1.4.3 空间向量的综合应用 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

1．4.3　空间向量的综合应用
一、 单项选择题
1 已知平面α的一个法向量为n1＝(1，2，x)，平面β的一个法向量为 n2＝(－2，y，4).若α∥β，则x－y等于(　　)
A. －2 B. －4 C. 2 D. 4
2 在四面体C-SAB中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA＝45°，SA＝SB＝1，SC＝，则BC与平面SAB所成的角的大小为(　　)
A. 45° B. 60° C. 30° D. 90°
3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，E，F分别是棱A1C1，B1C1的中点，则直线AE与CF所成角的余弦值等于(　　)
A. B. C. D.
(第3题) 　(第4题)
4 如图，在一个二面角的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个平面内，并且都垂直于AB，AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则这个二面角的大小为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5 (2024大连期末)在空间中，经过点P(x0，y0，z0)，法向量为e＝(A，B，C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(x，y，z)满足的关系式)为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.用此方法求得平面α和平面β的方程，化简后的结果分别为x－y＋z＝1和x＋2y－z＝6，则这两平面夹角的余弦值为(　　)
A. － B. C. － D.
6 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为棱AA1的中点，点M在平面AA1B1B上运动．若D1M⊥CP，则△BCM面积的最小值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024遵义期末)已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA＝AB＝2，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，E，F分别为棱PA，PD的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. E，F，B，C四点共面
B. EF⊥平面PAB
C. ·＝3
D. 直线CD与平面PAC所成角的大小为
8 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是线段AB，BB1，A1C上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 对于任意给定的点P，存在点Q使得 D1P⊥CQ
B. 对于任意给定的点Q，存在点R使得 D1R⊥CQ
C. 当AR⊥A1C时，AR⊥D1R
D. 当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1
三、 填空题
9 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β 等于________．
(第9题) (第10题) (第11题)
10 如图，在四面体D-ABC中，AD＝BD＝AC＝BC＝5，AB＝DC＝6.若M为线段AB上的动点(不包含端点)，则二面角DMCB的余弦值的取值范围是________．
11 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝1，则异面直线BC1与A1B1所成角的大小为________；平面ABC1与平面CBC1夹角的余弦值是________．
四、 解答题
12 (2024桂林期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，AA1＝1，AB＝BC＝2，E，M分别为线段BC，AE的中点．
(1) 求二面角A-C1E-C的余弦值；
(2) 若点G满足＝2，求直线A1B与直线CG所成角的正弦值．
13 如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，BC＝CD＝，AB＝AD.以BD为折痕将△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置(点E，F不重合).
(1) 求证：EF⊥BD；
(2) 若平面EBD⊥平面FBD，G为△ABD的重心，EG⊥平面ABD，且直线EF与平面FBD所成的角为60°.求：
①线段AB的长度；
②二面角A-BE-D的余弦值．
【答案与解析】
1．4.3　空间向量的综合应用
1. C　由α∥β，得n1∥n2，则＝＝，解得x＝－2，y＝－4，故x－y＝2.
2. B　以S为坐标原点，SA，SB，SC所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，1，0)，C(0，0，)，＝(0，－1，).易知n＝(0，0，1)为平面SAB的一个法向量．设BC与平面SAB所成的角为θ.因为sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，所以θ＝60°.
3. A　以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设CA＝CB＝CC1＝2，则A(2，0，0)，C(0，0，0)，E(1，0，2)，F(0，1，2)，＝(－1，0，2)，＝(0，1，2)，则cos 〈，〉＝＝，所以直线AE与CF所成角的余弦值为.
4. C　设〈，〉＝θ.因为AC⊥AB，AB⊥BD，所以·＝·＝0，〈，〉＝π－θ，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2||||cos (π－θ)，即(2)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cos θ)，解得cos θ＝，则θ＝60°，即这个二面角的大小为60°.
5. B　由题意，得平面α和平面β的法向量分别是m＝(1，－1，1)，n＝(1，2，－1).设平面α和平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝＝.
6. B　过点M作MG⊥平面ABCD，垂足为G，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，P，D1(0，0，1)，B(1，1，0). 设M(1，a，b)，0≤a≤1，0≤b≤1，则＝(1，a，b－1)，＝，＝(0，a－1，b).因为D1M⊥CP，所以·＝1－a＋(b－1)＝b－a＋＝0，所以b＝2a－1.由正方体的性质可知BC⊥MB，且||＝＝，所以S△BCM＝BC·MB＝.当a＝时，(5a2－6a＋2)min＝，所以(S△BCM)min＝×＝.
7. AD　如图，取BC的中点M，连接MA，AC.因为四棱锥P-ABCD的底面是菱形，所以BC＝AB＝2，BC∥AD.结合∠ABC＝，可得△ABC是等边三角形，所以MA⊥AD.由PA⊥平面ABCD，得PA⊥MA，PA⊥AD，故以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．对于A，因为E，F分别为棱PA，PD的中点，所以EF是△PAD的中位线，则EF∥AD.结合BC∥AD，可得EF∥BC，则E，F，B，C四点共面，故A正确；对于B，E(0，0，1)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，F(0，1，1)，A(0，0，0)，B(，－1，0)，则＝(0，1，0)，＝(，－1，0)，＝(0，0，2).设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则有x－y＝0，2z＝0，令x＝1，可得n＝(1，，0)，易知与n不平行，故EF与平面PAB不垂直，故B错误；对于C，＝(，－3，0)，则·＝－3，故C错误；对于D，C(，1，0)，＝(，1，0)，＝(，－1，0).设平面PAC的法向量为m＝(a，b，c)，则有2c＝0，a＋b＝0，令a＝1，得m＝(1，－，0)，设直线CD与平面PAC所成角的大小为θ，则sin θ＝＝，可得θ＝，故D正确．故选AD.
