1.1.1 空间向量及其线性运算 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 1.1.1 空间向量及其线性运算 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 116.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-31 11:42:39 | ||
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文档简介
1．1.1 空间向量及其线性运算(2)
一、 单项选择题
1 已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A. 共面
B. 不一定共面
C. 无法判断是否共面
D. 不共面
2 已知非零向量e1，e2不共线，若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，则A，B，C，D四点( )
A. 一定共线
B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面
D. 一定不共面
3 给出下列命题：①向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面；②若p＝xa＋yb(x，y∈R)，则向量p与向量a，b共面；③若向量p与向量a，b共面，则向量p可以由两个向量a，b线性表示，其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4 在正四面体DABC中，O是△ABC的中心，若＝x＋y＋z，则下列结论中正确的是( )
A. x＝y＝z＝ B. x＝y＝z＝
C. x＝y＝z＝ D. x＝y＝z＝1
5 (2023厦门一中阶段练习)如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，＝，＝，＝2，直线AC1与平面EFG交于点M，则等于( )
A. B. C. D.
6 (2023遵义统考)若a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量不共面的是( )
A. a，b－c，b－a－c
B. a＋b，a－2b＋c，b＋c
C. a－2b，b＋c，a＋2c
D. a－b＋c，2b＋c，a＋b＋2c
二、 多项选择题
7 在以下命题中，不正确的命题有( )
A. 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B. 若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2＋2－3，则P，A，B，C四点共面
D. 若两个非零空间向量，满足＋＝0，则∥
8 下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是( )
A. ＝＋
B. ＝＋＋
C. ＝＋＋
D. ＋＋＋＝0
三、 填空题
9 (2023咸阳中学阶段练习)在四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，E，F分别为AC，BD的中点，则＝________．
10 已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，G为△ABC的重心，若＝x＋y＋z，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝__________.
11 (2023保定期中)已知圆锥PO(P为圆锥顶点，O为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A，B，C为底面圆周上的三点，空间一动点Q满足＝2x＋y＋(1－2x－y)，则||的最小值为________．
四、 解答题
12 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋).
13 (2023成都七中开学考试)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，＝k，＝k，＝k，＝k.
(1) 当k＝时，试用，，表示；
(2) 求证：E，F，G，H四点共面．
【答案与解析】
1．1.1 空间向量及其线性运算(2)
1. A ＝＋＋，则－＋－＋－＝0，所以＋＋＝0，则＝－－，故P，A，B，C四点共面．
2. C 因为非零向量e1，e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，所以5－＝5e1＋5e2－3e1＋3e2＝2e1＋8e2＝，所以＝5－.由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面．
3. B 由共面向量的定义知①错误；②正确；若向量a，b共线，则③错误，故真命题的个数是1.
4. B 因为四面体DABC是正四面体，所以每个面都是正三角形，则＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝＋＋.又＝x＋y＋z，所以x＝y＝z＝.
5. A 设＝λ(0<λ<1).因为＝＋＋＝3＋3＋，所以＝3λ＋3λ＋λ.又因为M，E，F，G四点共面，所以3λ＋3λ＋λ＝1，解得λ＝，即＝.
6. B 对于A，a＝(b－c)－(b－a－c)，故三个向量共面；对于B，假设a＋b，a－2b＋c，b＋c共面，则 λ，μ∈R，使得a＋b＝λ(a－2b＋c)＋μ(b＋c)，故有方程组无解，所以假设不成立，故三个向量不共面；对于C，a－2b＝－2(b＋c)＋(a＋2c)，故三个向量共面；对于D，a－b＋c＝－(2b＋c)＋(a＋b＋2c)，故三个向量共面．
7. AB 对于A，当b＝0时，a与c不一定共线，故A错误；对于B，若 b＝0，a≠0，则 a∥b，但不存在实数 λ，使得 a＝λb，故B错误；对于C，对空间任意一点 O和不共线的三点 A，B，C，若P，A，B，C四点共面，可设＝x＋y，其中x，y∈R，则－＝x(－)＋y(－)，可得＝(1－x－y)＋x＋y. 因为＝2＋2－3，又2＋2－3＝1，所以P，A，B，C四点共面，故C正确；对于D，若两个非零空间向量，满足＋＝0，则＝－，所以∥，故D正确．故选AB.
