基础题．
17.【答案】解：由在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，
可得，
又复数，
可得，
即，；
由可知，，
所以，
．
【解析】根据复数的几何意义及同角三角函数关系计算即可；
利用三角恒等变换计算即可．
本题主要考查了复数的几何意义，和差角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由题意有：
；
；
由题意，，，，
则；
，由，，
可得，即，
解得，，
故．
【解析】由平面向量的线性运算即可求解；
由向量的模长公式代入数据求解；
由向量垂直的性质可得，，再根据夹角公式即可求得．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
19.【答案】解：由题意可得，
因为，
在直角中，可得，，
在直角中，可得，，
可得
，
所以当，即时，的最大值为，
即时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
在直角中，由，
因为，，，
可得，
因为，
所以在直角中，，
所以，，
所以
，
可得当时，工艺礼品达到最佳稳定性，此时取得最大值，且最大值为．
【解析】利用直角三角形的边角关系，求出的解析式，从而可得取得最大值时的值；
由等积法求出的值，再计算的最大值以及对应的值．
本题考查了解三角形以及三角函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
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