1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时练习（含解析）

1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)
一、 单项选择题
1 (2023十堰联考)若直线l∥α，且直线l的一个方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为(1，－1，2)，则实数m的值为(　　)
A. 4 B. －6 C. －8 D. 8
2 (2023文山期中)已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的(　　)
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
3 (2024赤峰期末)已知平面α∥β，n＝(－1，2，3)为平面α的法向量，则下列向量中是平面β的法向量的是(　　)
A. (1，－2，3) B. (3，－1，2)
C. (1，2，－3) D.
4 (2023高二课时练习)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为线段A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. MN在平面BB1C1C内
(第5题) (第6题)
5 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.若在线段AB上存在点D，使得AC1∥平面CDB1，则点D满足的条件为(　　)
A. AD＝AB B. AD＝AB
C. AD＝AB D. AD＝AB
6 (2023台州期中)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝3，AB＝4，E，F，G分别是棱C1D1，BC，CC1的中点，M是平面ABCD内一动点．若直线D1M与平面EFG平行，则·的最小值为(　　)
A. 2 B. 9 C. D.
二、 多项选择题
7 下列命题中，是真命题的有(　　)
A. 直线l的方向向量有无穷多个
B. 若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反
C. 若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量
D. 两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直
8 已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列说法中错误的是(　　)
A. 若直线l的一个方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的一个方向向量为 b＝(2，－2，4)，则l∥m
B. 若直线l的一个方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则l∥α
C. 若平面α，β的一个法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β
D. 若平面α经过三个点A(1，0，－1)，B(0，－1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则 u＋t＝1
三、 填空题
9 (2024全国专题练习)已知平面α的一个法向量是(2，3，－1)，平面β的一个法向量是(4，λ，－2).若α∥β，则实数λ的值是________．
10 (2023济宁期中)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝AA1＝1，M，N分别是线段A1B1，AC1上的点，P是直线AC上的点，满足MN∥平面BB1C1C，MN⊥NP，且M，N不是三棱柱的顶点，则线段MP长的最小值为________．
11 (2023河南联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，BC的中点，Q为直线B1C1上的点，且＝λ.若BQ∥平面A1MN，则λ＝________．
四、 解答题
12 (2024全国专题练习)如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是线段AP的中点，E，F，G分别为线段PC，PD，CB的中点．将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，试用向量方法证明AP∥平面EFG.
13 (2023高二课时练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知O1为线段A1C1的中点，O2为线段AC的中点．求证：
(1) BO1∥D1O2；
(2) BO1∥平面ACD1；
(3) 平面ACD1∥平面BA1C1.
【答案与解析】
1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)
1. A　因为l∥α，直线l的一个方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为(1，－1，2)，所以(2，m，1)·(1，－1，2)＝0，即2－m＋2＝0，解得m＝4.
2. D　若m·n＝0，则l∥α或l α，即充分性不成立．若l∥α，则m·n＝0，即必要性成立．综上“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件．
3. D　设平面β的法向量为m.因为α∥β，所以m∥n，即m＝λn＝(－λ，2λ，3λ).对于A，无解，故A错误；对于B，无解，故B错误；对于C，无解，故C错误；对于D， 解得λ＝，故D正确．
4. B　以C1为坐标原点，C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝，所以M，N，则＝.因为C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为·＝－×0＋0×a＋×0＝0，所以⊥.又MN 平面BB1C1C，所以MN与平面BB1C1C的位置关系是平行．
5. B　因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，则在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，C1(0，0，4)，＝(0，4，4).设点D(x，y，0)(0≤x≤3，0≤y≤4)，则＝(x，y，0)，设平面CDB1的法向量为m＝(a，b，c)，则即令b＝－x，则m＝(y，－x，x).若AC1∥平面CDB1，则·m＝0，易得＝(－3，0，4)，所以－3y＋4x＝0①.由点D 在线段AB上，得＝，即4x＋3y＝12②，由①②可得x＝，y＝2，即D为线段AB的中点，故 AD＝AB.