8. AB 对于A，由＝＋，得，，为共面向量，故P，A，B，C四点共面；对于B，＋＋＝1，故P，A，B，C四点共面；对于C，由＝＋＋，1＋1＋1＝3≠1，得P，A，B，C四点不共面；对于D，由＋＋＋＝0，得＝－－－，而－1－1－1＝－3≠1，所以P，A，B，C四点不共面．故选AB.
9. 3a＋3b－5c 由题意，得＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋＋＝＋＝(5a＋6b－8c＋a－2c)＝3a＋3b－5c.
10. 1 如图，取AC的中点D，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×＝＋＋.又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝1.
11. 因为＝2x＋y＋(1－2x－y)，所以－＝2x－2x＋y－y，即＝2x＋y，所以，，共面．又A，B，C为底面圆周上的三点，所以Q为平面ABC上一点．由题意可得PO⊥平面ABC，所以||≥||.又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，所以||＝，所以||的最小值为.
12. (1) 因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
所以＝＝，
所以E，F，G，H四点共面．
(2) 因为＋＝2，＋＝2，且＋＝0，
所以＋＋＋＝0，
所以＝(＋＋＋).
13. (1) 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
有＝＋.
因为k＝，
所以＝＋＝＋－
＝＋－＝＋
＝＋＋.
(2) 设＝λ＋μ(λ，μ不为0)，
则＝－＝k－k
＝k＝k(λ＋μ)＝kλ＋kμ
＝λk(－)＋μk(－)
＝λ(－)＋μ(－)＝λ＋μ，
则，，共面且有公共点E，
所以E，F，G，H四点共面．
一、 单项选择题
1 已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A. 共面
B. 不一定共面
C. 无法判断是否共面
D. 不共面
2 已知非零向量e1，e2不共线，若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，则A，B，C，D四点( )
A. 一定共线
B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面
D. 一定不共面
3 给出下列命题：①向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面；②若p＝xa＋yb(x，y∈R)，则向量p与向量a，b共面；③若向量p与向量a，b共面，则向量p可以由两个向量a，b线性表示，其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4 在正四面体DABC中，O是△ABC的中心，若＝x＋y＋z，则下列结论中正确的是( )
A. x＝y＝z＝ B. x＝y＝z＝
C. x＝y＝z＝ D. x＝y＝z＝1
5 (2023厦门一中阶段练习)如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，＝，＝，＝2，直线AC1与平面EFG交于点M，则等于( )
A. B. C. D.
6 (2023遵义统考)若a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量不共面的是( )
A. a，b－c，b－a－c
B. a＋b，a－2b＋c，b＋c
C. a－2b，b＋c，a＋2c
D. a－b＋c，2b＋c，a＋b＋2c
二、 多项选择题
7 在以下命题中，不正确的命题有( )
A. 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B. 若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2＋2－3，则P，A，B，C四点共面
D. 若两个非零空间向量，满足＋＝0，则∥
8 下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是( )
A. ＝＋
B. ＝＋＋
C. ＝＋＋
D. ＋＋＋＝0
三、 填空题
9 (2023咸阳中学阶段练习)在四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，E，F分别为AC，BD的中点，则＝________．
10 已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，G为△ABC的重心，若＝x＋y＋z，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝__________.
11 (2023保定期中)已知圆锥PO(P为圆锥顶点，O为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A，B，C为底面圆周上的三点，空间一动点Q满足＝2x＋y＋(1－2x－y)，则||的最小值为________．
四、 解答题
12 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋).
