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第五章 分式与分式方程 单元测试（提高卷）
（考试时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列代数式，，，，中是分式的有（ ）个
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义，依次判断即可．
【详解】解：根据分式的定义，为分式，有2个，故选：B．
2．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【详解】解：根据题意得：，解得：．故选：A．
3．下列式子从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；D、，故符合题意；
故选：D．
4．分式（、均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
【答案】C
【分析】本题主要考查分式的性质，根据题意及分式的性质可直接进行求解．
【详解】解：∵字母的值都扩大为原来的2倍为，
∴分式的值不变，故选：C．
5．下列各式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简分式、分式的化简．根据题意逐项判断即可．
【详解】A. 是整式，不是分式，此选项不符合题意；B. ，此选项不符合题意；
C. ，此选项不符合题意；D. 是最简分式，此选项符合题意．
故选：D．
6．下列计算不正确的题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案．
【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意；
B、，原计算正确，本选项不符合题意；
C、，原计算错误，本选项符合题意；
D、，原计算正确，本选项不符合题意；
故选：C．
7．分式与的最简公分母是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简公分母的确定方法：数字取各分母系数的最小公倍数，同底数幂取次数最高的，凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，得到的因式的积就是最简公分母．根据最简公分母的定义即可求出答案．
【详解】解：两个分式可化为：
， 最简公分母：，
故选：D．
8．给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题．
【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程．故分式方程有1个，
故选：A．
9．已知关于x的分式方程 无解，则k的值为（ ）
A．0 B．0或 C．0或 D．或0或
【答案】C
【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】解：方程两边都乘
得，，
当时，方程无解，此时，
当时，，此时整式方程的解为分式方程的增根，
最简公分母，解得或，
当时，，，符合题意，
当时，，此时k不存在；
所以分式方程无解，则k的值为0或．
故选：C．
10．某校组织七年级学生赴劳动实践基地开展劳动实践活动，全程36千米．因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据大巴车原计划的速度与实际速度间的关系，可得出大巴车实际的平均速度为千米时，利用时间路程速度，结合实际比原计划少用10分钟，即可列出关于的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：途中大巴车平均每小时比原计划多走，且大巴车原计划的平均速度为千米时，大巴车实际的平均速度为千米时．根据题意得：．
故选：D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．若分式的值为零，则x的值为 ．
【答案】
【分析】根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可．本题考查分式的值为0的条件，解题的关键是掌握分式为0的条件，正确的计算．
【详解】解：∵分式的值为零，∴，∴；
故答案为：．
12．化简：
【答案】/
【分析】本题考查了分式的化简，分子因式分解，然后约分，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
13．计算= ．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，根据分式的乘除运算法则进行化简即可求出答案．
【详解】解：原式．
故答案为： ．
14．关于x的方程的解为非负数，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】此题考查了分式方程的解，正确进行分式的计算是解题的关键．根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案．
【详解】解：，去分母得：，解得，
∵，∴且，解得且，∴k的取值范围是且．
故答案为：且．
15．某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤．设该种水果打折前的价格为元/斤，根据题意可列方程为
【答案】
【分析】本题主要考查了列分式方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键．
设该种水果打折前的价格为元/斤，根据等量关系“对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤”列出方程即可．
【详解】解：设该种水果打折前的价格为元/斤，
依题意得：．
16．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
将能因式分解的进行分解，把除法化成乘法再计算，然后计算分式加减法即可．
【详解】．
17．若，则代数式的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了求代数式的值．先对已知去分母变形，得到，再对所求式子变形为，整体代入即可求解．
【详解】解：∵，∴，即，
∴，
故答案为：1．
18．已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的解，解不等式组，先求出分式方程的解，根据，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，又由最简公分母的值不等于，可得不符合条件的取值，最后综合即可得到最终的取值范围，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：由分式方程得，，
∵分式方程的解满足，∴，
即，解得，又∵，∴且，
即且，解得且，
∴的取值范围为且，
故答案为：且．
三、解答题（第19、20题每题6分，第21，22，23，24题每题8分，第25题10分，第26题12分，共66分）
19．计算：
(1) (2)
【分析】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行分式的混合运算是解题的关键．
（1）首先将分子与分母进行因式分解，再进行约分即可得出答案；
