1.2.2 空间向量基本定理 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 1.2.2 空间向量基本定理 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 117.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-31 11:43:57 | ||
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文档简介
1．2.2 空间向量基本定理(2)
一、 单项选择题
1 (2023菏泽鄄城一中阶段练习)已知{a，b，c}是空间的一个基底，m＝2a＋3b－c，n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c).若m∥n，则x＋y等于( )
A. 0 B. －6 C. 6 D. 5
2 (2023天津河东统考)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3 有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；③已知{a，b，c}是空间的一个基底，则{a＋b，a－b，－c}也是空间的一个基底. 其中正确的命题是( )
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
4 在棱长均为3的三棱锥S-ABC中，若空间一点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则||的最小值为( )
A. B. C. D. 1
5 在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足 ＝x＋y－(x＋y－1)，点N满足＝λ＋(1－λ)，当AM，BN最短时，·的值为( )
A. － B. C. － D.
6 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果＝＋7＋6－4，那么点M必( )
A. 在平面BAD1内
B. 在平面BA1D内
C. 在平面BA1D1内
D. 在平面AB1C1内
二、 多项选择题
7 下列关于空间向量的命题中，正确的是( )
A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B. 不相等的两个空间向量的模可能相等
C. 模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D. 若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ·μ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
8 已知空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，则下列结论中正确的是( )
A. 向量i＋j＋k的模是3
B. {i＋j，i－j，k}可以构成空间的一个基底
C. 向量i＋j＋k和k夹角的余弦值是
D. 向量i＋j与k－j共线
三、 填空题
9 如图，在棱长均为2的平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝60°，M为BC′与B′C的交点，则AM的长为________．
10 如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线BD1和AC所成角的余弦值为________．
11 在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量 ＝________，异面直线DM与CN所成角的余弦值为________．
四、 解答题
12 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设＝a，＝b，＝c.
(1) 求证：EG⊥AB；
(2) 求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
13 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1，求证：CA1⊥平面C1BD.
【答案与解析】
1．2.2 空间向量基本定理(2)
1. C 因为向量n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c)＝(x＋4)a＋(y－x)b＋(－y＋4)c，m＝2a＋3b－c，且m∥n，所以n＝λm，则解得λ＝2，x＝0，y＝6，所以x＋y＝6.
2. A 由EC＝2PE，得＝，所以＝＋＝－＋＝－＋＝－(－)＋(－)＝－＋.又＝x＋y＋z，且，，不共面，所以x＝1，y＝－，z＝，所以x＋y＋z＝1.
3. C 对于①，如果a，b中有一个向量为零向量，a，b共线但与任何向量不能构成空间的一个基底，故①不正确；对于②，O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面，故②正确；对于③，因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以{a＋b，a－b，－c}也是空间的一个基底，因为三个向量为非零向量且不共面，故③正确．故正确的命题是②③.
4. A 由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，得P，A，B，C四点共面，则||的最小值为三棱锥的高．设点O为点S在平面ABC上的射影．由题意，得三棱锥S-ABC为正四面体．如图，连接CO并延长交AB于点H，则CH⊥AB，所以CH＝，CO＝，所以||min＝SO＝＝.
5. A 由题意，得M∈平面BCD，N∈直线AC.当AM，BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M为△BCD的中心，N为AC的中点．连接MC，则MC＝.在Rt△AMC中，AM＝＝.又＝(＋)，所以·＝(·＋·)＝－||2＝－.
6. C 由题意，得＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4.因为11－6－4＝1，所以M，B，A1，D1四点共面，所以点M必在平面BA1D1内．
7. AB 因为三个非零向量能构成空间的一个基底，故三个向量不共面，故A正确；向量既有大小又有方向，所以不相等的两个空间向量的模可能相等，故B正确；因为向量既有大小又有方向，所以向量不能比较大小，故C错误；由a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ·μ≠0)可知，c与a，b共面，所以{a，b，c}不能构成空间的一个基底，故D错误．故选AB.
8. BC 对于A，因为空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，所以|i|＝|j|＝|k|＝1，且i·j＝0，i·k＝0，j·k＝0，则|i＋j＋k|＝＝＝，所以向量i＋j＋k的模是，故A错误；对于B，因为空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，所以i，j，k不共面，且向量i＋j，i－j均与i，j共面，所以i＋j，i－j与k不共面，则{i＋j，i－j，k}可以构成空间的一个基底，故B正确；对于C，设i＋j＋k与k的夹角为α，则cos α＝＝＝＝，所以向量i＋j＋k和k夹角的余弦值为，故C正确；对于D，因为|i＋j|＝＝＝，同理可得|k－j|＝，则cos 〈i＋j，k－j〉＝＝－，所以向量i＋j与k－j不共线，故D错误．故选BC.