13 (2023成都七中开学考试)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，＝k，＝k，＝k，＝k.
(1) 当k＝时，试用，，表示；
(2) 求证：E，F，G，H四点共面．
【答案与解析】
1．1.1 空间向量及其线性运算(2)
1. A ＝＋＋，则－＋－＋－＝0，所以＋＋＝0，则＝－－，故P，A，B，C四点共面．
2. C 因为非零向量e1，e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，所以5－＝5e1＋5e2－3e1＋3e2＝2e1＋8e2＝，所以＝5－.由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面．
3. B 由共面向量的定义知①错误；②正确；若向量a，b共线，则③错误，故真命题的个数是1.
4. B 因为四面体DABC是正四面体，所以每个面都是正三角形，则＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝＋＋.又＝x＋y＋z，所以x＝y＝z＝.
5. A 设＝λ(0<λ<1).因为＝＋＋＝3＋3＋，所以＝3λ＋3λ＋λ.又因为M，E，F，G四点共面，所以3λ＋3λ＋λ＝1，解得λ＝，即＝.
6. B 对于A，a＝(b－c)－(b－a－c)，故三个向量共面；对于B，假设a＋b，a－2b＋c，b＋c共面，则 λ，μ∈R，使得a＋b＝λ(a－2b＋c)＋μ(b＋c)，故有方程组无解，所以假设不成立，故三个向量不共面；对于C，a－2b＝－2(b＋c)＋(a＋2c)，故三个向量共面；对于D，a－b＋c＝－(2b＋c)＋(a＋b＋2c)，故三个向量共面．
7. AB 对于A，当b＝0时，a与c不一定共线，故A错误；对于B，若 b＝0，a≠0，则 a∥b，但不存在实数 λ，使得 a＝λb，故B错误；对于C，对空间任意一点 O和不共线的三点 A，B，C，若P，A，B，C四点共面，可设＝x＋y，其中x，y∈R，则－＝x(－)＋y(－)，可得＝(1－x－y)＋x＋y. 因为＝2＋2－3，又2＋2－3＝1，所以P，A，B，C四点共面，故C正确；对于D，若两个非零空间向量，满足＋＝0，则＝－，所以∥，故D正确．故选AB.
8. AB 对于A，由＝＋，得，，为共面向量，故P，A，B，C四点共面；对于B，＋＋＝1，故P，A，B，C四点共面；对于C，由＝＋＋，1＋1＋1＝3≠1，得P，A，B，C四点不共面；对于D，由＋＋＋＝0，得＝－－－，而－1－1－1＝－3≠1，所以P，A，B，C四点不共面．故选AB.
9. 3a＋3b－5c 由题意，得＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋＋＝＋＝(5a＋6b－8c＋a－2c)＝3a＋3b－5c.
10. 1 如图，取AC的中点D，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×＝＋＋.又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝1.
11. 因为＝2x＋y＋(1－2x－y)，所以－＝2x－2x＋y－y，即＝2x＋y，所以，，共面．又A，B，C为底面圆周上的三点，所以Q为平面ABC上一点．由题意可得PO⊥平面ABC，所以||≥||.又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，所以||＝，所以||的最小值为.
12. (1) 因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
所以＝＝，
所以E，F，G，H四点共面．
(2) 因为＋＝2，＋＝2，且＋＝0，
所以＋＋＋＝0，
所以＝(＋＋＋).
13. (1) 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
有＝＋.
因为k＝，
所以＝＋＝＋－
＝＋－＝＋
＝＋＋.
(2) 设＝λ＋μ(λ，μ不为0)，
则＝－＝k－k
＝k＝k(λ＋μ)＝kλ＋kμ
＝λk(－)＋μk(－)
＝λ(－)＋μ(－)＝λ＋μ，
则，，共面且有公共点E，
所以E，F，G，H四点共面．