1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 329.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-31 11:46:25 | ||
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文档简介
1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2)
一、 单项选择题
1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是线段BD和AD的中点，则直线B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2 (2024全国模拟预测)如图，已知四边形ABCD是菱形，AB＝BD＝4，E为边AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面PDE⊥平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，DB1⊥平面A1BC1，则EF与平面A1BC1所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
(第3题) (第4题)
4 如图，在三棱锥A-BCD中，三条棱DA，DB，DC两两垂直，且DA＝DB＝DC，M，N分别是棱BC，AD的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角 D1-AC-D的正切值为( )
A. B. 2 C. D.
6 (2023深圳阶段练习)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，A1C1＝1，AB＝AC＝AA1＝2，M为线段BC的中点，则二面角M-AC1-C的余弦值为( )
A. － B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2024葫芦岛统考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别为线段AB，BC的中点，则下列结论中正确的是( )
A. EF∥平面DA1C1
B. DB1⊥平面D1EF
C. D1E与平面BB1D1D所成角的正弦值为
D. 平面D1EF与平面ADD1A1所成角的余弦值为
8 (2024南宁统考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1(包含端点)上的动点，则下列命题中正确的是( )
A. 二面角D1-AB1-C的大小为
B. CH⊥BD
C. 若点O在正方形DCC1D1的内部，且OB＝，则点O的轨迹长度为
D. 若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为
三、 填空题
9 (2024全国高二专题练习)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为线段AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．
(第9题) (第10题)
10 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面的边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为________．
11 如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段BC，C1D1的中点，则异面直线A1E，CF所成角的大小为________，平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________．
四、 解答题
12 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝CC1＝2，D为线段AC的中点，直线BC1与B1C的交点为M，若点P在线段CC1上运动，CP的长度为m.
(1) 求点M到平面A1BD的距离；
(2) 是否存在点P，使得二面角P-BD-A1的余弦值为－？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
13 (2024宁河统考)如图，AB∥CD且CD＝2AB，AD⊥CD，EG∥AD且AD＝2EG，FG∥CD且FG＝CD，DG⊥平面ABCD，AD＝CD＝DG＝2，M为棱FG的中点．
(1) 求证：BF∥平面CEM；
(2) 求直线BE与平面CEM所成角的正弦值；
(3) 求平面BEM与平面CEM夹角的余弦值．
【答案与解析】
1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2)
1. A 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则点B1(2，2，2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0)，所以＝(－1，－1，－2)，＝(1，0，－2)，所以cos 〈，〉＝＝.故直线B1M与D1N所成角的余弦值为.
2. B 易知ED，EB，EP两两垂直，则以E为坐标原点，ED，EB，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，D(2，0，0)，B(0，2，0)，C(2，4，0)，所以＝(2，0，－2)，＝(2，2，0)，故异面直线PD与BC所成角的余弦值为＝＝.
3. A 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，E(2，1，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，F(1，2，0)，D(0，0，0).因为DB1⊥平面A1BC1，所以平面A1BC1的一个法向量为＝(2，2，2).设EF与平面A1BC1所成的角为α.因为＝(－1，1，－2)，所以sin α＝|cos 〈，〉|＝＝＝.
4. D 以D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设DA＝DB＝DC＝2，则D(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，则N(0，0，1)，M(1，1，0)，所以＝(1，1，－2)，＝(－2，0，1).设异面直线AM与BN所成的角为θ，θ∈，则cos θ＝＝＝.
5. D 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，容易求得n1＝(1，－1，1)是平面ACD1的一个法向量，n2＝(0，0，1)是平面ACD的一个法向量．因为cos 〈n1，n2〉＝＝，且二面角D1-AC-D是锐二面角，所以正弦值为，所以正切值为.
6. B 由于AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，根据台体的性质可知A1B1＝1.因为A1A⊥平面ABC，AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC.又AB⊥AC，所以AB，AC，AA1两两垂直，故以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，可得平面CC1A的一个法向量为m＝(1，0，0)，M(1，1，0)，C1(0，1，2)，则＝(1，1，0)，＝(0，1，2).设平面MAC1的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则n＝(2，－2，1).设二面角M-AC1-C的平面角为θ，由图可知θ为锐角，所以cos θ＝||＝.
