1.1.2 空间向量的数量积运算 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 1.1.2 空间向量的数量积运算 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 115.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-31 11:43:02 | ||
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文档简介
1．1.2 空间向量的数量积运算
一、 单项选择题
1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
2 已知a，b是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是( )
A. (a·b)2＝a2·b2 B. (a＋b)2＝a2＋b2
C. (λa)2＝λ2a2 D. ＝a
3 (2023沈阳十五中阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC＝120°，PD＝AD，则下列结论中正确的是( )
A. (＋)·＝1
B. (＋)·＝
C. ·＝－
D. ·＝
4 (2023石家庄二中期中)如图，二面角α-l-β等于150°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝，则CD等于( )
A. 2 B. 2 C. D.
5 如图，正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为棱AD，BC的中点，则·的值为( )
A. 4 B. －4 C. －2 D. 2
(第5题)
6 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论中不正确的是( )
A. 平面D1A1P⊥平面A1AP
B. ·不是定值
C. 三棱锥B1-D1PC的体积为定值 (第6题)
D. DC1⊥D1P
二、 多项选择题
7 若a，b，c是空间任意三个向量，λ∈R，则下列关系中不一定成立的是( )
A. |a＋b|＝|b－a|
B. (a＋b)·c＝a·(b＋c)
C. λ(a＋b)＝λa＋λb
D. b＝λa
8 (2023沈阳联考)已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，＝2，＝2，则下列说法中正确的是( )
A. ·＝1
B. ·(＋)＝－
C. ||＝
D. cos 〈，〉＝
三、 填空题
9 已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________．
10 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝4，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AB⊥AD，E为CC1的中点，则||＝________．
11 (2023湖南联考)已知向量a，b夹角的余弦值为，且|a|＝2，|b|＝4，则a·(b－a)＝________．
四、 解答题
12 (2023贵州联考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为B1C1和AB的中点，设＝a，＝b，＝c.
(1) 用a，b，c表示向量；
(2) 若||＝||＝||＝1，∠A1AB＝∠BAC＝60°，∠A1AC＝90°，求·的值．
13 已知向量a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量r＝a＋b＋c的长度和r与a，b，c的夹角的余弦值.
【答案与解析】
1．1.2 空间向量的数量积运算
1. A 与的夹角为45°，与的夹角为135°，与的夹角为90°，与的夹角为180°.
2. C 设向量a，b的夹角为θ，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2·cos 2θ，故A错误；(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，故B错误；(λa)2＝λ2a2，故C正确；＝＝|a|cos θ，故D错误．
3. C 对于A，因为PD⊥底面ABCD，DA 平面ABCD，DC 平面ABCD，所以PD⊥DA，PD⊥DC，所以(＋)·＝·＋·＝0，故A错误；对于B，因为四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，所以∠ADB＝60°.又AD＝AB＝1，所以△ADB为等边三角形，所以DB＝1，所以·＝－·＝－||·||cos 60°＝－，(＋)·＝·＋·＝·＝－，故B错误；对于C，·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－||·||cos 120°－0＋0－1＝－1＝－，故C正确；对于D，·＝·(－)＝·－·＝0－||·||cos 60°＝－，故D错误．
4. C 由已知，二面角α-l-β等于150°，即〈，〉＝150°.因为＝－＝＋－，所以||2＝(＋－)2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝4＋3＋4＋0－0－2×2××＝17，所以CD＝.
5. C 因为＝＋＋＝＋＋，所以·＝(＋＋)·＝·－||2＋·＝×22×cos 60°－22＋×22×cos 60°＝－2.
6. B 对于A，易知D1A1⊥平面A1AP.因为D1A1 平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；对于B，·＝(＋)·＝·＋·＝||·||cos 45°＋||·||cos 90°＝1××＝1，故B不正确；对于C，因为A1B∥平面B1D1C，P是线段A1B上的动点，所以点P到平面B1D1C的距离是定值．又因为△B1D1C的面积是定值，所以VB1-D1PC＝VP-B1D1C是定值，故C正确；对于D，因为DC1⊥A1D1，DC1⊥A1B，A1D1∩A1B＝A1，A1D1 平面A1D1B，A1B 平面A1D1B，所以DC1⊥平面A1D1B.又D1P 平面A1D1B，所以DC1⊥D1P，故D正确．
7. ABD 对于A，若|a＋b|2＝|b－a|2，则a·b＝0，所以当a⊥b时，|a＋b|＝|b－a|，故A不一定成立；对于B，利用分配律，得a·c＋b·c＝a·b＋a·c，易知不一定成立；对于C，利用分配律可得λ(a＋b)＝λa＋λb，故一定成立；对于D，两向量不一定共线，故D不一定成立．故选ABD.