6. C　 建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2，3，3)，F，G，D1(0，3，3)，B1(4，0，3)，M(x，y，0)，所以＝，＝，＝(x，y－3，－3).设平面EFG的法向量为n＝(a，b，c)，则即令b＝1，则a＝－，c＝－1，即n＝.因为直线D1M与平面EFG平行，所以·n＝0，即－x＋y－3＋3＝0，即y＝x.因为＝(4－x，－y，3)，＝(－x，3－y，3)，所以·＝(4－x)·(－x)＋(－y)·(3－y)＋9＝x2－4x＋y2－3y＋9＝x2－4x＋－＋9＝x2－x＋9＝(x－2)2＋.因为x∈(0，4)，所以当x＝2时，·取得最小值.
7. AB　对于A，B，由直线的方向向量的定义易知A，B正确；对于C，当k＝0时，结论不成立，故C错误；对于D，两直线的方向向量平行，则两直线平行或重合，故D错误．故选AB.
8. BCD　对于A，b＝2a，则a∥b，所以l∥m，故A正确；对于B，a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，则a⊥n，所以l∥α或l α，故B错误；对于C，若n1＝λn2(λ≠0)，则(0，1，3)＝λ(1，0，2)，得此方程组无解，所以α∥β不成立，故C错误；对于D，＝(－1，－1，1)，＝(－1，3，0).因为n＝(1，u，t)是平面α的法向量，所以解得u＝，t＝，所以u＋t＝，故D错误．故选BCD.
9. 6　因为α∥β，所以＝＝，解得λ＝6.
10. 　由题意，得AB，AC，AA1两两互相垂直，则以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，1，0)，B1(2，0，1)，C1(0，1，1).设M(m，0，1)，N(0，n，n)，P(0，t，0)，其中011. 　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则A1(2，0，2)，M(0，1，2)，N(1，2，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，所以＝(－2，1，0)，＝(－1，2，－2)，＝(－2，0，0).由＝λ，得Q(2－2λ，2，2)，则＝(－2λ，0，2).由题意知，向量，，共面，故 t，s∈R，使得＝t＋s，即解得则λ＝.
12. 由题意可知底面ABCD为正方形．
因为PD⊥平面ABCD，DA 平面ABCD，DC 平面ABCD，
所以DA，DC，DP两两垂直，
故以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，C(0，2，0)，G(1，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，A(2，0，0)，
所以＝(－2，0，2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1).
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，可得n＝(1，0，1).
因为n·＝－2＋0＋2＝0，AP 平面EFG，
所以AP∥平面EFG.
13. (1) 以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，O1，D1(0，0，1)，O2，
所以＝，＝，
所以＝－，
所以∥，即BO1∥D1O2.
(2) 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z).
因为A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1＝(0，0，1)，
所以＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).
由得即
令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n＝(1，1，1).
又＝，
所以n·＝－×1＋×1＋1×1＝0，
所以n⊥.
又BO1 平面ACD1，所以BO1∥平面ACD1.
(3) 方法一：因为A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
所以＝(－1，1，0).
又＝(－1，1，0)，
所以＝，所以AC∥A1C1.
因为AC 平面ACD1，A1C1 平面ACD1，
所以A1C1∥平面ACD1.
又由(2)知BO1∥平面ACD1，且A1C1∩BO1＝O1，
A1C1 平面BA1C1，BO1 平面BA1C1，
所以平面ACD1∥平面BA1C1.
方法二：设平面BA1C1的法向量为u＝(x1，y1，z1)，
则即即
令x1＝1，得y1＝1，z1＝1，所以u＝(1，1，1).
由(2)知平面ACD1的一个法向量为n＝(1，1，1)，
所以n＝u，所以n∥u，
则平面ACD1∥平面BA1C1.