7. ACD 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，0，0)，F(2，1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，所以＝(0，－2，2)，＝(2，2，0).设平面DA1C1的法向量为m＝(x，y，z)，则取y＝1，则m＝(－1，1，1).又＝(1，1，0)，所以·m＝0，即⊥m.因为EF 平面DA1C1，所以EF∥平面DA1C1，故A正确；＝(1，－2，－2)，＝(1，1，0)，设平面D1EF的法向量为n＝(a，b，c)，则取a＝2，则n＝(2，－2，3).又＝(2，－2，2)，所以不存在λ∈R使＝λn，则DB1⊥平面D1EF不成立，故B错误；由正方体的性质知，BB1⊥平面ABCD.因为AC 平面ABCD，所以BB1⊥AC.又BD⊥AC，BB1∩BD＝B，BB1 平面BB1D1D，BD 平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，所以＝(2，2，0)是平面BB1D1D的一个法向量．又＝(1，－2，－2)，则D1E与平面BB1D1D所成角的正弦值为|cos 〈，〉|＝||＝＝，故C正确；由l＝(1，0，0)是平面ADD1A1的一个法向量，n＝(2，－2，3)是平面D1EF的一个法向量，可得平面D1EF与平面ADD1A1所成角的余弦值为|cos 〈n，l〉|＝||＝＝，故D正确．故选ACD.
8. BCD 建立如图1所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1).设H(1，0，h)，其中0≤h≤1.对于A，＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，设平面AB1D1的法向量为m＝(x，y，z)，则即取z＝1，则x＝1，y＝－1，故m＝(1，－1，1).设平面AB1C的法向量为n＝(a，b，c)，则即取b＝1，则a＝1，c＝－1，故n＝(1，1，－1)，所以cos 〈m，n〉＝＝－.又二面角D1-AB1-C为锐二面角，所以其余弦值为，所以二面角D1-AB1-C的大小不是，故A错误；对于B，＝(1，－1，h)，＝(1，1，0)，则·＝0，即CH⊥BD，故B正确；对于C，因为点O在正方形DCC1D1的内部，且OB＝，如图2，设E，F分别是CD，CC1上的点，且CE＝CF＝，此时BE＝BF＝，所以点O在上，即点O在以C为圆心，为半径的四分之一圆弧上，所以点O的轨迹长度为×2π×＝，故C正确；对于D，设直线CD与平面β所成的角为θ.因为CH⊥平面β，所以＝(1，－1，h)为平面β的一个法向量，又＝(0，1，0)，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝.又h∈[0，1]，所以∈，故D正确．故选BCD.
图1 图2
9. 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则F，E，A(0，0，0)，设M(0，y，1)(0≤y≤1)，则＝，＝，所以cos θ＝＝＝＝·.令t＝1－y，则y＝1－t，因为0≤y≤1，所以0≤t≤1.当t≠0时，cos θ＝×＝×＝×＝×，当t＝1时，cos θ有最大值，且最大值为×＝×＝；当t＝0时，cos θ＝0.综上，cos θ 的最大值为.
10. 4 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设DD1＝a，则点A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，a)，D1(0，0，a)，所以＝(－2，2，0)，＝(－2，0，a)，＝(0，0，a).设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则可取n＝，故|cos 〈n，〉|＝＝＝.又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，所以＝，解得a＝4(负值舍去).
11. 建立如图所示的空间直角坐标系，则点A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，所以＝(－1，2，－1)，＝(0，－1，1).设异面直线A1E，CF所成角的大小为θ，则cos θ＝＝＝.因为θ∈，所以θ＝.又＝(－2，1，0)，设平面A1EF的法向量为m＝(x，y，z)，则即令x＝1，则m＝(1，2，3).易得平面A1B1C1D1的一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成的锐二面角为α，则cos α＝＝＝.
