1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 229.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-31 11:46:03 | ||
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文档简介
1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1)
一、 单项选择题
1 (2023邵东一中阶段练习)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为( )
A. B. C. D.
2 (2024芜湖阶段练习)在空间直角坐标系中，已知点A(2，1，2)，B(1，0，0)，C(－1，2，4)，则点A到直线 BC的距离是( )
A. B. C. D.
3 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD.若AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为( )
A.
B.
C.
D.
4 已知直线l的一个方向向量为a＝(－1，0，1)，点A(1，2，－1)在直线l上，则直线l外的一点 P(2，－1，2)到该直线的距离为( )
A. B. 4 C. D. 3
5 (2024全国课时练习)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A. B. C. D.
6 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，D，E，N分别为线段PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2AB＝4，则直线MN到平面BDE的距离为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024福州模拟预测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝AD＝1，E为线段AB的中点，则下列结论中正确的是( )
A. A1B⊥B1C
B. A1D∥平面EB1C
C. 点D到直线A1B的距离为
D. 点D到平面EB1C的距离为
8 (2024江苏期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1＝1，D是棱AA1的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 点B到平面AA1C1C的距离为
B. 是平面BDC的一个法向量
C. 点C到平面BDC1的距离为
D. BD＝
三、 填空题
9 若两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是________．
10 (2024巴彦淖尔期末)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点B到直线D1E的距离为________．
11 已知三棱锥S-ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-ABC外接球上的一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为________．
四、 解答题
12 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．求：
(1) 点A1到直线B1E的距离；
(2) 点A1到平面AB1E的距离．
13 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝2，AA1＝5，E，F分别为DD1，BB1上的点，且DE＝B1F＝1.
(1) 求证：BE⊥平面ACF；
(2) 求点B到平面ACF的距离．
【答案与解析】
1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1)
1. D 如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E，F，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，所以＝，＝(－1，－1，0)，＝.设平面EFD1B1的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则n＝(－2，2，1).因为BD∥B1D1，BD 平面EFD1B1，B1D1 平面EFD1B1，所以BD∥平面EFD1B1，所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离，所以直线BD到平面EFD1B1的距离为d＝||＝||＝.
2. A 由题意，得＝(－2，2，4)，＝(－，，)，＝(1，1，2)，所以点A到直线BC的距离为d＝＝.
3. B 因为四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝3，AD＝4，PA＝1，所以P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，则＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，所以点P到直线BD的距离为d＝＝＝，所以点P到直线BD的距离为.
4. C 由题意，得＝(1，－3，3)，u＝＝＝，则·u＝－＋＝，所以点P到直线l的距离为＝＝.
5. D 由正方体的性质知，AB1∥DC1，D1B1∥DB.又AB1∩D1B1＝B1，DC1∩DB＝D，且AB1 平面AB1D1，D1B1 平面AB1D1，DC1 平面BDC1，DB 平面BDC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，所以＝(1，－1，1)，＝(0，－1，0)，＝(0，1，1)，＝(－1，－1，0).由·＝(1，－1，1)·(0，1，1)＝1×0＋(－1)×1＋1×1＝0，·＝(1，－1，1)·(－1，－1，0)＝1×(－1)＋(－1)×(－1)＋1×0＝0，得⊥，⊥，即CA1⊥AB1，CA1⊥B1D1.又AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，所以CA1⊥平面AB1D1，可得平面AB1D1的一个法向量为＝n＝(1，－1，1)，则两平面间的距离为d＝＝＝.
6. D 易知BA，BC两两垂直，则以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴，与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．由题意，得B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(2，0，4)，D(2，0，2)，E(1，，2)，M(2，0，1)，N(0，，0)，所以＝(－1，，0)，＝(－2，0，－2).设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则令y＝1，得n＝(，1，－).又＝(－2，，－1)，所以·n＝0，且MN 平面BDE，所以MN∥平面BDE，所以直线MN到平面BDE的距离即为点M到平面BDE的距离，设为d.因为＝(0，0，1)，所以d＝＝＝.
7. BC 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，B1(1，2，1)，C(0，2，0)，E(1，1，0).对于A，＝(0，2，－1)，＝(－1，0，－1)，·＝(0，2，－1)·(－1，0，－1)＝1≠0，故A错误；对于B，显然A1D∥B1C，又A1D 平面EB1C，B1C 平面EB1C，所以A1D∥平面EB1C，故B正确；对于C，记直线A1B的单位方向向量为u，则u＝＝(0，，－)，又＝(－1，0，－1)，所以向量在直线A1B上的投影向量为＝(·u)·u＝，则点D到直线A1B的距离为DQ＝＝，故C正确；对于D，设平面EB1C的法向量为m＝(x，y，z)，由＝(－1，0，－1)，＝(0，－1，－1)，得令x＝1，可得m＝(1，1，－1).又＝(0，2，0)，所以点D到平面EB1C的距离为d＝＝，故D错误．故选BC.
