1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 85.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-31 11:44:46 | ||
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文档简介
1．4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
一、 单项选择题
1 若μ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A. (0，－3，1) B. (2，0，1)
C. (－2，－3，1) D. (－2，3，－1)
2 已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z的值为( )
A. 0 B. 2 C. D. 3
3 已知平面α内的两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，若c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，且c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A. －1，2 B. 1，－2 C. 1，2 D. －1，－2
4 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2.以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为m和n，则下列说法中正确的是( )
A. 点P的坐标为(0，0，－2)
B. ＝(4，0，－2)
C. n可能为(0，－2，2)
D. cos 〈m，n〉>0
5 (2024菏泽期末)已知n1＝(，x，2)，n2＝(－3，，－2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数x的值为( )
A. －7 B. －1 C. 1 D. 7
6 已知直线l1，l2的一个方向向量分别为a＝(－4，6，－1), b＝(4，3，－2)，|c|＝1，且直线l1 α，l2 α，向量c是平面α的一个法向量，则向量c的坐标可以是( )
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 已知直线l过点P(1，0，－1)，且直线l的一个方向向量为 a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是( )
A. (1，－4，2) B.
C. D. (0，－1，1)
8 在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是( )
A. 直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2)
B. 直线BD1的一个方向向量为(2，2，2)
C. 平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)
D. 平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
三、 填空题
9 (2023河南联考)在空间直角坐标系中，已知点A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)，点M(x，y，2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则＋的最小值为________．
10 在平面ABC中，已知点A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1).若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＝________，z＝________.
11 在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，2)，且平面α过点A(0，3，1).若P(x，y，z)是平面α内任意一点，则点P的坐标满足的方程是________．
四、 解答题
12 已知A(1，1，1)，B(1，0，0)，C(0，1，－1).
(1) 写出直线BC的一个方向向量；
(2) 设平面α经过点A，且是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
13 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1) 平面BDD1B1的一个法向量；
(2) 平面BDEF的一个法向量．
【答案与解析】
1．4 空间向量的应用
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
1. D 能作为平面α的法向量的向量与μ＝(2，－3，1)共线，结合选项可知D正确．
2. A 由题意，知＝(－1，2－y，z－3).因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，所以＝km，所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k，解得k＝－，y＝z＝，所以y－z＝0.
3. A 由题意，得c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).由c为平面α的法向量，得即解得
4. C 如图，建立空间直角坐标系．由题意，得B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(2，0，0)，P(0，2，2)，所以＝(2，－2，－2)，＝(0，2，2).设n＝(x，y，z)，则取z＝2，可得n＝(0，－2，2).因为AB⊥BC，PA⊥BC，AB∩AP＝A，AB 平面PAB，AP 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，所以m⊥n，所以cos 〈m，n〉＝0.综上，A，B，D错误，C正确．
5. D 因为α⊥β，所以n1⊥n2，则n1·n2＝×(－3)＋x×＋2×(－2)＝0，解得x＝7.
6. A 设c＝(x, y, z)，由题意，得 解得或所以c的坐标为(，，)或(－，－，－).
7. ABC 由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量a＝(2，1，1)和向量，且＝(1，2，3)－(1，0，－1)＝(0，2，4).对于A，(2，1，1)·(1，－4，2)＝0，(0，2，4)·(1，－4，2)＝0，满足垂直，故A正确；对于B，(2，1，1)·＝0，(0，2，4)·＝0，满足垂直，故B正确；对于C，(2，1，1)·＝0，(0，2，4)·(－，1，－)＝0满足垂直，故C正确；对于D，(2，1，1)·(0，－1，1)＝0，但(0，2，4)·(0，－1，1)≠0，故D错误．故选ABC.
8. AC 由题意，得B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1).因为＝(－1，1，1)，所以向量(－2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B错误；设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z), 则由＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)，得令x＝1，得n＝(1，1，1)，故C正确；设平面B1CD的法向量为m＝(a，b，c)，则由＝(0，－1，1)，＝(－1，0，0)，得令b＝1，得m＝(0，1，1)，故D错误．故选AC.
