1.2.1 空间向量基本定理 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

1．2　空间向量基本定理
1.2.1　空间向量基本定理(1)
一、 单项选择题
1 下列说法中，正确的是(　　)
A. 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 直线的方向向量有且仅有一个
2 在四面体OABC中，P为棱BC的中点. 设＝a，＝b，＝c，那么向量用基底{a，b，c}可表示为(　　)
A. －a＋b＋c B. －a＋b＋c
C. a＋b＋c D. a＋b＋c
3 已知是空间的一个基底，则＝＝是 p1＝x1a＋y1b＋z1c与 p2＝x2a＋y2b＋z2c共线的　(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 设O-ABC是正三棱锥，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为(　　)
A. B. C. D. 1
5 (2024岳阳开学考试)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AB＝2，AA1＝3且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则·的值为(　　)
A. 4 B. 0 C. －2 D. －8
6 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝λe2＋e3，c＝e1＋e2＋e3.若{a，b，c}能作为基底，则实数λ的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1)∪(－1，＋∞)
B. (－∞，0)∪(0，＋∞)
C. (－∞，1)∪(1，＋∞)
D. (－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)
二、 多项选择题
7 若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是(　　)
A. {a，2b，3c}
B. {a＋b，b＋c，c＋a}
C. {a＋2b，2b＋3c，3a－9c}
D. {a＋b＋c，b，c}
8 (2023合肥一中期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，＝a，＝b，＝c，若＝，＝2，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝a－b＋c
B. ＝a－b＋c
C. ＝a＋b－c
D. ＝a－b＋c
三、 填空题
9 (2023揭阳普宁二中实验学校练习)已知{a，b，c}是空间的一个基底，向量p＝3a＋b＋c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，向量p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c，则x－y＝________．
10 (2023上海民办新虹桥中学期中)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，O为空间任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为________．
11 (2023亳州阶段练习)在四面体ABCD中，点E满足＝λ，F为BE的中点，且＝＋＋，则实数λ＝________．
四、 解答题
12 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1) 用向量a，b，c表示，；
(2) 若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
13 如图，在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F.若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并且求出该定值．
【答案与解析】
1．2　空间向量基本定理
1．2.1　空间向量基本定理(1)
1. C　对于A，任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底，当三个不共线的向量共面时，不能构成空间的一个基底，故A错误；对于B，任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底，空间的基底不只有一个，故B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，故C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，它们是共线向量，故D错误．
2. B　因为 P为棱BC的中点，所以＝(＋)，所以＝－＝(＋)－.又因为＝a，＝b，＝c，所以＝(＋)－＝－a＋b＋c.
3. A　设＝＝＝k，则x1＝kx2，y1＝ky2，z1＝kz2，所以p1＝k(x2a＋y2b＋z2c)＝kp2，所以p1与p2共线，即充分性成立；若p2＝0，则＝＝不成立，即必要性不成立，故是充分不必要条件．
4. C　如图，连接AG1并延长交BC于点D，则D为BC的中点．因为G1为△ABC的重心，所以＝.因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×(＋)＝(＋＋)，所以＝＝(＋＋)＝＋＋，所以x＝y＝z＝，所以x＋y＋z＝.
5. D　由题意，得＝＋＝－＋＋，＝＋＝＋，所以·＝(－＋＋)·(＋)＝||2－||2＋·＋·＝22－32＋0＋2×3×＝－8.
6. B　若a，b，c共面，则由共面向量定理知，存在实数x，y，使得a＝xb＋yc，即3e1＋2e2＋e3＝x(λe2＋e3)＋y.因为e1，e2，e3不共面，所以3＝y，2＝xλ＋y，1＝x＋y，解得x＝－1，y＝2，λ＝0.当λ＝0时，a＝－b＋2c，此时不能作为基底，所以若能作为基底，则实数λ满足的条件是λ≠0.
7. ABD　由于a，b，c不共面，易判断A，B，D中的三个向量也不共面，可以作为一组基向量；对于C，有3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝3(a＋2b)，故这三个向量是共面的，不能构成基底．故选ABD.
8. BC　对于A，＝－＝－＝(－)－(－)＝－＋＝a－b＋c，故A错误；对于B，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－－)＝－＋＝a－b＋c，故B正确；对于C，＝－＝－(－)＝a－b＋c－(c－b)＝a＋b－c，故C正确；对于D，＝－＝(a－b＋c)－＝a＋b－c，故D错误．故选BC.
9. 1　因为p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋c，且p＝3a＋b＋c，所以所以x－y＝1.
10. 2a－2b＋c　因为AB∥CD，2AB＝CD，所以2＝－，可得2(－)＝－(－)，即2(b－a)＝－(－c)，所以＝2a－2b＋c.
11. 　由F为BE的中点，得＝＋.又＝＋＋，所以＝＋，由＝λ，得－＝λ(－)，即＝λ＋(1－λ)，所以λ＝.
12. (1) 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，
＝－＝－(＋)＝a－b－c.
由E，F分别是AD1，BD的中点，得＝－＝(＋)－(＋)＝a－c.
(2) ＝－＝(＋)－(＋)＝－－＝a－b－c，
而＝xa＋yb＋zc，且a，b，c不共面，
所以x＝，y＝－，z＝－1.
13. 连接AG交BC于点H.
以{，，}为基底，
则＝＝(＋)
＝＋×
＝＋×(＋)
＝＋(－)＋(－)
＝＋＋.
又点D，E，F，M共面，由共面向量定理得存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
所以－＝λ(－)＋μ(－)，
所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m·＋λn＋μt.
由空间向量基本定理知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
所以＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．