1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时练习（含解析）

1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系(3)
一、 单项选择题
1 (2024洛阳期末)若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为m，l α，则下列四组向量中能使l∥α的是(　　)
A. m＝(－1，0，1)，n＝(1，0，1)
B. m＝(0，－1，2)，n＝(0，1，－2)
C. m＝(1，－2，1)，n＝(－2，1，－2)
D. m＝(2，－1，1)，n＝(－4，2，－2)
2 已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
3 设a，b是两条直线，a，b分别为直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4 已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有(　　)
A. 3对 B. 2对 C. 1对 D. 0对
5 在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是(　　)
A.
B. (1，，1)
C. (1，1，1)
D. (2，－2，1)
6 (2023河池阶段练习)下列命题中，正确的是(　　)
A. 直线l的一个方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的一个方向向量b＝(1，2，1)，则l与m垂直
B. 直线l的一个方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的一个法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α
C. 两个不同平面α，β的一个法向量分别为n1＝(2，－1，0)，n2＝(－4，2，0)，则α∥β
D. 平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量b＝(1，u，t)是平面α的一个法向量，则t＝1
二、 多项选择题
7 (2024江苏专题练习)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段A1D的中点，则下列说法中不正确的是(　　)
A. 直线PB与直线A1D垂直，直线PB∥平面B1D1C
B. 直线PB与直线D1C平行，直线PB⊥平面A1C1D
C. 直线PB与直线AC异面，直线PB⊥平面ADC1B1
D. 直线PB与直线B1D1相交，直线PB 平面ABC1
8 (2023六盘水模拟)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，P为AA1的中点，Q为A1C上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若PQ∥平面ABCD，则A1Q＝A1C
B. 若PQ∥平面ABCD，则A1Q＝A1C
C. 若PQ⊥平面PBD，则A1Q＝A1C
D. 若PQ⊥平面PBD，则A1Q＝A1C
三、 填空题
9 已知u＝(a＋b，a－b，2)是直线l的一个方向向量，n＝(2，3，1)是平面α的一个法向量．若l⊥α，则a，b的值分别为________．
10 如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值为________．
(第10题)
　　
11 (2024北京石景山期末)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为棱CC1上的一个动点，给出下列四个结论：①A1B1⊥BE；②三棱锥EB1BD1的体积为定值；③存在点E，使得AC∥平面BD1E；④存在点E，使得B1D⊥平面BD1E.其中正确的是________．(填序号)
(第11题)
四、 解答题
12 (2023全国专题练习)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E为线段PD的中点，点F在PC上，且＝.求证：平面AEF⊥平面PCD.
13 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱DD1上是否存在点P，使得平面APC1⊥平面ACC1A1？证明你的结论．
【答案与解析】
1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系(3)
1. A　根据题意，平面α的法向量为n，直线l的方向向量为m，l α，若l∥α，则m·n＝0.对于A，m＝(－1，0，1)，n＝(1，0，1)，m·n＝－1＋0＋1＝0，符合题意；对于B，m＝(0，－1，2)，n＝(0，1，－2)，m·n＝0＋(－1)＋(－4)＝－5≠0，不符合题意；对于C，m＝(1，－2，1)，n＝(－2，1，－2)，m·n＝(－2)＋(－2)＋(－2)＝－6≠0，不符合题意；对于D，m＝(2，－1，1)，n＝(－4，2，－2)，m·n＝(－8)＋(－2)＋(－2)＝－12≠0，不符合题意．
2. A　因为＝(5，1，－7)，＝(2，－3，1)，所以·＝0，所以⊥，且||≠||，所以△ABC的形状是直角三角形．
3. C　由题意可得a，b分别是平面α，β的法向量，所以α⊥β等价于a⊥b，即“α⊥β”是“a⊥b”的充要条件．
4. D　因为a·b＝1≠0，a·c＝1≠0，b·c＝1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，则平面α，β，γ中任意两个都不垂直，故互相垂直的有0对．
5. A　由题意，得＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0).设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，1)，则即解得所以n＝(2，2，1).又＝n，所以平面PAB的一个法向量为.
