【精品解析】浙江省嘉兴市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷

浙江省嘉兴市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1．（2021·焦作模拟）设集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2023高一上·嘉兴月考）等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高一上·嘉兴月考）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高一上·重庆月考）关于 的方程 的两根都大于2，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023高一上·嘉兴月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·潍坊二模）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·安徽模拟）已知函数 ，若 在 上有且只有3个零点，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·聊城二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分）
9．（2023高一上·嘉兴月考）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023高一上·嘉兴月考）常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为，对应的五分记录数据记为，现有两个函数模型：①；②．根据如图所示的标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（　　）
(参考数据：10-0.2≈0.6，10-0.15≈0.7，10-0.1≈0.8，10-0.05≈0.9)
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为
11．（2021高二下·苏州月考）若 ，且 ，则下列不等式恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2022·潍坊模拟）已知定义域为R的函数满足，函数，若函数为奇函数，则的值可以为（　　）
A． B． C．π D．
三、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．（2023高一上·嘉兴月考）　 　．
14．（2023高一上·嘉兴月考）已知，则　 　．
15．（2023高一上·嘉兴月考）已知是上的奇函数，且对，有，当时，，则　 　．
16．（2022·石家庄模拟）已知函数，若存在实数.满足，且，则　 　，的取值范围是　 　.
四、解答题（共6题，17题10分，其余各题12分，共70分）
17．（2023高一上·嘉兴月考）已知集合，集合
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
18．（2023高一上·嘉兴月考）已知．
（1）若的终边位于第三象限角，求的值；
（2）求的值．
19．（2023高一上·嘉兴月考）已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.求
（1）；
（2）.
20．（2023高一上·嘉兴月考）已知函数，．
（1）求的最小正周期及单调减区间；
（2）求在闭区间上的最大值和最小值．
21．（2023高一上·嘉兴月考）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
22．（2020高一上·惠州期末）对于函数 ，若在其定义域内存在实数 ，使得 成立，则称 有“漂移点” ．
（1）判断函数 在 上是否有“漂移点”，并说明理由；
（2）若函数 在 上有“漂移点”，求正实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，∴ ，
， ， ，
∴ 。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合分式不等式求解集的方法，进而求出集合A，再利用指数函数的单调性，进而求出集合B，再利用交集的运算法则求出集合A和集合B的交集。
2．【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式，进而求出的值。
3．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：对于A，函数的定义域为R，所以，定义域关于原点对称，
且所以函数f(x)为偶函数，
当时，则，所以，函数f(x)单调递增，所以，A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，所以，定义域关于原点对称，
且所以函数f(x)为奇函数，
由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减，
所以B不符合题意；
对于C，函数的定义域为R，所以，定义域关于原点对称，
且所以函数f(x)为偶函数，
当时，则，又因为
所以，函数在(0，1)上单调递减，所以，C符合题意；
对于D，函数的定义域为，所以，定义域关于原点对称，
且所以函数f(x)为奇函数，
又因为，令令
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用奇函数和偶函数的定义、函数单调性的定义以及导数判断单调性的方法，进而找出满足要求的函数.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵关于 的方程 的两根都大于2，
令 ，
可得 ，
即 ，
求得 。
故答案为：B.
【分析】关于 的方程 的两根都大于2，令 ，再结合根与系数的关系，从而利用判别式法和对称轴的位置，再结合特殊点判断法，从而结合交集的运算法则，从而求出实数m的取值范围。
5．【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式，进而求出的值.
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，A不符合题意；
，又因为，所以，因此不一定成立，B不符合题意；
因为，即，且，所以，C符合题意；
因为，所以，即，D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】由图象可知在定义域内单调递增，再结合对数型函数的单调性，进而得出实数a的取值范围，再结合函数的零点的求解方法得出函数的零点，再结合函数图象可知b的取值范围，进而得出；再利用和，得出不一定成立；再利用且，所以；再利用结合对数函数的单调性，所以，进而找出说法正确的选项。
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】 .
令 ，得 ，
函数 的零点为…， ， ， ， ， ，…
若 在 上有且只有3个零点，需满足 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】 ，取 得到 ，故 ，解得答案.
8．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由，得，
因为，所以，
即，设，
则在上单调递减，
而，
则，解得：；
因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，
则，解得：；
综上所述，原不等式的解集为。
故答案为：B.