12. (1) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，AB⊥BC，BC＝CC1＝2，则四边形BB1C1C为正方形，M为线段C1B的中点，则以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则B(0，0，0)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，M(0，1，1)，
所以＝(0，1，1)，＝(2，0，2)，＝(1，1，0).
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，
所以平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，
所以点M到平面A1BD的距离为＝.
(2) 假设存在点P，使得二面角P-BD-A1的余弦值为－，CP＝m，则P(0，2，m).
由(1)得平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1).
设平面PBD的法向量为m＝(a，b，c)，
因为＝(1，1，0)，＝(0，2，m)，
所以
取b＝－m，则c＝2，a＝m，
所以平面PBD的一个法向量为m＝(m，－m，2).
因为二面角P-BD-A1的余弦值为－，
所以|cos 〈n，m〉|＝＝＝，
即(2m－2)2＝(2m2＋4)，
解得m＝2(不合题意，舍去)或m＝，
所以存在点P，使得二面角P-BD-A1的余弦值为－，此时m＝.
13. (1) 由DG⊥平面ABCD，AD⊥CD，
可得DA，DC，DG两两垂直，
所以可建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2，1，0)，F(0，2，2)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，M(0，1，2)，
所以＝(－2，1，2)，＝(1，－2，2)，＝(0，－1，2).
设平面CEM的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，可得n＝(2，2，1)，
此时n·＝－4＋2＋2＝0，
所以n⊥.
又BF 平面CEM，
所以BF∥平面CEM.
(2) 设直线BE与平面CEM所成的角为θ.
因为＝(－1，－1，2)，
所以sin θ＝＝＝，
即直线BE与平面CEM所成角的正弦值为.
(3) 设平面BEM的法向量为m＝(a，b，c).
因为＝(－1，－1，2)，＝(－2，0，2)，
所以取a＝1，可得m＝(1，1，1).
设平面BEM与平面CEM的夹角为α，
则cos α＝＝＝，
即平面BEM与平面CEM夹角的余弦值.
一、 单项选择题
1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是线段BD和AD的中点，则直线B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2 (2024全国模拟预测)如图，已知四边形ABCD是菱形，AB＝BD＝4，E为边AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面PDE⊥平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，DB1⊥平面A1BC1，则EF与平面A1BC1所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
(第3题) (第4题)
4 如图，在三棱锥A-BCD中，三条棱DA，DB，DC两两垂直，且DA＝DB＝DC，M，N分别是棱BC，AD的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角 D1-AC-D的正切值为( )
A. B. 2 C. D.
6 (2023深圳阶段练习)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，A1C1＝1，AB＝AC＝AA1＝2，M为线段BC的中点，则二面角M-AC1-C的余弦值为( )
A. － B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2024葫芦岛统考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别为线段AB，BC的中点，则下列结论中正确的是( )
A. EF∥平面DA1C1
B. DB1⊥平面D1EF
C. D1E与平面BB1D1D所成角的正弦值为
D. 平面D1EF与平面ADD1A1所成角的余弦值为
8 (2024南宁统考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1(包含端点)上的动点，则下列命题中正确的是( )
A. 二面角D1-AB1-C的大小为
B. CH⊥BD
C. 若点O在正方形DCC1D1的内部，且OB＝，则点O的轨迹长度为
D. 若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为
三、 填空题
9 (2024全国高二专题练习)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为线段AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．
(第9题) (第10题)
10 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面的边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为________．
11 如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段BC，C1D1的中点，则异面直线A1E，CF所成角的大小为________，平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________．
四、 解答题
12 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝CC1＝2，D为线段AC的中点，直线BC1与B1C的交点为M，若点P在线段CC1上运动，CP的长度为m.