6. C　对于A，因为a·b＝1－2＋2＝1≠0，所以a，b不垂直，所以l与m不垂直，故A错误；对于B，因为a·n＝－1＋1＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l α，故B错误；对于C，因为n2＝－2n1，所以n1∥n2，所以α∥β，故C正确；对于D，因为＝(－1，1，1)，＝(－2，2，1)，向量b＝(1，u，t)是平面α的一个法向量，所以即解得故D错误．
7. BCD　如图1，连接DB，A1B，D1B1，D1C，B1C. 由正方体的性质可知BA1＝BD，又P是线段A1D的中点，所以直线PB与直线A1D垂直．在正方体中，因为BD∥B1D1，BD 平面B1D1C，B1D1 平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.因为A1D∥B1C，A1D 平面B1D1C，B1C 平面B1D1C，所以A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，A1D 平面BDA1，BD 平面BDA1，所以平面BDA1∥平面B1D1C.因为PB 平面BDA1，所以直线PB∥平面B1D1C，故A正确；以D为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则P，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，C(0，1，0)，所以＝，＝(0，1，－1)，明显不存在实数λ使＝λ，则直线PB与直线D1C不平行，故B不正确；因为PB 平面ABCD，AC 平面ABCD，PB∩平面ABCD＝B，B AC，所以直线PB与直线AC异面．因为＝(1，0，0)，＝，所以·＝≠0，所以直线PB与平面ADC1B1不垂直，故C不正确；显然直线PB 平面ABC1，又B1D1 平面ABC1，B1D1∩平面ABC1＝D1，D1 PB，所以直线PB与直线B1D1异面，故D不正确．故选BCD.
图1 图2
8. BD　建立如图所示的空间直角坐标系，令AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(1，0，1)，A1(1，0，2)，所以＝(1，1，0)，＝(1，0，1)，＝(－1，1，－2)，＝(0，0，1).设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则取n＝(1，－1，－1)，平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1).设＝λ，λ∈[0，1]，则＝＋＝＋λ＝(－λ，λ，1－2λ).若PQ∥平面ABCD，则⊥m，即·m＝1－2λ＝0，解得λ＝，即A1Q＝A1C，故A错误，B正确；若PQ⊥平面PBD，则∥n，则＝tn，即(－λ，λ，1－2λ)＝t(1，－1，－1)，所以解得即A1Q＝A1C，故C错误，D正确．故选BD.
9. 5，－1　因为l⊥α，所以u∥n，则＝＝，解得a＝5，b＝－1.
10. 2　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点D(0，a，0)(a>0).设点Q(1，y，0)，P(0，0，z)，则＝(1，y，－z)，＝(－1，a－y，0).由·＝0，得 －1＋y(a－y)＝0，即y2－ay＋1＝0.当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD.
11. ①②③　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，C1(0，2，4)，D1(0，0，4).设E(0，2，a)，a∈[0，4]，则＝(0，2，0)，＝(－2，0，a).因为·＝0，所以⊥，即A1B1⊥BE，故①正确；由VE-B1BD1＝VD1-B1BE，且△B1BE的面积为定值，点D1到平面B1BE的距离也是定值，得VE-B1BD1为定值，故②正确；＝(－2，0，a)，＝(－2，－2，4)，设平面BD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝a，可得y＝4－a，z＝2，所以n＝(a，4－a，2).又＝(－2，2，0)，由·n＝－2a＋8－2a＝0，解得a＝2，故③正确；因为＝(2，2，4)，＝(2，2，－4)，所以·＝－8≠0，因此不存在点E，使得B1D⊥平面BD1E，故④错误．
12. 如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线为分别x轴，y轴，过点D作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(2，0，2)，E(1，0，1)，B(3，2，0)，
所以＝(0，2，0)，＝(－2，2，－2).
因为＝，所以＝，
所以＝＋＝(－2，2，－2)＋(2，0，2)＝，可得F，
所以＝(－，，)，＝(－1，0，1).
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝z＝1，则y＝－1，所以n＝(1，－1，1).
设平面PCD的法向量为m＝(a，b，c)，
则
令a＝1，则c＝－1，所以m＝(1，0，－1)，
所以n·m＝1×1＋(－1)×0＋1×(－1)＝0，
所以n⊥m，
所以平面AEF⊥平面PCD.
13. 假设存在点P，使得平面APC1⊥平面ACC1A1.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为a(a>0)，DP＝m(a≥m≥0).
由正方体的性质，知CC1⊥BD，AC⊥BD，CC1∩AC＝C，CC1 平面ACC1A1，AC 平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，
所以＝(a，a，0)是平面ACC1A1的一个法向量．
因为平面APC1⊥平面ACC1A1,
所以在平面APC1内或与平面APC1平行，
所以存在实数x和y，使得＝x＋y.
又因为＝(－a，a，a)，＝(－a，0，m)，
所以解得
所以存在点P，且当P为棱DD1的中点时，平面APC1⊥平面ACC1A1.