【分析】由结合，所以，设，再利用减函数的定义判断出函数在上单调递减，再结合函数的单调性得出，进而得出x的取值范围，再利用函数为R上的奇函数结合奇函数的定义和偶函数的定义，从而判断出函数为R上的偶函数，再利用偶函数图象与单调性的关系，进而判断出函数在上单调递增，再利用函数的单调性，得出，进而得出x的取值范围，从而得出原不等式的解集。
9．【答案】A,C,D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：已知，所以所以.
对于A，因为，所以A对；
对于B，因为，所以B错；
对于C，因为，所以C对；
对于D，因为，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和三角函数值在各象限的符号，进而得出角x的余弦值，再结合诱导公式，进而得出复合型三角函数的值，从而找出正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：当时，，而，故选择模型②，故A错误，B正确；
小明去检查视力，医生告诉他视力为，即，解得，则小明视力的小数记录数据为1，故C错误；
小明去检查视力，医生告诉他视力为，即，解得，则小明视力的小数记录数据为0.8，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】将代入模型计算即可判断AB；根据选择的模型，将视力值代入计算即可判断CD.
11．【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】由 ，D不符合题意；
，A符合题意；
又由前面可知 ，B符合题意；
由 ，C符合题意，
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而找出不等式恒成立的选项。
12．【答案】B,D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为，所以关于点对称，
要使为奇函数，因为关于点对称，为奇函数，
所以只需使为偶函数即可，所以，
故符合题意的有B、D；
故答案为：BD
【分析】首先可得关于点对称，从而得到关于点对称，为奇函数，依题意只需使为偶函数即可，从而求出 的值 .
13．【答案】6
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：6.
【分析】利用指数幂的运算法则和对数的运算法则，进而化简求值.
14．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知，则，
所以，所以，
因为，，所以，所以，
所以，
因为，则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合完全平方公式和同角三角函数基本关系式，进而得出的值，再结合得出，再由同角三角函数基本关系式得出，再根据变形和同角三角函数基本关系式，进而解方程得出的值.
15．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对，有，所以
所以函数的周期为4，因为是上的奇函数，当时，，
则，
因为，所以，
所以
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合变形的方法和周期函数的定义，进而得出函数的周期，再结合函数的周期性和以及奇函数的定义，进而得出，再结合对数函数的单调性和当时，，进而得出的值.
16．【答案】1；（0，27）
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】作出函数的图象，如图，
因为，，
所以由图可知，，即，，且，
，
在上单调递增，
，
即的取值范围是（0，27）。
故答案为：1；（0，27）。
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用，，所以由分段函数的图象可知，，且，所以，令，再利用二次函数在上的单调性得出二次函数的值域，进而得出的取值范围。
17．【答案】（1）解：，，
，
是方程的一个根，
；此时，满足题意.
（2）解：
，解得，则的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合A，再结合交集的运算法则和根与系数的关系，进而得出实数b的值.
（2）利用，则，再结合集合的包含关系和分类讨论的方法，再借助数轴求出实数b的取值范围.
18．【答案】（1）解：，
∴，∴，∴，
又∵的终边位于第三象限角，∴，∴，
∴；
（2）解：
.
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用角之间的变换和两角差的正切公式和同角三角函数基本关系式以及三角函数的值在各象限的符号，进而得出的值.
（2）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合同角三角函数基本关系式，进而得出的值.
19．【答案】（1）解：由，可得，
根据三角函数定义可知，
所以，
即；
（2）解：由且可知，
又，可得；
所以，
可得
【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角函数的定义和同角三角函数基本关系式以及三角函数值在各象限的符号，进而得出角的三角函数值，再结合诱导公式得出的值.
（2）利用角的取值范围和三角函数值在各象限的符号，进而得出角的取值范围，再结合角的取值范围和不等式的基本性质，进而得出角的取值范围，再结合两角差的正弦公式，进而得出角的正弦值，从而得出角的值.
20．【答案】（1）解：函数
，
的最小正周期；
令，，得，，
所以的减区间为，．
（2）解：由（1）知，，
，
，
当，即时，函数取得最大值为，
当，即时，函数取得最小值为．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式，进而将函数转化为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期，再结合换元法和正弦函数的单调性，进而求出函数f(x)的单调递减区间.