9. 由题意，得＝(－2，3，0)，＝(0，－3，6)，＝(x－2，y，2).设平面ABC的法向量为m＝(a，b，c)，则令c＝1，得m＝(3，2，1).依题意，得m·＝0，即3x＋2y＝4，则＋＝(3x＋2y)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当x＝y时取等号，由解得x＝4－，y＝2－4，所以当x＝4－，y＝2－4时，＋取得最小值.
10. 1 0 由题意，得＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2).因为a为平面ABC的法向量，所以a·＝0，a·＝0，即－1＋y＋0＝0，1－y－2z＝0，所以y＝1，z＝0.
11. x－y＋2z＋1＝0 由题意可知＝(x，y－3，z－1).因为平面α的一个法向量是n＝(1，－1，2)，所以·n＝(x，y－3，z－1)·(1，－1，2)＝0，即x－y＋3＋2z－2＝0，即x－y＋2z＋1＝0，故所求点P的坐标满足的方程是x－y＋2z＋1＝0.
12. (1) 直线BC的一个方向向量为＝(－1，1，－1)(答案不唯一).
(2) 因为是平面α的法向量，所以·＝0，
即(－1，1，－1)·(x－1，y－1，z－1)＝1－x＋y－1＋1－z＝0，
即x－y＋z＝1.
13. (1) 由题意，得D(0，0，0)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2).
如图，连接AC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以AC⊥BD.
因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC.
又BD∩DD1＝D，BD 平面BDD1B1，DD1 平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1，
所以＝(－2，2，0)为平面BDD1B1的一个法向量(答案不唯一).
(2) 由(1)知，＝(2，2，0)，＝(1，0，2).
设平面BDEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以令x＝2，得y＝－2，z＝－1，
所以n＝(2，－2，－1)为平面BDEF的一个法向量(答案不唯一).
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
一、 单项选择题
1 若μ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A. (0，－3，1) B. (2，0，1)
C. (－2，－3，1) D. (－2，3，－1)
2 已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z的值为( )
A. 0 B. 2 C. D. 3
3 已知平面α内的两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，若c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，且c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A. －1，2 B. 1，－2 C. 1，2 D. －1，－2
4 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2.以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为m和n，则下列说法中正确的是( )
A. 点P的坐标为(0，0，－2)
B. ＝(4，0，－2)
C. n可能为(0，－2，2)
D. cos 〈m，n〉>0
5 (2024菏泽期末)已知n1＝(，x，2)，n2＝(－3，，－2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数x的值为( )
A. －7 B. －1 C. 1 D. 7
6 已知直线l1，l2的一个方向向量分别为a＝(－4，6，－1), b＝(4，3，－2)，|c|＝1，且直线l1 α，l2 α，向量c是平面α的一个法向量，则向量c的坐标可以是( )
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 已知直线l过点P(1，0，－1)，且直线l的一个方向向量为 a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是( )
A. (1，－4，2) B.
C. D. (0，－1，1)
8 在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是( )
A. 直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2)
B. 直线BD1的一个方向向量为(2，2，2)
C. 平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)
D. 平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
三、 填空题
9 (2023河南联考)在空间直角坐标系中，已知点A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)，点M(x，y，2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则＋的最小值为________．
10 在平面ABC中，已知点A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1).若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＝________，z＝________.
11 在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，2)，且平面α过点A(0，3，1).若P(x，y，z)是平面α内任意一点，则点P的坐标满足的方程是________．
四、 解答题
12 已知A(1，1，1)，B(1，0，0)，C(0，1，－1).