8. BC 由单位向量，，两两夹角之间的均为60°，得·＝·＝·＝1×1×cos 60°＝，故A错误；·(＋)＝·(－＋－)＝·(2－－)＝1－－1＝－，故B正确；由＝2，得＝.由＝2，得－＝2－2，即＝，所以＝－＝，则||＝＝＝×＝，故C正确；＝－＝，所以·＝－＝－＝－，故cos 〈，〉<0，故D错误．故选BC.
9. 60° 由题意，得(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减，得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，所以cos 〈a，b〉＝＝＝，故〈a，b〉＝60°.
10. 6 设＝a，＝b，＝c.因为a·b＝0，a·c＝8，b·c＝4，所以||2＝＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋a·c＋b·c＝36，解得||＝6.
11. －2 由题意，得a·b＝2×4×＝2，所以a·(b－a)＝a·b－a2＝2－22＝－2.
12. (1) ＝＋＋＝－(＋)－＋＝－b－c.
(2) ·＝·(b－a)
＝－b2－b·c＋b·a＋a·c
＝－－0＋×1×1×＋1×1×＝.
13. |r|2＝|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c.
因为向量a，b，c两两垂直，
所以2a·b＋2a·c＋2b·c＝0，
所以|r|2＝14，即r＝a＋b＋c的长度为.
又r·a＝(a＋b＋c)·a＝|a|2＝1，
r·b＝(a＋b＋c)·b＝|b|2＝4，
r·c＝(a＋b＋c)·c＝|c|2＝9，
所以cos 〈r，a〉＝＝＝，
cos 〈r，b〉＝＝＝，
cos 〈r，c〉＝＝＝.
一、 单项选择题
1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
2 已知a，b是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是( )
A. (a·b)2＝a2·b2 B. (a＋b)2＝a2＋b2
C. (λa)2＝λ2a2 D. ＝a
3 (2023沈阳十五中阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC＝120°，PD＝AD，则下列结论中正确的是( )
A. (＋)·＝1
B. (＋)·＝
C. ·＝－
D. ·＝
4 (2023石家庄二中期中)如图，二面角α-l-β等于150°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝，则CD等于( )
A. 2 B. 2 C. D.
5 如图，正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为棱AD，BC的中点，则·的值为( )
A. 4 B. －4 C. －2 D. 2
(第5题)
6 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论中不正确的是( )
A. 平面D1A1P⊥平面A1AP
B. ·不是定值
C. 三棱锥B1-D1PC的体积为定值 (第6题)
D. DC1⊥D1P
二、 多项选择题
7 若a，b，c是空间任意三个向量，λ∈R，则下列关系中不一定成立的是( )
A. |a＋b|＝|b－a|
B. (a＋b)·c＝a·(b＋c)
C. λ(a＋b)＝λa＋λb
D. b＝λa
8 (2023沈阳联考)已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，＝2，＝2，则下列说法中正确的是( )
A. ·＝1
B. ·(＋)＝－
C. ||＝
D. cos 〈，〉＝
三、 填空题
9 已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________．
10 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝4，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AB⊥AD，E为CC1的中点，则||＝________．
11 (2023湖南联考)已知向量a，b夹角的余弦值为，且|a|＝2，|b|＝4，则a·(b－a)＝________．
四、 解答题
12 (2023贵州联考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为B1C1和AB的中点，设＝a，＝b，＝c.
(1) 用a，b，c表示向量；
(2) 若||＝||＝||＝1，∠A1AB＝∠BAC＝60°，∠A1AC＝90°，求·的值．
13 已知向量a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量r＝a＋b＋c的长度和r与a，b，c的夹角的余弦值.