（2）利用x的取值范围和不等式的基本性质以及换元法，再结合正弦公式的最值求解方法，进而得出函数f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
21．【答案】（1）解：在上为奇函数，故，即，解得，故.
又，；解得.
故，.
（2）解：；
增大时，增大，减小，减小；
在上单调递减；
为奇函数，由得，；
又在上单调递减；
，该不等式对于任意恒成立；
对任意恒成立；
设，则对于任意恒成立；
设，△；
应满足：；
解得；
的取值范围为．
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质得出b的值，再结合奇函数的定义，进而得出a的值，从而得出函数的解析式.
（2）利用（1）求出的函数的解析式结合函数的单调性，进而判断出函数f(x)的单调性，再结合奇函数的定义得出，再利用函数f(x)的单调性得出，再利用已知条件，则对于任意恒成立，
则对任意恒成立；再利用换元法，
设，则对于任意恒成立，再由换元法，，再由不等式恒成立问题求解方法，进而结合判别式法和二次函数的对称性和特殊值法，从而得出实数k的取值范围.
22．【答案】（1）解：函数 在 上有“漂移点”，理由如下
设 ，
因为 ， ，所以 ，
由零点存在定理可知， 在 上至少有1个零点，并设零点为 ，
即 至少有1个实根 ，
所以函数 在 上有“漂移点”．
（2）解：若函数 在 上有“漂移点”，
则存在实数 ，使得 成立，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ， ．
当 时， ，不合题意
当 时，令 ，则 在 上有零点
当 时，开口向下，对称轴 ，
在 上单调递减， ，
所以 在 上恒小于零，不合题意，
当 时，开口向上，对称轴 ，
由题意只要 ，即 ，
解得 ．
因为 ，所以 ．
综上所述：正实数 的取值范围为 ．
【知识点】二次函数的性质；不等式的综合；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合 “漂移点”的定义整理即可得到函数，然后由特殊值代入法计算出函数值，再由零点存在性定理即可得证出结论。
(2)由已知条件结合 “漂移点” 的定义，由此即可得到成立，整理即可得到，即，对a分情况讨论，结合二次函数的图象和性质即可得出a的取值范围。
1 / 1浙江省嘉兴市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1．（2021·焦作模拟）设集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，∴ ，
， ， ，
∴ 。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合分式不等式求解集的方法，进而求出集合A，再利用指数函数的单调性，进而求出集合B，再利用交集的运算法则求出集合A和集合B的交集。
2．（2023高一上·嘉兴月考）等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式，进而求出的值。
3．（2023高一上·嘉兴月考）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：对于A，函数的定义域为R，所以，定义域关于原点对称，
且所以函数f(x)为偶函数，
当时，则，所以，函数f(x)单调递增，所以，A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，所以，定义域关于原点对称，
且所以函数f(x)为奇函数，
由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减，
所以B不符合题意；
对于C，函数的定义域为R，所以，定义域关于原点对称，
且所以函数f(x)为偶函数，
当时，则，又因为
所以，函数在(0，1)上单调递减，所以，C符合题意；
对于D，函数的定义域为，所以，定义域关于原点对称，
且所以函数f(x)为奇函数，
又因为，令令
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用奇函数和偶函数的定义、函数单调性的定义以及导数判断单调性的方法，进而找出满足要求的函数.
4．（2021高一上·重庆月考）关于 的方程 的两根都大于2，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵关于 的方程 的两根都大于2，
令 ，
可得 ，
即 ，
求得 。
故答案为：B.
【分析】关于 的方程 的两根都大于2，令 ，再结合根与系数的关系，从而利用判别式法和对称轴的位置，再结合特殊点判断法，从而结合交集的运算法则，从而求出实数m的取值范围。
5．（2023高一上·嘉兴月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式，进而求出的值.
6．（2022·潍坊二模）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，A不符合题意；
，又因为，所以，因此不一定成立，B不符合题意；
因为，即，且，所以，C符合题意；
因为，所以，即，D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】由图象可知在定义域内单调递增，再结合对数型函数的单调性，进而得出实数a的取值范围，再结合函数的零点的求解方法得出函数的零点，再结合函数图象可知b的取值范围，进而得出；再利用和，得出不一定成立；再利用且，所以；再利用结合对数函数的单调性，所以，进而找出说法正确的选项。
7．（2020·安徽模拟）已知函数 ，若 在 上有且只有3个零点，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】 .