（2）先因式分解，除法运算转化为乘法运算，再进行约分即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
20．计算：
(1)； (2)．
【详解】（1）原式．
（2）原式21．先化简，然后再从，，0，1，，2中选择一个合适的数作为的值，代入后再求值，
【答案】
【分析】首先利用分式的混合运算顺序和法则进行化简，然后找到使分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵分式有意义， ∴且，且且，∴，
∴当时，原式．
22．先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．先计算括号内分式的加减，再计算分式的乘除，最后计算分式的加减，即可得到答案．
【详解】
，
当时，原式．
23．已知方程的解为x=2，先化简，再求它的值．
【答案】，4．
【分析】先根据x=2是方程的解，代入原方程可求得a=2，再进行分式的化简，最后把a的值代入求解即可．
【详解】解：∵方程的解为x=2，
∴把x=2代入得
解得：a=3，
＝=
当a=3时，原式==4．
24．华联商场预测某品牌村衫能畅销市场，先用了8万元购入这种衬衫，面市后果然供不应求，于是商场又用了17.6万元购入第二批这种衬衫，所购数量是第一批购入量的2倍，但单价贵了4元．商场销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按定价的八折销售，很快售完．
(1)第一次购买这种衬衫的单价是多少？
(2)在这两笔生意中，华联商场共赢利多少元？
【分析】（1）设第一批购入的衬衫单价为x元/件，根据题目中的等量关系“第一批衬衫的数量×2=第二批衬衫的数量”可列方程，解方程即可．
（2）在（1）的基础上可求出两次进货的数量以及每件的单价，在这两笔生意中，华联商场共赢利分三部分，第一批衬衫的盈利和第二批衬衫两部分的盈利，根据每件利润×件数=总利润分别求出这三部分的盈利相加即可得在这两笔生意中，华联商场共赢利的钱数．
【详解】（1）设第一批购入的衬衫单价为x元/件，根据题意得，
．
解得：x=40，经检验x=40是方程的解，也符合题意.
答：第一批购入衬衫的单价为每件40元．
（2）由（1）知，第一批购入了80000÷40=2000件．
在这两笔生意中，华联商场共赢利为：
2000×（58﹣40）+（2000×2-150）×（58﹣44）+150×（58×0．8﹣44）=90260元．
答：两笔生意中华联商场共赢利90260元．
25．已知，关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得：，方程两边同时乘以，
得：，解得：，
检验：把代入，∴原分式方程的解为：．
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当时，即，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，即时，此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，即时，此时b=5；
综上所述，时，分式方程无解．
（3）解：把a=3b代入分式方程中，
得：，方程两边同时乘以，
得：，，
解得：，
∵b为正整数，x为整数，∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
26．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即．
(1)点的“3之立信点”的坐标为________．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．
【分析】（1）根据点为点P的“之立信点”的定义计算；
（2）根据x轴的正半轴上点的特征、点为点P的“之立信点”的定义计算；
（3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
【详解】（1）解：当时，，∴点的“3之立信点”的坐标为，故答案为：；
（2）∵点P在x轴的正半轴上，．∴点P的坐标为，
∵点P的“k之立信点”为点，∴点的坐标为，时，
为等腰直角三角形，，，．
故答案为：1；
（3）当时，去分母整理得：，∵原方程无解，
∴①，即，
②，即，则，；；
综上所述，或．中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 分式与分式方程 单元测试（提高卷）
（考试时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列代数式，，，，中是分式的有（ ）个
A．4 B．2 C．3 D．5
2．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．分式（、均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
5．下列各式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算不正确的题是（ ）
A． B．
C． D．
7．分式与的最简公分母是( )
A． B． C． D．
8．给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知关于x的分式方程 无解，则k的值为（ ）
A．0 B．0或 C．0或 D．或0或
10．某校组织七年级学生赴劳动实践基地开展劳动实践活动，全程36千米．因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．若分式的值为零，则x的值为 ．
12．化简：
13．计算= ．
14．关于x的方程的解为非负数，则k的取值范围是 ．
15．某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤．设该种水果打折前的价格为元/斤，根据题意可列方程为
16．计算的结果是 ．
17．若，则代数式的值是 ．
18．已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是 ．
三、解答题（第19、20题每题6分，第21，22，23，24题每题8分，第25题10分，第26题12分，共66分）
19．计算：
(1) (2)
20．计算：
(1)； (2)．
21．先化简，然后再从，，0，1，，2中选择一个合适的数作为的值，代入后再求值，
22．先化简，再求值：，其中
23．已知方程的解为x=2，先化简，再求它的值．
24．华联商场预测某品牌村衫能畅销市场，先用了8万元购入这种衬衫，面市后果然供不应求，于是商场又用了17.6万元购入第二批这种衬衫，所购数量是第一批购入量的2倍，但单价贵了4元．商场销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按定价的八折销售，很快售完．
(1)第一次购买这种衬衫的单价是多少？
(2)在这两笔生意中，华联商场共赢利多少元？
25．已知，关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
26．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即．
(1)点的“3之立信点”的坐标为________．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．