8. ABD　建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2).设P(2，a，0)，a∈[0，2]，Q(2，2，b)，b∈[0，2]，设＝λ，得R(2－2λ，2λ，2－2λ)，λ∈[0，1]. 因为＝(2，a，－2)，＝(2，0，b)，所以·＝4－2b.当b＝2时，D1P⊥CQ，故A正确；＝(2－2λ，2λ，－2λ)，·＝2(2－2λ)－2λb，当λ＝时，D1R⊥CQ，故B正确；当AR⊥A1C时，有·＝(－2λ，2λ，2－2λ)·(－2，2，－2)＝4λ＋12λ－4＋4λ＝0，解得λ＝，此时·＝·＝－≠0，故C错误；当A1C＝3A1R时，λ＝，则R，＝，＝(－2，－2，0)，＝(0，2，2).设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝－1，得n＝(，－1，)，故·n＝0.因为D1R 平面BDC1，所以D1R∥平面BDC1，故D正确．故选ABD.
9. 　以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则点B(0，2，0)，A(2，2，0)，G(0，0，1)，F(1，1，0)，C1(0，0，2)，E(2，1，1)，所以＝(2，0，0)，＝(1，1，－1)，＝(2，1，－1)，所以cos 〈，〉＝，cos 〈，〉＝，即 cos α＝，cos β＝，所以sin α＝，sin β＝，则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝1.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
10. 　以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点C(0，4，0)，M(a，0，0)(－3＋144＝256, 所以|cos 〈n1，n2〉|<，即二面角D-MC-B的余弦值的取值范围是.
11. 　　根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系，则点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，C1(0，0，1)，B1(0，1，1)，A1(1，0，1)，所以＝(0，－1，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，1，0)，所以 |cos 〈，〉|＝＝，所以异面直线BC1与A1B1所成角的大小为.设n＝(x，y，z)是平面ABC1的法向量，则即令y＝1，得n＝(1，1，1)，显然m＝(1，0，0)是平面CBC1的一个法向量，则|cos 〈n，m〉|＝＝＝，故平面ABC1与平面CBC1夹角的余弦值是.
12. (1) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC＝，可得BC，BA，BB1两两垂直，
故以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，2，0)，C(2，0，0)，C1(2，0，1)，E(1，0，0).
设平面AC1E的法向量为m＝(x，y，z).
因为＝(－1，2，0)，＝(1，0，1)，
所以
取x＝2，可得m＝(2，1，－2).
易知平面CC1E的一个法向量为n＝(0，1，0)，
则cos 〈m，n〉＝＝.
由图可知，二面角A-C1E-C的平面角为钝角，故二面角A-C1E-C的余弦值为－.
(2) 易知A1(0，2，1)，B(0，0，0)，C1(2，0，1)，M.
由点G满足＝2，得＝＝＝，
则＝＋＝(0，0，1)＋＝，又＝(0，2，1)，
所以cos 〈，〉＝＝＝，
则sin 〈，〉＝＝，
所以直线A1B与直线CG所成角的正弦值为.
13．(1) 如图，取BD的中点H，连接EH，FH.
因为AB＝AD，BC＝DC，
所以EB＝ED，FB＝FD，
故EH⊥BD，FH⊥BD.
因为EH∩FH＝H，EH 平面EFH，FH 平面EFH，
所以BD⊥平面EFH.
因为EF 平面EFH，
所以BD⊥EF.
(2) ①由(1)，得AH⊥BD.
因为G为△ABD的重心，
所以点G必在直线AH上．
过点G作GM∥BD交AD于点M，则AH⊥GM.
因为EG⊥平面ABD，GM 平面ABD，AG 平面ABD，
所以EG⊥GM，EG⊥AG.
以G为坐标原点，GM所在直线为x轴，GA所在直线为y轴，GE所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为BC＝CD＝，且BC⊥CD，
所以BD＝CD＝2，FH＝BD＝1.
因为平面EBD⊥平面FBD，由(1)知∠EHF为平面EBD与平面FBD的二面角的平面角，
所以∠EHF＝90°，
由(1)知，EH⊥BD，
因为FH∩BD＝H，FH 平面FBD，BD 平面FBD，
所以EH⊥平面FBD，则∠EFH即为直线EF与平面FBD所成的角，故∠EFH ＝60°，
则EH＝tan 60°·FH＝，
由勾股定理，得ED＝EB＝＝2，
即△EBD为等边三角形，
所以△ABD是等边三角形，则AB＝2.
②由上可知AG＝AH＝，GH＝，
所以EG＝＝＝，
所以A，B，E，D，
＝(1，，0)，＝，＝(2，0，0).
设平面ABE的法向量为m＝(x，y，z)，
则
令y＝1，得x＝－，z＝，
所以m＝.
设平面BED的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
解得x1＝0，令y1＝1，则z1＝－，
所以n＝，
则|cos 〈m，n〉|＝＝＝.
设二面角A-BE-D为θ，显然为锐角，
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，
所以二面角A-BE-D的余弦值是.