令 ，得 ，
函数 的零点为…， ， ， ， ， ，…
若 在 上有且只有3个零点，需满足 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】 ，取 得到 ，故 ，解得答案.
8．（2022·聊城二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由，得，
因为，所以，
即，设，
则在上单调递减，
而，
则，解得：；
因为为R上的奇函数，所以，
则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，
则，解得：；
综上所述，原不等式的解集为。
故答案为：B.
【分析】由结合，所以，设，再利用减函数的定义判断出函数在上单调递减，再结合函数的单调性得出，进而得出x的取值范围，再利用函数为R上的奇函数结合奇函数的定义和偶函数的定义，从而判断出函数为R上的偶函数，再利用偶函数图象与单调性的关系，进而判断出函数在上单调递增，再利用函数的单调性，得出，进而得出x的取值范围，从而得出原不等式的解集。
二、多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分）
9．（2023高一上·嘉兴月考）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：已知，所以所以.
对于A，因为，所以A对；
对于B，因为，所以B错；
对于C，因为，所以C对；
对于D，因为，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和三角函数值在各象限的符号，进而得出角x的余弦值，再结合诱导公式，进而得出复合型三角函数的值，从而找出正确的选项.
10．（2023高一上·嘉兴月考）常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为，对应的五分记录数据记为，现有两个函数模型：①；②．根据如图所示的标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（　　）
(参考数据：10-0.2≈0.6，10-0.15≈0.7，10-0.1≈0.8，10-0.05≈0.9)
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为
【答案】B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：当时，，而，故选择模型②，故A错误，B正确；
小明去检查视力，医生告诉他视力为，即，解得，则小明视力的小数记录数据为1，故C错误；
小明去检查视力，医生告诉他视力为，即，解得，则小明视力的小数记录数据为0.8，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】将代入模型计算即可判断AB；根据选择的模型，将视力值代入计算即可判断CD.
11．（2021高二下·苏州月考）若 ，且 ，则下列不等式恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】由 ，D不符合题意；
，A符合题意；
又由前面可知 ，B符合题意；
由 ，C符合题意，
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而找出不等式恒成立的选项。
12．（2022·潍坊模拟）已知定义域为R的函数满足，函数，若函数为奇函数，则的值可以为（　　）
A． B． C．π D．
【答案】B,D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为，所以关于点对称，
要使为奇函数，因为关于点对称，为奇函数，
所以只需使为偶函数即可，所以，
故符合题意的有B、D；
故答案为：BD
【分析】首先可得关于点对称，从而得到关于点对称，为奇函数，依题意只需使为偶函数即可，从而求出 的值 .
三、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．（2023高一上·嘉兴月考）　 　．
【答案】6
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：6.
【分析】利用指数幂的运算法则和对数的运算法则，进而化简求值.
14．（2023高一上·嘉兴月考）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知，则，
所以，所以，
因为，，所以，所以，
所以，
因为，则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合完全平方公式和同角三角函数基本关系式，进而得出的值，再结合得出，再由同角三角函数基本关系式得出，再根据变形和同角三角函数基本关系式，进而解方程得出的值.
15．（2023高一上·嘉兴月考）已知是上的奇函数，且对，有，当时，，则　 　．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对，有，所以
所以函数的周期为4，因为是上的奇函数，当时，，
则，
因为，所以，
所以
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合变形的方法和周期函数的定义，进而得出函数的周期，再结合函数的周期性和以及奇函数的定义，进而得出，再结合对数函数的单调性和当时，，进而得出的值.
16．（2022·石家庄模拟）已知函数，若存在实数.满足，且，则　 　，的取值范围是　 　.
【答案】1；（0，27）
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】作出函数的图象，如图，
因为，，
所以由图可知，，即，，且，
，
在上单调递增，
，
即的取值范围是（0，27）。
故答案为：1；（0，27）。
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用，，所以由分段函数的图象可知，，且，所以，令，再利用二次函数在上的单调性得出二次函数的值域，进而得出的取值范围。
四、解答题（共6题，17题10分，其余各题12分，共70分）
17．（2023高一上·嘉兴月考）已知集合，集合
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：，，
，
是方程的一个根，
；此时，满足题意.
