配套中学教材全解工具版八年级数学（下）（青岛版） 第6章 平行四边形检测题（附答案）

第6章 平行四边形检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则△的周长是（ ）
A.6 B.8 C.9 D.10
2.如图，已知□的周长是，△ABC的周长是，则的长为（ ）
A. B. C. D.
3.（2013·哈尔滨中考）如图，在□ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E， 且AE=3，则AB的长为( )
A.4 B.3 C. D.2
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4.（2013·成都中考）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合.若AB=2,则C′D的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图，在矩形中，分别为边的中点.若，
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
6.如图为菱形与△重叠的情形，其中在上．若，，，则（　　）
A.8 B.9 C.11 D.12
7. （2015·广州中考）下列命题中，真命题的个数是( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形.
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
8.（2013·杭州中考）如图，在□ABCD中，下列结论一定正确的是（ ）
A.AC⊥BD B.∠A+∠B=180° C.AB=AD D.∠A≠∠C
9．（2013·山东威海中考）如图,在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF.添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ ）
A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC=BF
10. (2015·江西中考)如图，小贤为 ( http: / / www.21cnjy.com )了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化.下列判断错误的是(　　)
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B. BD的长度增大
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. （2015·山东潍坊中考）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC， BC＝50，AB=20，
∠B=60°，则AD=_______.
第11题图 第14题图
12.如图，在□中，分别为边的中点，则图中共有 个平行四边形.
13.已知菱形的边长为5，一条对角线长为8，则另一条对角线长为_________.
14. (2015·广东中考)如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是 .
15.已知菱形的边长为，一条对角线的长为，则菱形的最大内角是_______.
16.若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是 .
17.如图，在矩形ABCD中，对角线与相交于点O，且 ，则BD的长为________cm，BC的长为_______cm.
18.（2013·山东烟台中考）如图，□A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12,则△DOE的周长为_______.
三、解答题（共46分）
19.（6分）已知□的周长为40 cm，，求和的长.
20.（6分）已知，在□中，∠的平分线分成和两条线段，求□的周长.
21.（6分）（2015· ( http: / / www.21cnjy.com )河北中考）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证.
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
证明：
第21题图
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为_______________________________________.
22.（6分）如图，在矩形中，相交于点，平分交于点．若，求∠的度数．
第23题图
23.（6分）(2015·广东中考)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长.
24.(7分)（2013·南京中考 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M，N.
(1)求证:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.
25.(9分)已知：如图，四边形是菱形，过的中点作的垂线，交于点，
交的延长线于点．
（1）求证：.
（2）若，求菱形的周长．
第6章 平行四边形检测题参考答案
1.B 解析：在平行四边形中，
因为的垂直平分线交于点，所以
所以△的周长为
2.D 解析：因为□的周长是28 cm，所以 .
因为△的周长是，所以 .
3.B 解析:∵ CE平分∠BCD，∴ ∠BCE=∠DCE.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC.
∴ ∠DEC=∠BCE.∴ ∠DCE=∠DEC.
∴ CD=DE. ∴ AD=2AB=2CD=2DE.
∴ DE=AE=3.∴ AB=CD=DE=3.
4.B 解析:因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=2.由于沿BD折叠后点C与点C′重合，所以C′D=CD=2.
5.B 解析：因为矩形ABCD的面积为2×4=8，S△BEH=×1×2=1，
所以阴影部分的面积为，故选B．
6.D 解析：连接，设交于点.
因为四边形为菱形，所以，且.
在△中，因为，所以.
在△中，因为，所以.
又，所以．故选D．
7. B 解析：因为对角线互相 ( http: / / www.21cnjy.com )平分的四边形是平行四边形，所以①正确；因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以③错误.故正确的是①②.
8.B 解析:平行四边形的对角线互相平分 ( http: / / www.21cnjy.com )但不一定垂直，所以选项A错误；平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误.
9.D 解析:本题综合 ( http: / / www.21cnjy.com )考查了直角三角形、线段的垂直平分线的性质与菱形、正方形的判定方法等知识.因为EF垂直平分BC，所以BE=EC,BF=FC.又BE=BF,所以BE=EC=CF=FB,所以四边形BECF为菱形.如果BC=AC,那么∠ABC=90°÷2=45°,则∠EBF=90°，能证明四边形BECF为正方形.如果CF⊥BF,那么∠BFC=90°,能证明四边形BECF为正方形.如果BD=DF,那么BC=EF,能证明四边形BECF为正方形.当AC=BF时，可得AC=BE=EC=AE,此时∠ABC=30°，则∠EBF=60°，不能证明四边形BECF为正方形.
点拨:判定一个四边形是正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形一般有两种方法：一是先证明它是矩形，再证明一组邻边相等或证明对角线互相垂直；二是先证明它是菱形，再证明有一个角是直角或证明对角线 相等.
10. C 解析：在向右扭动框架的 ( http: / / www.21cnjy.com )过程中，AB与BC不再垂直，但始终有AD=BC，AB=CD，所以四边形ABCD会由矩形变为平行四边形，BD的长度会增大.因为四边形的边长不变，所以四边形周长不变.BC的长不变，但四边形的高将逐渐变小，所以四边形的面积将会变小.
