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第10章 二元一次方程组 单元测试
（时间：120分钟，满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列属于二元一次方程的是
A． B． C． D．
【详解】解：、该方程中含有两个未知数，但是含有未知数的项的最高次数是2，不属于二元一次方程；
、该方程中符合二元一次方程的定义，属于二元一次方程；
、该方程不是整式方程，不属于二元一次方程；
、该方程中含有两个未知数，但是含有未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程．
故本题选：．
2．下列方程组是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【详解】解：是二元一次方程组．
故本题选：．
3．若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于
A．3 B．6 C． D．
【详解】解：将代入方程得：，
．
故本题选：．
4．用代入消元法解方程组，代入消元，正确的是
A．由①得，代入②后得
B．由②得代入②得
C．由①得代入②得
D．由②得，代入①得
【详解】解：由②得：，代入①得：．
故本题选：．
5．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是
A．要消去，可以将①② B．要消去，可以将①②
C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①②
【详解】解：、要消去，可以将①②，故不正确；
、要消去，可以将①②，故不正确；
、要消去，可以将①②，故不正确；
、要消去，可以将①②，故符合题意．
故本题选：．
6．若、满足，则有
A． B． C． D．
【详解】解：，
，解得：．
故本题选：．
7．已知关于、的方程组与有相同的解，则和的值为
A． B． C． D．
【详解】解：解方程组得：，
将代入得：，解得：．
故本题选：．
8．已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是
A． B． C． D．
【详解】解：原方程可整理得：，
由题意可得：，解得：．
故本题选：．
9．已知方程组的解是，则方程组的解是
A． B． C． D．
【详解】解：方程组的解是，
方程组可整理为：，则，解得：．
故本题选：．
10．已知关于，的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值，，的值不可能互为相反数；
④，都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：将代入原方程组得：，解得：，
将、代入方程，左边，右边，
当时，方程组的解也是的解，故①正确；
方程组，①②得：，
若，则，解得：，故②正确；
，，
两式相加得：，
，
无论取何值，，的值不可能互为相反数，故③正确；
，
，都为自然数的解有，共5对，故④正确．
故本题选：．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5元．某人买了个甲种面包和个乙种面包，共花了30元、请列出关于，的二元一次方程 ．
【详解】解：设买了个甲种面包和个乙种面包，
由题意可得：．
故本题答案为：．
12．二元一次方程的正整数解是 ．
【详解】解：，
，
，是正整数，
或，
当时，；
当时，（舍去）．
故本题答案为：，．
13．已知关于，的方程是二元一次方程，则 ．
【详解】解：由题意可得：，且，解得：．
故本题答案为：1．
14．已知，则的值等于 ．
【详解】解：，
①②得：，则，
①②得：，则，
．
故本题答案为：．
15．若关于，的方程的解满足，则 ．
【详解】解：，
①②得，即，
，
，解得：．
故本题答案为：2．
16．已知，，满足，则 ．
【详解】解：，
①②得：，则，
②①得：，则，
．
故本题答案为：．
17．在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 ．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
由题意可得：，解得：，
．
故本题答案为：79．
18．若实数，，满足，，则代数式的最大值为 ．
【详解】解：由题意可得：，解得：，
则
，
代数式的最大值为．
故本题答案为：．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
【详解】解：（1），
②①得：，解得：，
将代入①，解得：，
故原方程组的解为；
（2），
整理得：，
①②得：，解得：，
将代入①，解得：，
故原方程组的解为．
20．（6分）已知等式，且当时；，当时；当时；
（1）求、、的值；
（2）当时，的值又是多少？
【详解】解：（1）由题意可得：，
②①得：④，
③②得：，即⑤，
联立④⑤得：，解得：，
将代入①得：，
、、的值分别是2，，1；
（2）由（1）可知：、、的值分别是2，，1，
，
当时，．
21．（8分）一水果批发商用410元钱从水果批发市场批发了橙子70千克和香蕉30千克，橙子和香蕉这天的批发价与零售价如表所示：
品名 橙子 香蕉
批发价（元千克）
零售价（元千克） 8 3
其中橙子的批发价比香蕉的批发价多3元．
（1）求、的值；
（2）当批发商当天卖完这批橙子和香蕉共能赚多少钱？
（3）如果当橙子和香蕉总数量卖出一半后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天赚180元，求打折后卖出橙子和香蕉各多少千克？
【详解】解：（1）由题意可得：，解得：；
（2）（元），
答：批发商当天卖完这批橙子和香蕉共能赚240元；
（3）（千克），
设打折后卖出橙子千克，则打折后卖出香蕉千克，
由题意可得：，
解得：，则，
答：打折后卖出橙子30千克，香蕉20千克．
22．（8分）我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断方程 “友好”方程（填“是”或“不是” ）；
（2）若关于，的二元一次方程是“友好”方程，求的值；
（3）若是关于，的“友好”方程组的解，求的值．
【详解】解：（1）中，，
方程是友好方程，
故本题答案为：是；
（2）关于，的二元一次方程是“友好”方程，
，解得：；
（3）方程组是“友好”方程组，
，，
，，
原方程组为，
是方程组的解，
，①②得：，
的值为3．
23．（9分）阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请求出矩阵对应的方程组的解；
