第1章 空间向量与立体几何 复习课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

第1章 空间向量与立体几何 复习
一、 单项选择题
1 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. l∥α B. l α
C. l⊥α D. l α或l∥α
2 (2024信阳期末)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝4，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则A1C等于(　　)
A.
B.
C.
D. 10
3 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
4 已知空间三点A(1，0，3)，B(－1，1，4)，C(2，－1，3)，若∥，且||＝，则点P的坐标为(　　)
A. (4，－2，2)
B. (－2，2，4)
C. (4，－2，2)或(－2，2，4)
D. (－4，2，－2)或(2，－2，4)
5 在如图所示的空间直角坐标系中，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，||＝，||＝1，点M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为(　　)
A. (1，1，1) B. (，，1)
C. (，，1) D. (，，1)
6 如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，E为棱C1D1的中点，则二面角B1A1BE的余弦值为(　　)
A. － B. － C. D.
二、 多项选择题
7 已知空间向量a＝(1，－2，2)，b＝(0，2，0)，a，b构成的平面记为α，则下列说法中正确的是(　　)
A. 向量c＝(－2，0，1)与平面α垂直
B. 向量d＝(1，0，2)与a，b共面
C. 若a与b分别是l1与l2的一个方向向量，则直线l1，l2所成角的余弦值为－
D. 向量b在向量a上的投影向量为(0，－2，0)
8 (2024衡阳期末)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，且AD＝AA1＝2A1D1＝2，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线CD1与平面A1BD相交
B. 若直线AC1与平面BDD1B1交于点M，则M为线段AC1的中点
C. 平面A1CD将该四棱台分成的大、小两部分体积之比为5∶2
D. 若点P，Q分别在直线AA1，CD1上运动，则线段PQ长度的最小值为
三、 填空题
9 (2024泰安期末)已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，G为△ABC的重心，则||＝________．
10 (2024益阳期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，AC1与平面A1BD的交点为P，则(＋＋)·＝________．
11 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为________．
四、 解答题
12 (2024曲靖一模)在图1的直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，DC＝3，E是DC边上靠近于点D的三等分点，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达点C1的位置，且AC1＝，如图2.
(1) 求证：平面BC1E⊥平面ABED；
(2) 在棱DC1上是否存在点P，使得二面角 P EBC1的大小为45°？若存在，求出线段DP的长度；若不存在，说明理由．
图1 图2
13 (2024顺义期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD＝，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M为线段PC的中点．
(1) 求证：PA∥平面MBD；
(2) 求MD与平面ABCD所成角的正弦值；
(3) 设点N在线段PB上，且＝，线段PA的中点为Q，判断点Q与平面MND的位置关系，并说明理由．
【答案与解析】
第1章 空间向量与立体几何 复习
1. D　当a·b＝0时，l α或l∥α.
2. A　设＝a，＝b，＝c.因为AB＝AD＝3，AA1＝4，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，所以a2＝b2＝9，c2＝16，a·b＝0，a·c＝b·c＝3×4cos 60°＝6.又＝＋＝－＋＋＝a＋b－c，所以A1C＝||＝＝＝＝.
3. C　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则＝(1，1，)，＝(1，0，－ )，故cos 〈，〉＝＝－，所以直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
4. C　设P(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，＝(3，－2，－1).因为∥，设＝λ＝(3λ，－2λ，－λ)，所以即所以P(3λ＋1，－2λ，－λ＋3).又||＝，所以＝，解得λ＝1或λ＝－1，所以P(4，－2，2)或(－2，2，4).
5. C　由题可知D(，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，1)，A(，，0)，所以＝(，－，0)，＝(－，0，1).设平面BDE的法向量为n＝(a，b，c)，则令a＝1，得n＝(1，1，).设点M的坐标为(x，x，1)，则＝(x－，x－，1).因为AM∥平面BDE，所以·n＝0，即x－＋x－＋＝0，解得x＝，所以点M的坐标为.
6. C　设AD＝1，则点A1(1，0，2)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2).因为E为棱C1D1的中点，所以E(0，1，2)，所以＝(－1，1，0)，＝(0，2，－2).设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则所以取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1，1，1).又DA⊥平面A1B1B，所以＝(1，0，0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos 〈m，〉＝＝＝.又二面角B1-A1B-E为锐二面角，所以二面角B1-A1B-E的余弦值为.
7. AB　对于A，因为a·c＝－2＋0＋2＝0，b·c＝0＋0＋0＝0，所以a⊥c，b⊥c.又a与b不平行，所以c⊥α，故A正确；对于B，因为d＝a＋b，所以a，b，d共面，故B正确；对于C，因为|cos 〈a，b〉|＝＝＝，所以l1，l2所成角的余弦值为，故C错误；对于D，因为|b|cos 〈a，b〉＝＝－，＝，所以向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 〈a，b〉·＝，故D错误．故选AB.