9. 设{，，}为空间的一个基底，则＝＋(＋)，所以||2＝[＋(＋)]2＝||2＋·＋·＋(＋)2＝11，故AM＝.
10. 因为，，两两不共线，所以{，，}可以作为空间的一个基底．由题意，得||＝a，||＝a，||＝b，〈，〉＝90°，〈，〉＝120°，〈，〉＝120°.又＝＋－，＝＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝a2＋b2＋a2＋2ab cos 120°－0－2ab cos 120°＝2a2＋b2，||2＝||2＋||2＋2·＝2a2，所以||＝，||＝a.又·＝(＋－)·(＋)＝·＋||2＋·＋·－||2－·＝0＋a2＋ab cos 120°＋ab cos 120°－a2－0＝－ab，所以|cos 〈，〉|＝＝＝，所以异面直线BD1和AC所成角的余弦值为.
11. a＋b－c 由题意，得＝＋＝－c＋(a＋b)＝a＋b－c.＝－＝a－b.设正四面体的棱长为1，则a·b＝a·c＝b·c＝.设异面直线DM与CN所成的角为θ，则cos θ＝＝＝＝＝.
12. (1) 连接FG.
由题意，得EF＝FG＝，＝＋＝＋＝(－)＋＝－a＋b＋c，
则·＝·a＝－a2＋a·b＋a·c＝－＋×1×1×cos 60°＋×1×1×cos 60°＝0，
故⊥，即EG⊥AB.
(2) 由题意，得△ABC，△ACD，△ABD均为边长为1的等边三角形，
所以AG＝EC＝，＝(b＋c)，＝(＋)＝(－＋)＝b－a，
所以·＝(b＋c)·
＝b2－a·b＋c·b－a·c
＝－cos 60°＋cos 60°－cos 60°
＝－＋－＝.
设异面直线AG和CE所成的角为θ，
则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝.
13. 设CD＝a.
因为＝＋＋，＝－，＝－，
所以·＝(－)·(＋＋)＝||2＋·＋·－·－·－·＝a2＋a2＋a2－a2－a2－a2＝0，
所以⊥，即BD⊥CA1.
又·＝(－)·(＋＋)＝||2＋·＋·－·－·－·＝a2＋a2＋a2－a2－a2－a2＝0，
所以⊥，即C1D⊥CA1.
因为BD∩C1D＝D，BD 平面C1BD，C1D 平面C1BD，
所以CA1⊥平面C1BD.
一、 单项选择题
1 (2023菏泽鄄城一中阶段练习)已知{a，b，c}是空间的一个基底，m＝2a＋3b－c，n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c).若m∥n，则x＋y等于( )
A. 0 B. －6 C. 6 D. 5
2 (2023天津河东统考)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3 有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；③已知{a，b，c}是空间的一个基底，则{a＋b，a－b，－c}也是空间的一个基底. 其中正确的命题是( )
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
4 在棱长均为3的三棱锥S-ABC中，若空间一点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则||的最小值为( )
A. B. C. D. 1
5 在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足 ＝x＋y－(x＋y－1)，点N满足＝λ＋(1－λ)，当AM，BN最短时，·的值为( )
A. － B. C. － D.
6 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果＝＋7＋6－4，那么点M必( )
A. 在平面BAD1内
B. 在平面BA1D内
C. 在平面BA1D1内
D. 在平面AB1C1内
二、 多项选择题
7 下列关于空间向量的命题中，正确的是( )
A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B. 不相等的两个空间向量的模可能相等
C. 模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D. 若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ·μ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
8 已知空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，则下列结论中正确的是( )
A. 向量i＋j＋k的模是3
B. {i＋j，i－j，k}可以构成空间的一个基底
C. 向量i＋j＋k和k夹角的余弦值是
D. 向量i＋j与k－j共线
三、 填空题
9 如图，在棱长均为2的平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝60°，M为BC′与B′C的交点，则AM的长为________．
10 如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线BD1和AC所成角的余弦值为________．
11 在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量 ＝________，异面直线DM与CN所成角的余弦值为________．
四、 解答题
12 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设＝a，＝b，＝c.
(1) 求证：EG⊥AB；
(2) 求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
13 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1，求证：CA1⊥平面C1BD.
【答案与解析】
1．2.2 空间向量基本定理(2)
1. C 因为向量n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c)＝(x＋4)a＋(y－x)b＋(－y＋4)c，m＝2a＋3b－c，且m∥n，所以n＝λm，则解得λ＝2，x＝0，y＝6，所以x＋y＝6.