【答案与解析】
1．1.2 空间向量的数量积运算
1. A 与的夹角为45°，与的夹角为135°，与的夹角为90°，与的夹角为180°.
2. C 设向量a，b的夹角为θ，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2·cos 2θ，故A错误；(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，故B错误；(λa)2＝λ2a2，故C正确；＝＝|a|cos θ，故D错误．
3. C 对于A，因为PD⊥底面ABCD，DA 平面ABCD，DC 平面ABCD，所以PD⊥DA，PD⊥DC，所以(＋)·＝·＋·＝0，故A错误；对于B，因为四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，所以∠ADB＝60°.又AD＝AB＝1，所以△ADB为等边三角形，所以DB＝1，所以·＝－·＝－||·||cos 60°＝－，(＋)·＝·＋·＝·＝－，故B错误；对于C，·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－||·||cos 120°－0＋0－1＝－1＝－，故C正确；对于D，·＝·(－)＝·－·＝0－||·||cos 60°＝－，故D错误．
4. C 由已知，二面角α-l-β等于150°，即〈，〉＝150°.因为＝－＝＋－，所以||2＝(＋－)2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝4＋3＋4＋0－0－2×2××＝17，所以CD＝.
5. C 因为＝＋＋＝＋＋，所以·＝(＋＋)·＝·－||2＋·＝×22×cos 60°－22＋×22×cos 60°＝－2.
6. B 对于A，易知D1A1⊥平面A1AP.因为D1A1 平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；对于B，·＝(＋)·＝·＋·＝||·||cos 45°＋||·||cos 90°＝1××＝1，故B不正确；对于C，因为A1B∥平面B1D1C，P是线段A1B上的动点，所以点P到平面B1D1C的距离是定值．又因为△B1D1C的面积是定值，所以VB1-D1PC＝VP-B1D1C是定值，故C正确；对于D，因为DC1⊥A1D1，DC1⊥A1B，A1D1∩A1B＝A1，A1D1 平面A1D1B，A1B 平面A1D1B，所以DC1⊥平面A1D1B.又D1P 平面A1D1B，所以DC1⊥D1P，故D正确．
7. ABD 对于A，若|a＋b|2＝|b－a|2，则a·b＝0，所以当a⊥b时，|a＋b|＝|b－a|，故A不一定成立；对于B，利用分配律，得a·c＋b·c＝a·b＋a·c，易知不一定成立；对于C，利用分配律可得λ(a＋b)＝λa＋λb，故一定成立；对于D，两向量不一定共线，故D不一定成立．故选ABD.
8. BC 由单位向量，，两两夹角之间的均为60°，得·＝·＝·＝1×1×cos 60°＝，故A错误；·(＋)＝·(－＋－)＝·(2－－)＝1－－1＝－，故B正确；由＝2，得＝.由＝2，得－＝2－2，即＝，所以＝－＝，则||＝＝＝×＝，故C正确；＝－＝，所以·＝－＝－＝－，故cos 〈，〉<0，故D错误．故选BC.
9. 60° 由题意，得(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减，得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，所以cos 〈a，b〉＝＝＝，故〈a，b〉＝60°.
10. 6 设＝a，＝b，＝c.因为a·b＝0，a·c＝8，b·c＝4，所以||2＝＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋a·c＋b·c＝36，解得||＝6.
11. －2 由题意，得a·b＝2×4×＝2，所以a·(b－a)＝a·b－a2＝2－22＝－2.
12. (1) ＝＋＋＝－(＋)－＋＝－b－c.
(2) ·＝·(b－a)
＝－b2－b·c＋b·a＋a·c
＝－－0＋×1×1×＋1×1×＝.
13. |r|2＝|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c.
因为向量a，b，c两两垂直，
所以2a·b＋2a·c＋2b·c＝0，
所以|r|2＝14，即r＝a＋b＋c的长度为.
又r·a＝(a＋b＋c)·a＝|a|2＝1，
r·b＝(a＋b＋c)·b＝|b|2＝4，
r·c＝(a＋b＋c)·c＝|c|2＝9，
所以cos 〈r，a〉＝＝＝，
cos 〈r，b〉＝＝＝，
cos 〈r，c〉＝＝＝.