(1) 求点M到平面A1BD的距离；
(2) 是否存在点P，使得二面角P-BD-A1的余弦值为－？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
13 (2024宁河统考)如图，AB∥CD且CD＝2AB，AD⊥CD，EG∥AD且AD＝2EG，FG∥CD且FG＝CD，DG⊥平面ABCD，AD＝CD＝DG＝2，M为棱FG的中点．
(1) 求证：BF∥平面CEM；
(2) 求直线BE与平面CEM所成角的正弦值；
(3) 求平面BEM与平面CEM夹角的余弦值．
【答案与解析】
1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2)
1. A 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则点B1(2，2，2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0)，所以＝(－1，－1，－2)，＝(1，0，－2)，所以cos 〈，〉＝＝.故直线B1M与D1N所成角的余弦值为.
2. B 易知ED，EB，EP两两垂直，则以E为坐标原点，ED，EB，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，D(2，0，0)，B(0，2，0)，C(2，4，0)，所以＝(2，0，－2)，＝(2，2，0)，故异面直线PD与BC所成角的余弦值为＝＝.
3. A 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，E(2，1，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，F(1，2，0)，D(0，0，0).因为DB1⊥平面A1BC1，所以平面A1BC1的一个法向量为＝(2，2，2).设EF与平面A1BC1所成的角为α.因为＝(－1，1，－2)，所以sin α＝|cos 〈，〉|＝＝＝.
4. D 以D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设DA＝DB＝DC＝2，则D(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，则N(0，0，1)，M(1，1，0)，所以＝(1，1，－2)，＝(－2，0，1).设异面直线AM与BN所成的角为θ，θ∈，则cos θ＝＝＝.
5. D 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，容易求得n1＝(1，－1，1)是平面ACD1的一个法向量，n2＝(0，0，1)是平面ACD的一个法向量．因为cos 〈n1，n2〉＝＝，且二面角D1-AC-D是锐二面角，所以正弦值为，所以正切值为.
6. B 由于AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，根据台体的性质可知A1B1＝1.因为A1A⊥平面ABC，AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC.又AB⊥AC，所以AB，AC，AA1两两垂直，故以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，可得平面CC1A的一个法向量为m＝(1，0，0)，M(1，1，0)，C1(0，1，2)，则＝(1，1，0)，＝(0，1，2).设平面MAC1的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则n＝(2，－2，1).设二面角M-AC1-C的平面角为θ，由图可知θ为锐角，所以cos θ＝||＝.
7. ACD 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，0，0)，F(2，1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，所以＝(0，－2，2)，＝(2，2，0).设平面DA1C1的法向量为m＝(x，y，z)，则取y＝1，则m＝(－1，1，1).又＝(1，1，0)，所以·m＝0，即⊥m.因为EF 平面DA1C1，所以EF∥平面DA1C1，故A正确；＝(1，－2，－2)，＝(1，1，0)，设平面D1EF的法向量为n＝(a，b，c)，则取a＝2，则n＝(2，－2，3).又＝(2，－2，2)，所以不存在λ∈R使＝λn，则DB1⊥平面D1EF不成立，故B错误；由正方体的性质知，BB1⊥平面ABCD.因为AC 平面ABCD，所以BB1⊥AC.又BD⊥AC，BB1∩BD＝B，BB1 平面BB1D1D，BD 平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，所以＝(2，2，0)是平面BB1D1D的一个法向量．又＝(1，－2，－2)，则D1E与平面BB1D1D所成角的正弦值为|cos 〈，〉|＝||＝＝，故C正确；由l＝(1，0，0)是平面ADD1A1的一个法向量，n＝(2，－2，3)是平面D1EF的一个法向量，可得平面D1EF与平面ADD1A1所成角的余弦值为|cos 〈n，l〉|＝||＝＝，故D正确．故选ACD.