8. BCD 以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，0，0)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2).对于A，易知为平面AA1C1C的一个法向量，所以点B到平面AA1C1C的距离为BC＝1，故A错误；对于B，＝(－1，0，1)，＝(1，－1，1)，＝(0，1，0)，则·＝－1×1＋0×(－1)＋1×1＝0，·＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，所以DC1⊥BD，DC1⊥CB.又BD 平面BDC，CB 平面BDC，BD∩CB＝B，所以DC1⊥平面BDC，故B正确；对于C，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，－1，2)，则取z＝1，则n＝(1，2，1)，所以点C到平面BDC1的距离为d＝＝＝，故C正确；对于D，BD＝||＝＝，故D正确．故选BCD.
9. 平行平面α，β间的距离即为点O到平面β的距离，又＝(2，1，1)，所以平行平面α，β间的距离为d＝＝＝.
10. 建立如图所示的空间直角坐标系，连接D1B，则D1(0，0，2)，E(0，2，1)，B(2，2，0)，所以＝(0，2，－1)，＝(2，2，－2)，故点B到直线D1E的距离为＝＝.
11. 根据题意可将三棱锥S-ABC放入正方体中，并建立如图所示的空间直角坐标系，则点B(0，0，0)，A(2，0，2)，C(0，2，2)，S(0，0，2)，N(2，2，0)，所以＝(2，0，2)，＝(0，2，2)，＝(2，2，0).设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则取x＝1，得n＝(1，1，－1).因为三棱锥S-ABC的外接球就是棱长为2的正方体MNPB-ADCS的外接球，Q是三棱锥SABC的外接球上的一动点，所以当点Q与N重合时，点Q到平面ABC的距离取得最大值，所以点Q到平面ABC的距离的最大值为d＝＝＝.
12. (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(0，0，2)，B1(1，0，2)，E(0，1，1)，
所以＝(－1，1，－1)，＝(－1，0，0)，
所以点A1到直线B1E的距离为＝＝.
(2) 由(1)知，＝(1，0，2)，＝(0，1，1)，＝(0，0，2).
设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝2，得n＝(2，1，－1)，
所以点A1到平面AB1E的距离为＝＝.
13. (1) 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，1)，F(2，2，4).
设平面ACF的法向量为n＝(x，y，z)，
因为＝(－2，2，0)，＝(0，2，4)，
所以即
不妨令z＝1，则n＝(－2，－2，1)＝，所以BE⊥平面ACF.
(2) 由(1)得＝(0，2，0)，则点B到平面ACF的距离为＝.
一、 单项选择题
1 (2023邵东一中阶段练习)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为( )
A. B. C. D.
2 (2024芜湖阶段练习)在空间直角坐标系中，已知点A(2，1，2)，B(1，0，0)，C(－1，2，4)，则点A到直线 BC的距离是( )
A. B. C. D.
3 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD.若AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为( )
A.
B.
C.
D.
4 已知直线l的一个方向向量为a＝(－1，0，1)，点A(1，2，－1)在直线l上，则直线l外的一点 P(2，－1，2)到该直线的距离为( )
A. B. 4 C. D. 3
5 (2024全国课时练习)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A. B. C. D.
6 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，D，E，N分别为线段PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2AB＝4，则直线MN到平面BDE的距离为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024福州模拟预测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝AD＝1，E为线段AB的中点，则下列结论中正确的是( )
A. A1B⊥B1C
B. A1D∥平面EB1C
C. 点D到直线A1B的距离为
D. 点D到平面EB1C的距离为
8 (2024江苏期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1＝1，D是棱AA1的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 点B到平面AA1C1C的距离为
B. 是平面BDC的一个法向量
C. 点C到平面BDC1的距离为
D. BD＝
三、 填空题
9 若两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是________．
10 (2024巴彦淖尔期末)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点B到直线D1E的距离为________．
11 已知三棱锥S-ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-ABC外接球上的一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为________．
四、 解答题
12 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．求：
(1) 点A1到直线B1E的距离；
(2) 点A1到平面AB1E的距离．
13 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝2，AA1＝5，E，F分别为DD1，BB1上的点，且DE＝B1F＝1.
(1) 求证：BE⊥平面ACF；
(2) 求点B到平面ACF的距离．
【答案与解析】
1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1)
1. D 如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E，F，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，所以＝，＝(－1，－1，0)，＝.设平面EFD1B1的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则n＝(－2，2，1).因为BD∥B1D1，BD 平面EFD1B1，B1D1 平面EFD1B1，所以BD∥平面EFD1B1，所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离，所以直线BD到平面EFD1B1的距离为d＝||＝||＝.
2. A 由题意，得＝(－2，2，4)，＝(－，，)，＝(1，1，2)，所以点A到直线BC的距离为d＝＝.
3. B 因为四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝3，AD＝4，PA＝1，所以P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，则＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，所以点P到直线BD的距离为d＝＝＝，所以点P到直线BD的距离为.