11. 30 解析：如图所示，过点D作DE∥AB交BC于点E，因为AD∥BC，
所以四边形ABED为平行四边形，所以AD=BE，DE=AB.
因为梯形ABCD为等腰梯形，所以AB=DC.所以DE=DC.
因为DE∥AB，所以∠DEC=∠B=60°，
所以△DEC为等边三角形，
所以EC=DC=20.
因为BC=50，所以AD=BE=30. 第11题答图
12.4 解析：因为 在□ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，
所以 .又AB∥CD，所以四边形AEFD，CFEB，DFBE都是平行四边形，再加上□ABCD本身，共有4个平行四边形，故答案为4．
13.6 解析：因为菱形的两条对角线互相垂直平分，根据勾股定理，可求得另一条对角线的一半为3，则另一条对角线长为6．
14. 6 解析：因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=6.又∠ABC=60°，
所以△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC=6.．
15.120° 解析：已知菱形的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为5 cm，一条对角线的长为5 cm，则菱形的相邻两条边与它的一条对角线构成的三角形是等边三角形，即长为5 cm的对角线所对的角是60°，根据菱形的性质得到菱形的另一个内角是120°，即菱形的最大内角是120°．
16.菱形 解析：由四边形的两条对角线相等，知顺次连接该四边形各边中点所得的四边形的四条边相等，即所得四边形是菱形.
17.4 解析：因为 cm，所以 cm.
又因为 ，所以 cm.
，所以（cm）.
18.15 解析:本题综合考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线定理.∵ 点E,O分别是CD,BD的中点，∴ OE是△DBC的一条中位线，∴ OE=BC，∴ △DOE的周长＝OE+DE+OD＝BC+CD+BD= (BC+CD)+6=□ABCD的周长+6＝15.
19.解：因为四边形是平行四边形，所以，.
设 cm， cm，
又因为平行四边形的周长为40 cm，
所以，解得，
所以 ， ．
20.解：设∠的平分线交于点，如图.
因为∥，所以∠∠.
又∠∠，所以∠∠，所以．
而．
①当时，，
□的周长为；
②当时，
□的周长为．
所以□的周长为或．
21. 解：（1）CD 平行
（2）证明：连接BD.
在△ABD和△CDB中，
∵ AB=CD,AD＝CB，BD＝DB，
∴ △ABD≌△CDB. 第21题答图
∴ ∠1=∠2,∠3=∠4.
∴ AB∥CD，AD∥CB.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
（3）平行四边形的对边相等.
22.解：因为 平分，所以.
又知，所以
因为，所以△为等边三角形，所以
因为，
所以△为等腰直角三角形，所以．
所以，，，此时．
23. (1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠B=∠D=90°，AD=AB.
由折叠的性质可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴ ∠AFG=90°，AB=AF，
∴ ∠AFG=∠B=90°.又AG=AG，∴ △ABG≌△AFG(HL).
(2)解：∵ △ABG≌△AFG，∴ BG=FG.
设BG=FG=x，则GC=6－x.
∵ E为CD的中点，∴ CE=DE=EF＝3，∴ EG=x+3.
在Rt△ECG中，，
即，解得x=2.
∴ BG的长为2.
24.分析:本题考查了全等三角形和 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形的判定.（1）根据SAS定理可证明△ABD≌△CBD，从而得∠ADB=∠CDB.（2）先根据“有三个角是直角的四边形是矩形”证得四边形MPND是矩形，再根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得PM=PN，从而证得矩形MPND是正方形.
证明:(1)∵ BD平分∠ABC,∴ ∠ABD=∠CBD.
又∵ BA=BC,BD=BD,∴ △ABD≌△CBD.
∴ ∠ADB=∠CDB.
(2)∵ PM⊥AD,PN⊥CD,∴ ∠PMD=∠PND=90°.
又∵ ∠ADC=90°,∴ 四边形MPND是矩形.
由（1）知∠ADB=∠CDB,又PM⊥AD,PN⊥CD,∴ PM=PN.
∴ 四边形MPND是正方形.
点拨:（1）证明三角形全等是证明角相等或 ( http: / / www.21cnjy.com )线段相等的常用方法；（2）因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以遇到角平分线和两条垂线段时通常考虑这两条垂线段 相等.
25.（1）证明：因为四边形是菱形，所以．
又因为，所以是的垂直平分线，所以.
因为，所以．
（2）解：因为∥，所以．
因为所以.
又因为，所以，所以△是等腰三角形，
所以，所以，
所以菱形的周长是．
第1题图　　　　　　　　　　
Ａ　　　
B　　　
Ｃ　　　
Ｄ　　　
Ｅ　　　
第2题图
A
B
C
D
A
B
C
D
O
第17题图
已知：如图，在四边形ABCD中，BC＝AD，
AB＝_________.
求证：四边形ABCD是________四边形.
第25题图
A
B
E
D
C
F
M
E
第20题答图
A
D
C
B