8. BCD 建立如图1所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1).设H(1，0，h)，其中0≤h≤1.对于A，＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，设平面AB1D1的法向量为m＝(x，y，z)，则即取z＝1，则x＝1，y＝－1，故m＝(1，－1，1).设平面AB1C的法向量为n＝(a，b，c)，则即取b＝1，则a＝1，c＝－1，故n＝(1，1，－1)，所以cos 〈m，n〉＝＝－.又二面角D1-AB1-C为锐二面角，所以其余弦值为，所以二面角D1-AB1-C的大小不是，故A错误；对于B，＝(1，－1，h)，＝(1，1，0)，则·＝0，即CH⊥BD，故B正确；对于C，因为点O在正方形DCC1D1的内部，且OB＝，如图2，设E，F分别是CD，CC1上的点，且CE＝CF＝，此时BE＝BF＝，所以点O在上，即点O在以C为圆心，为半径的四分之一圆弧上，所以点O的轨迹长度为×2π×＝，故C正确；对于D，设直线CD与平面β所成的角为θ.因为CH⊥平面β，所以＝(1，－1，h)为平面β的一个法向量，又＝(0，1，0)，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝.又h∈[0，1]，所以∈，故D正确．故选BCD.
图1 图2
9. 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则F，E，A(0，0，0)，设M(0，y，1)(0≤y≤1)，则＝，＝，所以cos θ＝＝＝＝·.令t＝1－y，则y＝1－t，因为0≤y≤1，所以0≤t≤1.当t≠0时，cos θ＝×＝×＝×＝×，当t＝1时，cos θ有最大值，且最大值为×＝×＝；当t＝0时，cos θ＝0.综上，cos θ 的最大值为.
10. 4 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设DD1＝a，则点A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，a)，D1(0，0，a)，所以＝(－2，2，0)，＝(－2，0，a)，＝(0，0，a).设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则可取n＝，故|cos 〈n，〉|＝＝＝.又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，所以＝，解得a＝4(负值舍去).
11. 建立如图所示的空间直角坐标系，则点A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，所以＝(－1，2，－1)，＝(0，－1，1).设异面直线A1E，CF所成角的大小为θ，则cos θ＝＝＝.因为θ∈，所以θ＝.又＝(－2，1，0)，设平面A1EF的法向量为m＝(x，y，z)，则即令x＝1，则m＝(1，2，3).易得平面A1B1C1D1的一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成的锐二面角为α，则cos α＝＝＝.
12. (1) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，AB⊥BC，BC＝CC1＝2，则四边形BB1C1C为正方形，M为线段C1B的中点，则以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则B(0，0，0)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，M(0，1，1)，
所以＝(0，1，1)，＝(2，0，2)，＝(1，1，0).
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，
所以平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，
所以点M到平面A1BD的距离为＝.
(2) 假设存在点P，使得二面角P-BD-A1的余弦值为－，CP＝m，则P(0，2，m).
由(1)得平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1).
设平面PBD的法向量为m＝(a，b，c)，
因为＝(1，1，0)，＝(0，2，m)，
所以
取b＝－m，则c＝2，a＝m，
所以平面PBD的一个法向量为m＝(m，－m，2).
因为二面角P-BD-A1的余弦值为－，
所以|cos 〈n，m〉|＝＝＝，
即(2m－2)2＝(2m2＋4)，
解得m＝2(不合题意，舍去)或m＝，
所以存在点P，使得二面角P-BD-A1的余弦值为－，此时m＝.
13. (1) 由DG⊥平面ABCD，AD⊥CD，
可得DA，DC，DG两两垂直，
所以可建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2，1，0)，F(0，2，2)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，M(0，1，2)，
所以＝(－2，1，2)，＝(1，－2，2)，＝(0，－1，2).
设平面CEM的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，可得n＝(2，2，1)，
此时n·＝－4＋2＋2＝0，
所以n⊥.
又BF 平面CEM，
所以BF∥平面CEM.
(2) 设直线BE与平面CEM所成的角为θ.
因为＝(－1，－1，2)，
所以sin θ＝＝＝，
即直线BE与平面CEM所成角的正弦值为.
(3) 设平面BEM的法向量为m＝(a，b，c).
因为＝(－1，－1，2)，＝(－2，0，2)，
所以取a＝1，可得m＝(1，1，1).
设平面BEM与平面CEM的夹角为α，
则cos α＝＝＝，
即平面BEM与平面CEM夹角的余弦值.