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暑假作业02平方差公式和完全平方公式
一、平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
①位置变化：；②符号变化：
③指数变化：；④系数变化：
二、完全平方公式：，
两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
，
一、单选题
1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．如图，长方形的周长是，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
二、填空题
6．已知，则代数式 ．
7．如果是一个完全平方式，那么k的值是 ．
8．已知，，则
9．已知，且以a、b、c为长拼成如图正方形，则阴影部分的面积为 ．(用含x、y、z的代数式表示)
三、解答题
10．已知，
(1)求的值；
(2)求和的值．
11．先化简，再求值：，其中，．
12．若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如： ．请根据这个规定解答下列问题：
(1)计算： ；
(2)代数式 为完全平方式，求的值．
1．计算，其结果的个位数字为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．若，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．设x，y，，，，，则a，b，c三个数（ ）
A．都小于4 B．至少有一个不大于4
C．都大于4 D．至少有一个不小于4
4．已知：，，则、的大小关系是 .
5．对于一个三位数，其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”，则最小的“倍差数”为 若一个数能够写成（，均为正整数，且），则我们称这样的数为“不完全平方差数”，记．例如，所以或．若一个小于的三位数（其中，，且，，均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，则满足条件的的最大值为 ．
6．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．
(1)观察图2填空：正方形的边长为______，阴影部分的小正方形的边长为______；
(2)观察图2，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值．
7．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________．
A． B． C． D．
(2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知：求的值；
②计算：；
8．阅读材料：若满足，求的值．
解：设，，则，，
．
请仿照上面的方法解决下面问题：
(1)若满足，求的值；
(2)正方形和正方形如图放置，分别延长，，交和于，两点，四边形和都是正方形．若正方形的边长为，
①，长方形的面积为，求阴影部分的面积；
②，，长方形的面积是，求阴影部分的面积．
1．（2023·湖南娄底·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
3．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ．
4．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
5．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为 .
6．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，.中小学教育资源及组卷应用平台
暑假作业02平方差公式和完全平方公式
一、平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
①位置变化：；②符号变化：
③指数变化：；④系数变化：
二、完全平方公式：，
两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
，
一、单选题
1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积可表示为：．
∵4个全等长方形的长和宽分别为a，b，中间小正方形的边长为，
∴大正方形的面积还可表示为：，
∴用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为：．
故选D．
3．若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．如图，长方形的周长是，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设，，
长方形的周长是，正方形和的面积之和为，
，，
，
，
，
故选：B．
5．如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】A
【详解】设，，
根据题意，
∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
二、填空题
6．已知，则代数式 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
7．如果是一个完全平方式，那么k的值是 ．
【答案】
【详解】解：中间一项为加上或减去的系数和常数3的积的2倍，
．
故答案为：．
8．已知，，则
【答案】13
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：13．
9．已知，且以a、b、c为长拼成如图正方形，则阴影部分的面积为 ．(用含x、y、z的代数式表示)
【答案】
【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为：
∵，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
三、解答题
10．已知，
(1)求的值；
(2)求和的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，，
，
；
（2）解：联立得：，
①+②得：，
解得：，
将代入②得
，
．
11．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：原式
，
当，时，
原式．
12．若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如： ．请根据这个规定解答下列问题：
(1)计算： ；
(2)代数式 为完全平方式，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：根据题意可得：
；
故答案为：；
（2）解：根据题意可得：
，
∵原式为完全平方式，
∴．
1．计算，其结果的个位数字为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【详解】解：
．
∵，，，，，…，即其个位数字依次为并依次循环出现．
∵，
∴的个位数字为6，
∴的个位数字为．
故选A．
2．若，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
，
，
，
，
故选：B．
3．设x，y，，，，，则a，b，c三个数（ ）
A．都小于4 B．至少有一个不大于4
C．都大于4 D．至少有一个不小于4
【答案】D
【详解】解：∵，，，
∴，
∵x，y，，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴至少有一个不小于4，
故选：D．
4．已知：，，则、的大小关系是 .
【答案】
【详解】解：∵
；
；
∴
，
∴，
故答案为：．
5．对于一个三位数，其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”，则最小的“倍差数”为 若一个数能够写成（，均为正整数，且），则我们称这样的数为“不完全平方差数”，记．例如，所以或．若一个小于的三位数（其中，，且，，均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，则满足条件的的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：依题意，最小的“倍差数”百位数最小为1，当十位为0时，则个位为1，
∴最小的“倍差数”是
∵三位数小于，，，
，
又∵是“倍差数”，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
，
，
∴或，
∴或；
而不是“不完全平方差数”，
∴的最大值．
故答案为：，．
【点睛】本题考查再新定义的情境下的整式的乘法运算，掌握平方差公式的应用，弄懂新定义的含义是解题的关键．
6．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．
(1)观察图2填空：正方形的边长为______，阴影部分的小正方形的边长为______；
(2)观察图2，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值．
【答案】(1)，
(2)，证明见解析
(3)．
【详解】（1）解：正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为；
故答案为：，；
（2）解：
理由如下：
；
（3）解：由（2）得，
又，，
∴
∴．
7．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________．
A． B． C． D．
(2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知：求的值；
②计算：；
【答案】(1)B
(2)①；②
【详解】（1）解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为
∴可以验证的等式是：
故答案为：B；
（2）解：①∵，
∴，
即，
∴；
②
8．阅读材料：若满足，求的值．
解：设，，则，，
．
请仿照上面的方法解决下面问题：
(1)若满足，求的值；
(2)正方形和正方形如图放置，分别延长，，交和于，两点，四边形和都是正方形．若正方形的边长为，
①，长方形的面积为，求阴影部分的面积；
②，，长方形的面积是，求阴影部分的面积．
【答案】(1)；
(2)①；②
【详解】（1）解：设，，
，
，
，
，
；
（2）解：①由题意知：，，
，
令，
，，
；
②由题意知：，，
令，，
，，
．
1．（2023·湖南娄底·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：，故A不符合题意；
，不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，合并同类项，平方差公式的应用，积的乘方运算，熟记以上基础的运算法则是解本题的关键．
2．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键．
3．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ．
【答案】
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键．
4．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
【答案】
【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第4个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，
列表如下，
观察表格可知当时，时，智慧数为，
时，智慧数为，
，时，智慧数为，
，时，智慧数为，
第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为
故答案为：，．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
5．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为 .
【答案】
【详解】解：由题意可知：，
∵，
∴，
∴；
，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾，
∴
∴；
，同理，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．
6．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，.
【答案】，
【详解】
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开．
