1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

1．3　空间向量及其运算的坐标表示
一、 单项选择题
1 (2024丽水期末)已知向量a＝(2，1，0)，b＝(1，－1，)，则|a＋b|的值是(　　)
A. 2 B. 2 C. 8 D. 12
2 已知空间向量a＝(0，2，1)，b＝(0，－1，1)，则与向量a＋b方向相反的单位向量e的坐标是　(　　)
A. (0，1，2) B. (0，－1，－2)
C. (0，，) D. (0，－，－)
3 (2024吉林期末)已知向量a＝(9，8，5)，b＝(2，－1，－1)，则向量a在向量b上的投影向量c等于(　　)
A. B.
C. D.
4 (2023湖北期末)已知点A(2，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，D(1，1，0)，E(0，0，a)，直线DE平行于△ABC所在的平面，则实数a的值为(　　)
A. B. C. 2 D.
5 已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底．若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　)
A. (4，0，3) B. (1，2，3)
C. (3，1，3) D. (2，1，3)
6 已知O为坐标原点，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. ⊥
B. ⊥
C. ·(－)＝0
D. ＝＋＋
8 (2024泉州期末)已知空间向量＝(1，2，4)，＝(0，－2，1)，则下列说法中正确的是(　　)
A. ·＝0
B. 在上的投影向量为(0，2，－1)
C. 若向量＝(1，0，6)，则点E在平面ABC内
D. 向量(0，－，)是与平行的一个单位向量
三、 填空题
9 已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________．
10 (2024北京丰台期末)已知向量a＝(1，2，－3)，b＝(－2，λ，6)，若a与b共线，则λ＝________．
11 (2023珠海阶段练习)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(m，0，2)，cos 〈a，b〉＝－.若向量a＋kb与2a＋b所成的角为锐角，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
12 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分别是A1A，A1B1的中点．
(1) 求BM的长；
(2) 求cos〈，〉的值；
(3) 求证：A1B⊥C1N.
13 (2023上海期中)已知空间三点A(－2，1，2)，B(－1，2，2)，C(－3，1，4)，设＝a，＝b.
(1) 若＝2，求点D的坐标；
(2) 若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；
(3) 若向量λa－b与a－λb平行，求实数λ的值．
【答案与解析】
1．3　空间向量及其运算的坐标表示
1. B　由a＝(2，1，0)，b＝(1，－1，)，得a＋b＝(3，0，)，所以|a＋b|＝＝2.
2. D　因为a＝(0，2，1)，b＝(0，－1，1)，所以a＋b＝(0，1，2)，|a＋b|＝，所以与向量a＋b方向相反的单位向量e的坐标是－(0，1，2)＝(0，－，－).
3. A　因为向量a＝(9，8，5)，b＝(2，－1，－1)，所以向量a在向量b上的投影向量c＝|a|·cos 〈a，b〉·＝·b＝b＝.
4. D　由题意，得＝(－2，2，－1)，＝(－2，0，2)，＝(－1，－1，a).因为直线DE平行于△ABC所在的平面，所以＝x＋y，即(－1，－1，a)＝(－2x，2x，－x)＋(－2y，0，2y)，可得解得
5. C　由题意，得p＝4a＋2b＋3c，设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，则解得所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3).
6. C　因为点Q在直线OP上运动，所以∥，有＝t＝(t，t，2t)，所以Q(t，t，2t)，所以＝(1－t，2－t，3－2t)，＝(2－t，1－t，2－2t)，所以·＝(1－t)(2－t)＋(2－t)(1－t)＋(3－2t)·(2－2t)＝6t2－16t＋10＝6－，则当t＝时，(·)min＝－，此时，点Q，所以当·取得最小值时，点Q的坐标为.
7. ACD　以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，M(2，0，1)，N(2，2，1)，所以＝(－2，2，0)，＝(2，2，－1)，则·＝0，即⊥，故A正确；＝(－2，2，－1)，则·＝1≠0，故B错误；－＝＝(2，2，0)，则·(－)＝0，故C正确；＝－＝＋－＝＋＋，故D正确．故选ACD.
8. ABD　因为＝(1，2，4)，＝(0，－2，1)，所以·＝0－4＋4＝0，故A正确；因为BA⊥BC，所以在上的投影向量即为＝(0，2，－1)，故B正确；若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得＝x＋y，又＝(1，0，6)，＝(1，2，4)，＝(0，－2，1)，所以方程组无解，则点E不在平面ABC内，故C错误；由＝(0，－2，1)，得(0，－，)＝，且＝1，故D正确．故选ABD.
9. 120°　设c＝(x，y，z)，由题意，得a＋b＝(－1，－2，－3)，所以－x－2y－3z＝7.设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以θ＝120°.
10. －4　因为向量a＝(1，2，－3)，b＝(－2，λ，6)，a与b共线，所以＝＝，解得λ＝－4.
11. ∪　因为向量a＝(1，1，0)，b＝(m，0，2)，所以a·b＝m，|a|＝，|b|＝.因为cos 〈a，b〉＝－，所以＝＝－，解得m＝－1，所以b＝(－1，0，2)，所以a＋kb＝(1－k，1，2k)，2a＋b＝(1，2，2).因为向量a＋kb与2a＋b所成的角为锐角，所以(a＋kb)·(2a＋b)＝1－k＋2＋4k>0，解得k>－1.若向量a＋kb与2a＋b共线，则＝＝，解得k＝，所以实数k的范围是(－1，)∪.
12. (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，1，0)，M(1，0，1)，
所以＝(1，－1，1)，则||＝.
(2) 由(1)知，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，所以＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
则·＝3，||＝，||＝，
所以cos 〈，〉＝＝＝.
(3) 由(1)知，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，N，
所以＝(1，－1，2)，＝，
则·＝0，所以A1B⊥C1N.
13. (1) 设D(x，y，z)，则＝(x＋2，y－1，z－2)，＝(－1－x，2－y，2－z).
由＝2，得
解得即点D的坐标为.
(2) 由a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
得ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).
因为向量ka＋b与ka－2b互相垂直，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，
解得k＝－或k＝2.
(3) 由(2)知，a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
所以λa－b＝(λ＋1，λ，－2)，a－λb＝(1＋λ，1，－2λ).
因为向量λa－b与a－λb平行，
所以可设λa－b＝m(a－λb)，
则解得λ＝±1.