4. C 由题意，得＝(1，－3，3)，u＝＝＝，则·u＝－＋＝，所以点P到直线l的距离为＝＝.
5. D 由正方体的性质知，AB1∥DC1，D1B1∥DB.又AB1∩D1B1＝B1，DC1∩DB＝D，且AB1 平面AB1D1，D1B1 平面AB1D1，DC1 平面BDC1，DB 平面BDC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，所以＝(1，－1，1)，＝(0，－1，0)，＝(0，1，1)，＝(－1，－1，0).由·＝(1，－1，1)·(0，1，1)＝1×0＋(－1)×1＋1×1＝0，·＝(1，－1，1)·(－1，－1，0)＝1×(－1)＋(－1)×(－1)＋1×0＝0，得⊥，⊥，即CA1⊥AB1，CA1⊥B1D1.又AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，所以CA1⊥平面AB1D1，可得平面AB1D1的一个法向量为＝n＝(1，－1，1)，则两平面间的距离为d＝＝＝.
6. D 易知BA，BC两两垂直，则以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴，与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．由题意，得B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(2，0，4)，D(2，0，2)，E(1，，2)，M(2，0，1)，N(0，，0)，所以＝(－1，，0)，＝(－2，0，－2).设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则令y＝1，得n＝(，1，－).又＝(－2，，－1)，所以·n＝0，且MN 平面BDE，所以MN∥平面BDE，所以直线MN到平面BDE的距离即为点M到平面BDE的距离，设为d.因为＝(0，0，1)，所以d＝＝＝.
7. BC 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，B1(1，2，1)，C(0，2，0)，E(1，1，0).对于A，＝(0，2，－1)，＝(－1，0，－1)，·＝(0，2，－1)·(－1，0，－1)＝1≠0，故A错误；对于B，显然A1D∥B1C，又A1D 平面EB1C，B1C 平面EB1C，所以A1D∥平面EB1C，故B正确；对于C，记直线A1B的单位方向向量为u，则u＝＝(0，，－)，又＝(－1，0，－1)，所以向量在直线A1B上的投影向量为＝(·u)·u＝，则点D到直线A1B的距离为DQ＝＝，故C正确；对于D，设平面EB1C的法向量为m＝(x，y，z)，由＝(－1，0，－1)，＝(0，－1，－1)，得令x＝1，可得m＝(1，1，－1).又＝(0，2，0)，所以点D到平面EB1C的距离为d＝＝，故D错误．故选BC.
8. BCD 以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，0，0)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2).对于A，易知为平面AA1C1C的一个法向量，所以点B到平面AA1C1C的距离为BC＝1，故A错误；对于B，＝(－1，0，1)，＝(1，－1，1)，＝(0，1，0)，则·＝－1×1＋0×(－1)＋1×1＝0，·＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，所以DC1⊥BD，DC1⊥CB.又BD 平面BDC，CB 平面BDC，BD∩CB＝B，所以DC1⊥平面BDC，故B正确；对于C，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，－1，2)，则取z＝1，则n＝(1，2，1)，所以点C到平面BDC1的距离为d＝＝＝，故C正确；对于D，BD＝||＝＝，故D正确．故选BCD.
9. 平行平面α，β间的距离即为点O到平面β的距离，又＝(2，1，1)，所以平行平面α，β间的距离为d＝＝＝.
10. 建立如图所示的空间直角坐标系，连接D1B，则D1(0，0，2)，E(0，2，1)，B(2，2，0)，所以＝(0，2，－1)，＝(2，2，－2)，故点B到直线D1E的距离为＝＝.
11. 根据题意可将三棱锥S-ABC放入正方体中，并建立如图所示的空间直角坐标系，则点B(0，0，0)，A(2，0，2)，C(0，2，2)，S(0，0，2)，N(2，2，0)，所以＝(2，0，2)，＝(0，2，2)，＝(2，2，0).设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则取x＝1，得n＝(1，1，－1).因为三棱锥S-ABC的外接球就是棱长为2的正方体MNPB-ADCS的外接球，Q是三棱锥SABC的外接球上的一动点，所以当点Q与N重合时，点Q到平面ABC的距离取得最大值，所以点Q到平面ABC的距离的最大值为d＝＝＝.
12. (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(0，0，2)，B1(1，0，2)，E(0，1，1)，
所以＝(－1，1，－1)，＝(－1，0，0)，
所以点A1到直线B1E的距离为＝＝.
(2) 由(1)知，＝(1，0，2)，＝(0，1，1)，＝(0，0，2).
设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝2，得n＝(2，1，－1)，
所以点A1到平面AB1E的距离为＝＝.
13. (1) 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，1)，F(2，2，4).
设平面ACF的法向量为n＝(x，y，z)，
因为＝(－2，2，0)，＝(0，2，4)，
所以即
不妨令z＝1，则n＝(－2，－2，1)＝，所以BE⊥平面ACF.
(2) 由(1)得＝(0，2，0)，则点B到平面ACF的距离为＝.