2. A 由EC＝2PE，得＝，所以＝＋＝－＋＝－＋＝－(－)＋(－)＝－＋.又＝x＋y＋z，且，，不共面，所以x＝1，y＝－，z＝，所以x＋y＋z＝1.
3. C 对于①，如果a，b中有一个向量为零向量，a，b共线但与任何向量不能构成空间的一个基底，故①不正确；对于②，O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面，故②正确；对于③，因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以{a＋b，a－b，－c}也是空间的一个基底，因为三个向量为非零向量且不共面，故③正确．故正确的命题是②③.
4. A 由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，得P，A，B，C四点共面，则||的最小值为三棱锥的高．设点O为点S在平面ABC上的射影．由题意，得三棱锥S-ABC为正四面体．如图，连接CO并延长交AB于点H，则CH⊥AB，所以CH＝，CO＝，所以||min＝SO＝＝.
5. A 由题意，得M∈平面BCD，N∈直线AC.当AM，BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M为△BCD的中心，N为AC的中点．连接MC，则MC＝.在Rt△AMC中，AM＝＝.又＝(＋)，所以·＝(·＋·)＝－||2＝－.
6. C 由题意，得＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4.因为11－6－4＝1，所以M，B，A1，D1四点共面，所以点M必在平面BA1D1内．
7. AB 因为三个非零向量能构成空间的一个基底，故三个向量不共面，故A正确；向量既有大小又有方向，所以不相等的两个空间向量的模可能相等，故B正确；因为向量既有大小又有方向，所以向量不能比较大小，故C错误；由a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ·μ≠0)可知，c与a，b共面，所以{a，b，c}不能构成空间的一个基底，故D错误．故选AB.
8. BC 对于A，因为空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，所以|i|＝|j|＝|k|＝1，且i·j＝0，i·k＝0，j·k＝0，则|i＋j＋k|＝＝＝，所以向量i＋j＋k的模是，故A错误；对于B，因为空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，所以i，j，k不共面，且向量i＋j，i－j均与i，j共面，所以i＋j，i－j与k不共面，则{i＋j，i－j，k}可以构成空间的一个基底，故B正确；对于C，设i＋j＋k与k的夹角为α，则cos α＝＝＝＝，所以向量i＋j＋k和k夹角的余弦值为，故C正确；对于D，因为|i＋j|＝＝＝，同理可得|k－j|＝，则cos 〈i＋j，k－j〉＝＝－，所以向量i＋j与k－j不共线，故D错误．故选BC.
9. 设{，，}为空间的一个基底，则＝＋(＋)，所以||2＝[＋(＋)]2＝||2＋·＋·＋(＋)2＝11，故AM＝.
10. 因为，，两两不共线，所以{，，}可以作为空间的一个基底．由题意，得||＝a，||＝a，||＝b，〈，〉＝90°，〈，〉＝120°，〈，〉＝120°.又＝＋－，＝＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝a2＋b2＋a2＋2ab cos 120°－0－2ab cos 120°＝2a2＋b2，||2＝||2＋||2＋2·＝2a2，所以||＝，||＝a.又·＝(＋－)·(＋)＝·＋||2＋·＋·－||2－·＝0＋a2＋ab cos 120°＋ab cos 120°－a2－0＝－ab，所以|cos 〈，〉|＝＝＝，所以异面直线BD1和AC所成角的余弦值为.
11. a＋b－c 由题意，得＝＋＝－c＋(a＋b)＝a＋b－c.＝－＝a－b.设正四面体的棱长为1，则a·b＝a·c＝b·c＝.设异面直线DM与CN所成的角为θ，则cos θ＝＝＝＝＝.
12. (1) 连接FG.
由题意，得EF＝FG＝，＝＋＝＋＝(－)＋＝－a＋b＋c，
则·＝·a＝－a2＋a·b＋a·c＝－＋×1×1×cos 60°＋×1×1×cos 60°＝0，
故⊥，即EG⊥AB.
(2) 由题意，得△ABC，△ACD，△ABD均为边长为1的等边三角形，
所以AG＝EC＝，＝(b＋c)，＝(＋)＝(－＋)＝b－a，
所以·＝(b＋c)·
＝b2－a·b＋c·b－a·c
＝－cos 60°＋cos 60°－cos 60°
＝－＋－＝.
设异面直线AG和CE所成的角为θ，
则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝.
13. 设CD＝a.
因为＝＋＋，＝－，＝－，
所以·＝(－)·(＋＋)＝||2＋·＋·－·－·－·＝a2＋a2＋a2－a2－a2－a2＝0，
所以⊥，即BD⊥CA1.
又·＝(－)·(＋＋)＝||2＋·＋·－·－·－·＝a2＋a2＋a2－a2－a2－a2＝0，
所以⊥，即C1D⊥CA1.
因为BD∩C1D＝D，BD 平面C1BD，C1D 平面C1BD，
所以CA1⊥平面C1BD.