（2）解：
，解得，则的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合A，再结合交集的运算法则和根与系数的关系，进而得出实数b的值.
（2）利用，则，再结合集合的包含关系和分类讨论的方法，再借助数轴求出实数b的取值范围.
18．（2023高一上·嘉兴月考）已知．
（1）若的终边位于第三象限角，求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：，
∴，∴，∴，
又∵的终边位于第三象限角，∴，∴，
∴；
（2）解：
.
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用角之间的变换和两角差的正切公式和同角三角函数基本关系式以及三角函数的值在各象限的符号，进而得出的值.
（2）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合同角三角函数基本关系式，进而得出的值.
19．（2023高一上·嘉兴月考）已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.求
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：由，可得，
根据三角函数定义可知，
所以，
即；
（2）解：由且可知，
又，可得；
所以，
可得
【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角函数的定义和同角三角函数基本关系式以及三角函数值在各象限的符号，进而得出角的三角函数值，再结合诱导公式得出的值.
（2）利用角的取值范围和三角函数值在各象限的符号，进而得出角的取值范围，再结合角的取值范围和不等式的基本性质，进而得出角的取值范围，再结合两角差的正弦公式，进而得出角的正弦值，从而得出角的值.
20．（2023高一上·嘉兴月考）已知函数，．
（1）求的最小正周期及单调减区间；
（2）求在闭区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：函数
，
的最小正周期；
令，，得，，
所以的减区间为，．
（2）解：由（1）知，，
，
，
当，即时，函数取得最大值为，
当，即时，函数取得最小值为．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式，进而将函数转化为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期，再结合换元法和正弦函数的单调性，进而求出函数f(x)的单调递减区间.
（2）利用x的取值范围和不等式的基本性质以及换元法，再结合正弦公式的最值求解方法，进而得出函数f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
21．（2023高一上·嘉兴月考）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：在上为奇函数，故，即，解得，故.
又，；解得.
故，.
（2）解：；
增大时，增大，减小，减小；
在上单调递减；
为奇函数，由得，；
又在上单调递减；
，该不等式对于任意恒成立；
对任意恒成立；
设，则对于任意恒成立；
设，△；
应满足：；
解得；
的取值范围为．
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质得出b的值，再结合奇函数的定义，进而得出a的值，从而得出函数的解析式.
（2）利用（1）求出的函数的解析式结合函数的单调性，进而判断出函数f(x)的单调性，再结合奇函数的定义得出，再利用函数f(x)的单调性得出，再利用已知条件，则对于任意恒成立，
则对任意恒成立；再利用换元法，
设，则对于任意恒成立，再由换元法，，再由不等式恒成立问题求解方法，进而结合判别式法和二次函数的对称性和特殊值法，从而得出实数k的取值范围.
22．（2020高一上·惠州期末）对于函数 ，若在其定义域内存在实数 ，使得 成立，则称 有“漂移点” ．
（1）判断函数 在 上是否有“漂移点”，并说明理由；
（2）若函数 在 上有“漂移点”，求正实数 的取值范围．
【答案】（1）解：函数 在 上有“漂移点”，理由如下
设 ，
因为 ， ，所以 ，
由零点存在定理可知， 在 上至少有1个零点，并设零点为 ，
即 至少有1个实根 ，
所以函数 在 上有“漂移点”．
（2）解：若函数 在 上有“漂移点”，
则存在实数 ，使得 成立，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ， ．
当 时， ，不合题意
当 时，令 ，则 在 上有零点
当 时，开口向下，对称轴 ，
在 上单调递减， ，
所以 在 上恒小于零，不合题意，
当 时，开口向上，对称轴 ，
由题意只要 ，即 ，
解得 ．
因为 ，所以 ．
综上所述：正实数 的取值范围为 ．
【知识点】二次函数的性质；不等式的综合；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合 “漂移点”的定义整理即可得到函数，然后由特殊值代入法计算出函数值，再由零点存在性定理即可得证出结论。
(2)由已知条件结合 “漂移点” 的定义，由此即可得到成立，整理即可得到，即，对a分情况讨论，结合二次函数的图象和性质即可得出a的取值范围。
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