(1) 写出直线BC的一个方向向量；
(2) 设平面α经过点A，且是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
13 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1) 平面BDD1B1的一个法向量；
(2) 平面BDEF的一个法向量．
【答案与解析】
1．4 空间向量的应用
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
1. D 能作为平面α的法向量的向量与μ＝(2，－3，1)共线，结合选项可知D正确．
2. A 由题意，知＝(－1，2－y，z－3).因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，所以＝km，所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k，解得k＝－，y＝z＝，所以y－z＝0.
3. A 由题意，得c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).由c为平面α的法向量，得即解得
4. C 如图，建立空间直角坐标系．由题意，得B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(2，0，0)，P(0，2，2)，所以＝(2，－2，－2)，＝(0，2，2).设n＝(x，y，z)，则取z＝2，可得n＝(0，－2，2).因为AB⊥BC，PA⊥BC，AB∩AP＝A，AB 平面PAB，AP 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，所以m⊥n，所以cos 〈m，n〉＝0.综上，A，B，D错误，C正确．
5. D 因为α⊥β，所以n1⊥n2，则n1·n2＝×(－3)＋x×＋2×(－2)＝0，解得x＝7.
6. A 设c＝(x, y, z)，由题意，得 解得或所以c的坐标为(，，)或(－，－，－).
7. ABC 由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量a＝(2，1，1)和向量，且＝(1，2，3)－(1，0，－1)＝(0，2，4).对于A，(2，1，1)·(1，－4，2)＝0，(0，2，4)·(1，－4，2)＝0，满足垂直，故A正确；对于B，(2，1，1)·＝0，(0，2，4)·＝0，满足垂直，故B正确；对于C，(2，1，1)·＝0，(0，2，4)·(－，1，－)＝0满足垂直，故C正确；对于D，(2，1，1)·(0，－1，1)＝0，但(0，2，4)·(0，－1，1)≠0，故D错误．故选ABC.
8. AC 由题意，得B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1).因为＝(－1，1，1)，所以向量(－2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B错误；设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z), 则由＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)，得令x＝1，得n＝(1，1，1)，故C正确；设平面B1CD的法向量为m＝(a，b，c)，则由＝(0，－1，1)，＝(－1，0，0)，得令b＝1，得m＝(0，1，1)，故D错误．故选AC.
9. 由题意，得＝(－2，3，0)，＝(0，－3，6)，＝(x－2，y，2).设平面ABC的法向量为m＝(a，b，c)，则令c＝1，得m＝(3，2，1).依题意，得m·＝0，即3x＋2y＝4，则＋＝(3x＋2y)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当x＝y时取等号，由解得x＝4－，y＝2－4，所以当x＝4－，y＝2－4时，＋取得最小值.
10. 1 0 由题意，得＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2).因为a为平面ABC的法向量，所以a·＝0，a·＝0，即－1＋y＋0＝0，1－y－2z＝0，所以y＝1，z＝0.
11. x－y＋2z＋1＝0 由题意可知＝(x，y－3，z－1).因为平面α的一个法向量是n＝(1，－1，2)，所以·n＝(x，y－3，z－1)·(1，－1，2)＝0，即x－y＋3＋2z－2＝0，即x－y＋2z＋1＝0，故所求点P的坐标满足的方程是x－y＋2z＋1＝0.
12. (1) 直线BC的一个方向向量为＝(－1，1，－1)(答案不唯一).
(2) 因为是平面α的法向量，所以·＝0，
即(－1，1，－1)·(x－1，y－1，z－1)＝1－x＋y－1＋1－z＝0，
即x－y＋z＝1.
13. (1) 由题意，得D(0，0，0)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2).
如图，连接AC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以AC⊥BD.
因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC.
又BD∩DD1＝D，BD 平面BDD1B1，DD1 平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1，
所以＝(－2，2，0)为平面BDD1B1的一个法向量(答案不唯一).
(2) 由(1)知，＝(2，2，0)，＝(1，0，2).
设平面BDEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以令x＝2，得y＝－2，z＝－1，
所以n＝(2，－2，－1)为平面BDEF的一个法向量(答案不唯一).