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暑假作业01 幂的运算及整式的乘除
一、幂的运算
1.幂的乘法运算：均为正整数)
口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2.幂的乘方运算:都为正整数)
口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3.积的乘方运算：为正整数）
口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4.幂的除法运算：均为正整数，并且)
口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
5.零指数：
二、整式的乘法
1.单项式乘单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2.单项式乘多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
3.多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
4.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
5.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
一、单选题
1．计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
2．纳米是一种长度计量单位，1纳米米．现在世界最好的芯片制程已经达到2纳米，用科学记数法表示2纳米，下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如果多项式与多项式的乘积中不含y的一次项，则a的值为（ ）
A． B． C．5 D．
二、填空题
6．若，，则 ．
7．小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ．
8．已知 ，则 的值为 ．
9．已知一个多项式乘以所得的结果是，那么这个多项式 ．
三、解答题
10．计算．
(1)
(2)
11．（1）已知，，求的值．
（2）已知，，，求的值．
12．如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．
(1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积；
(2)当，时，求阴影部分的面积．
1．如图，这是小刚同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题15分，满分60分，那么他的成绩是（ ）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
A．60分 B．45分 C．30分 D．15分
2．已知，，为正整数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．若代数式的值与x的取值无关，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知，B是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，则 ．
5．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．
(1)试求出式子中，的值；
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果．
6．现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片和4张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，其周长分别为，．
(1)请用含的式子分别表示，，当时，求的值；
(2)请用含的式子分别表示，，当时，求的值．
1．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
2．（2023·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．（） C． D．（）
3．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2022·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．
例先去括号，再合并同类项：（）． 解：（） ．
5．（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
6．（2022·湖北宜昌·中考真题）数学讲究记忆方法．如计算时若忘记了法则，可以借助，得到正确答案．你计算的结果是 ．
7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）已知，则x的值为 ．
8．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．中小学教育资源及组卷应用平台
暑假作业01幂的运算及整式的乘除
一、幂的运算
1.幂的乘法运算：均为正整数)
口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2.幂的乘方运算:都为正整数)
口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3.积的乘方运算：为正整数）
口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4.幂的除法运算：均为正整数，并且)
口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
5.零指数：
二、整式的乘法
1.单项式乘单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2.单项式乘多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
3.多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
4.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
5.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
一、单选题
1．计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：．
故选：A．
2．纳米是一种长度计量单位，1纳米米．现在世界最好的芯片制程已经达到2纳米，用科学记数法表示2纳米，下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：．
故选：C
3．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵；
；
．
则．
故选：A．
4．若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．如果多项式与多项式的乘积中不含y的一次项，则a的值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【详解】解：
，
多项式与多项式的乘积中不含的一次项，
，
解得．
故选：B．
二、填空题
6．若，，则 ．
【答案】12
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：12．
7．小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ．
【答案】1
【详解】解：设，
则原式，
∵结果中的一次项系数为，
∴，解得，
故答案为：1．
8．已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【详解】∵，且，
∴，
故答案为：．
9．已知一个多项式乘以所得的结果是，那么这个多项式 ．
【答案】
【详解】解：∵一个多项式乘以所得的结果是，
∴这个多项式，
故答案为：．
三、解答题
10．计算．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式
；
（2）原式
11．（1）已知，，求的值．
（2）已知，，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）∵，，
∴原式；
（2）∵，，，
原式．
12．如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．
(1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积；
(2)当，时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：阴影部分的面积为：
；
（2）当，时，原式．
1．如图，这是小刚同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题15分，满分60分，那么他的成绩是（ ）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
A．60分 B．45分 C．30分 D．15分
【答案】C
【详解】解：（1），故（1）错误，的0分；
（2），故（2）正确，得15分；
（3），故（3）错误，得0分；
（4），故（4）正确，得15分；
∴小刚同学的分数为：分，
故选：C．
2．已知，，为正整数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】解：根据题意得：，
∴，，
∵a，b，c为正整数，
∴当时，；则有：；
当时，；则有：；
当时，，则有：；
∴不可能为8．
故选：D．
3．若代数式的值与x的取值无关，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：原式
．
代数式的值与x的取值无关，
，．
，．
．
故选：C．
4．已知，B是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，则 ．
【答案】
【详解】解：，B是多项式，小明把看成，计算结果是，
，
故．
故答案为：．
5．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．
(1)试求出式子中，的值；
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意得
，
，
所以，①
②
由②得，代入①得，
所以
所以
所以
（2）解：当时，由得
6．现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片和4张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，其周长分别为，．
(1)请用含的式子分别表示，，当时，求的值；
(2)请用含的式子分别表示，，当时，求的值．
【答案】(1)5；
(2)2.
【详解】（1）由题知，
图2中长方形的长为，宽为，
所以；
图3中长方形的长为，宽为1，
所以；
则，
当时，
．
（2）由（1）求出的长和宽可知，
，
，
所以，
当时，
．
1．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
2．（2023·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．（） C． D．（）
【答案】C
【详解】解：A、 ，故该项原计算错误；
B、 （），故该项原计算错误；
C、 ，故该项原计算正确；
D、 （），故该项原计算错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的计算法则，熟记幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整数指数幂计算法则是解题的关键．
3．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：
；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数．
4．（2022·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．
例先去括号，再合并同类项：（）． 解：（） ．
【答案】，解答过程补充完整为
【详解】解：观察第一步可知，，
解得，
将该例题的解答过程补充完整如下：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
5．（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
【答案】D
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键．
6．（2022·湖北宜昌·中考真题）数学讲究记忆方法．如计算时若忘记了法则，可以借助，得到正确答案．你计算的结果是 ．
【答案】0
【详解】
=
=
=0．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）已知，则x的值为 ．
【答案】，1，3
【详解】解：∵，
当时，；
当时，；
当时，，此时，等式成立；
故答案为：，1，3．
【点睛】本题考查有理数的乘方；熟练掌握有理数的乘方的性质，切勿遗漏零指数幂的情况是解题的关键．
8．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