8. ACD　根据题意，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．对于A，由AB＝AD＝AA1，可知a＝(1，1，1)为平面A1BD的一个法向量．又＝(－2，－1，2)，所以a·＝－2－1＋2＝－1≠0，所以与a不垂直，即直线CD1与平面A1BD相交，故A正确；对于B，连接AC1，A1C1，AC，设正方形ABCD的中心为O，正方形A1B1C1D1的中心为O1，则O为AC的中点，O1为A1C1的中点，连接OO1，可得OO1 平面BDD1B1，又OO1，AC1均在平面A1C1CA内，故OO1与AC1的交点即为M.易得O1C1∥OA，且O1C1＝OA，故△AOM与△C1O1M相似，可得C1M＝AM，则M是线段AC1的一个三等分点，故B错误；对于C，如图，延长A1B1至点E，使得A1E＝AB，则VA1B1-ABCD＝VA1AD-EBC－VB1-EBC＝×2×2×2－××2×2×1＝.又VA1B1C1D1-ABCD＝×(1×1＋2×2＋)×2＝，所以VA1D1D-B1C1C＝，所以平面A1CD分四棱台ABCD-A1B1C1D1所成的大、小两部分的体积之比为∶＝5∶2，故C正确；对于D，设＝(0，0，λ)，＝＋μ＝(2－2μ，2－μ，2μ)，其中λ，μ∈R，所以＝(2－2μ，2－μ，2μ－λ)，则||＝＝，所以||≥＝，当且仅当λ＝，μ＝时取等号，所以PQ长度的最小值为，故D正确．故选ACD.
9. 　由G为△ABC的重心，得＋＋＝0，即－＋－＋－＝0，即3＝＋＋，所以||＝＝×＝.
10. 1　由题意，以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体的棱长为1，所以＝(1，0，－1)，＝(1，1，0)，＝(－1，1，－1)，所以·＝－1＋1＝0，·＝－1＋1＝0，所以AC1⊥DA1，AC1⊥DB.因为DA1∩DB＝D，DA1 平面DA1B，DB 平面DA1B，所以AC1⊥平面DA1B.因为A1P 平面DA1B，所以AC1⊥A1P.由正方体的性质容易得到AA1⊥A1C1，所以在Rt△AA1C1中，有A1C1＝，AC1＝，所以由等面积法可得××1＝××A1P，所以A1P＝＝，AP＝＝，所以(＋＋)·＝·＝×＝1.
11. 　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E，F，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，所以＝，＝，所以＝.又AE 平面AB1E，FC1 平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E，所以直线FC1到平面AB1E的距离即为点F到平面AB1E的距离．又＝(1，1，0)，＝(0，1，1).设n＝(x，y，z)是平面AB1E的法向量，则取z＝2，则n＝(1，－2，2)，故点F到平面AB1E的距离为＝，即直线FC1到平面AB1E的距离为.
12. (1) 在直角梯形中，AB＝BC＝2，DC＝3，
则∠C＝60°，∠ABC＝120°.
又E是DC边上靠近于点D的三等分点，
所以EC＝2，所以△BCE为等边三角形．
连接AC，AE，AC交BE于点F，如图1，
可得四边形ABCE为菱形，
所以AC⊥BE，即折起后有AF⊥BE，C1F⊥BE，如图2，
易知AF＝C1F＝，又AC1＝，
所以AF2＋C1F2＝AC，即AF⊥C1F.
因为AF∩BE＝F，AF 平面ABED，BE 平面ABED，所以C1F⊥平面ABED.
因为C1F 平面BC1E，
所以平面BC1E⊥平面ABED.
图1 图2
(2) 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，2，0)，E(0，1，0)，F，C1，
所以＝(－，－1，0)，＝(，，).
假设存在点P满足题意，设＝λ＝(λ，λ，λ)，λ∈[0，1]，
所以P(λ，λ，λ)，
则＝(－λ，1－λ，－λ).
由(1)可知AF⊥平面BC1E，
所以平面BC1E的一个法向量为m＝(－1，，0).
设平面PBE的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝λ，可得n＝(λ，－λ，λ－1)，
所以|cos 〈m，n〉|＝＝＝，解得λ＝或λ＝－1(舍去)，
此时＝，可得||＝||＝，
即存在点P，当线段DP的长度为时，二面角P-EB-1的大小为45°.
13. (1) 连接AC交BD于点E，连接ME.
因为四边形ABCD是菱形，
所以E为线段AC的中点．
又M是线段PC的中点，
所以ME是△PAC的中位线，
所以PA∥ME.
因为PA 平面MBD，ME 平面MBD，
所以PA∥平面MBD.
(2) 如图，取AD的中点O，连接PO，OB.
因为△PAD是等边三角形，
所以PO⊥AD.
因为四边形ABCD是菱形，∠BCD＝，
所以△ABD是等边三角形，
所以BO⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
因为OB 平面ABCD，所以PO⊥OB，
所以OB，OD，OP两两垂直，
故以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(，2，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，M，
所以＝.
设MD与平面ABCD所成的角为θ，
易得平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，).
则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝＝，
所以MD与平面ABCD所成角的正弦值为.
(3) 点Q在平面MND内，理由如下：
连接DQ.
因为＝，所以＝＝，
所以＝＋＝(0，－1，)＋＝.
设平面MND的法向量为m＝(x，y，z)，
则
令x＝1，可得y＝－，z＝－1，
所以m＝.
因为线段PA的中点为Q，
所以Q，＝，
所以·m＝·＝0＋－＝0，
所以⊥m.
因为点D在平面MND内，
所以DQ在平面MND内，
所以点Q在平面MND内．