（2）若矩阵所对应的方程组的解为，求的值．
【详解】解：（1）由题意可得：矩阵对应的方程组为，解得：，
矩阵对应的方程组的解为；
（2）由题意可得：矩阵对应的方程组为，
矩阵所对应的方程组的解为，
将代入得：，
①②③得：．
24．（9分）已知关于，的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的，得到的方程组的解为，乙由于看错了，得到方程组的解为．
（1）求，的值．
（2）若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
（3）在（2）的条件下，是否存在的值，使得关于的方程有无数个解？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【详解】解：（1）甲看错了方程组中的，得到的方程组的解为，
满足方程，即，解得：，
乙看错了，得到的方程组的解为，
满足方程，即，解得：；
（2）当，时，原方程为，解得：，
将代入方程组得：，解得：，
；
（3）存在，理由如下：
将代入方程得：，
整理得：，
关于的方程有无数个解，
，解得：．
25．（10分）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
（1）解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解；
（3）若关于，的方程组，则方程组的解为 ．
【详解】解：（1）两式相加得：，即，
将代入得：，
故原方程组的解为；
（2）设，，则原方程组可化为：，
由（1）可知：的解为，
，解得：；
（3）设，，则原方程组可化为：，解得：，
，解得：．
26．（10分）“重百”、“沃尔玛”两家超市出售同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元．
（1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解）
（2）为了迎接“端午节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由．
（3）在最省钱的超市用所省的钱（与不优惠时比较所省的钱），买2元一小包和5元一小包的茶叶（两种都买），有多少种购买方案？（直接写出答案）
【详解】解：（1）设一个保温壶售价为元，一个水杯售价为元，
由题意可得：，解得：，
答：一个保温壶售价为50元，一个水杯售价为10元；
（2）选择在“沃尔玛”超市购买更合算，理由如下：
在“重百”超市购买所需费用为：（元），
在“沃尔玛”超市购买所需费用为：（元），
，
选择在“沃尔玛”超市购买更合算；
（3）设买2元一小包的茶叶包，5元一小包的茶叶包，
由题意可得：，即，
整理得：，
，为正整数，
或或，
故有三种方案：
方案一：买2元一小包的茶叶15包，和5元一小包的茶叶2包，
方案二：买2元一小包的茶叶10包，和5元一小包的茶叶4包，
方案三：买2元一小包的茶叶5包，和5元一小包的茶叶6包．中小学教育资源及组卷应用平台
第10章 二元一次方程组 单元测试
（时间：120分钟，满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列属于二元一次方程的是
A． B． C． D．
2．下列方程组是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
3．若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于
A．3 B．6 C． D．
4．用代入消元法解方程组，代入消元，正确的是
A．由①得，代入②后得
B．由②得代入②得
C．由①得代入②得
D．由②得，代入①得
5．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是
A．要消去，可以将①② B．要消去，可以将①②
C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①②
6．若、满足，则有
A． B． C． D．
7．已知关于、的方程组与有相同的解，则和的值为
A． B． C． D．
8．已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是
A． B． C． D．
9．已知方程组的解是，则方程组的解是
A． B． C． D．
10．已知关于，的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值，，的值不可能互为相反数；
④，都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5元．某人买了个甲种面包和个乙种面包，共花了30元、请列出关于，的二元一次方程 ．
12．二元一次方程的正整数解是 ．
13．已知关于，的方程是二元一次方程，则 ．
14．已知，则的值等于 ．
15．若关于，的方程的解满足，则 ．
16．已知，，满足，则 ．
17．在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 ．
18．若实数，，满足，，则代数式的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
20．（6分）已知等式，且当时；，当时；当时；
（1）求、、的值；
（2）当时，的值又是多少？
21．（8分）一水果批发商用410元钱从水果批发市场批发了橙子70千克和香蕉30千克，橙子和香蕉这天的批发价与零售价如表所示：
品名 橙子 香蕉
批发价（元千克）
零售价（元千克） 8 3
其中橙子的批发价比香蕉的批发价多3元．
（1）求、的值；
（2）当批发商当天卖完这批橙子和香蕉共能赚多少钱？
（3）如果当橙子和香蕉总数量卖出一半后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天赚180元，求打折后卖出橙子和香蕉各多少千克？
22．（8分）我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断方程 “友好”方程（填“是”或“不是” ）；
（2）若关于，的二元一次方程是“友好”方程，求的值；
（3）若是关于，的“友好”方程组的解，求的值．
23．（9分）阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请求出矩阵对应的方程组的解；
（2）若矩阵所对应的方程组的解为，求的值．
24．（9分）已知关于，的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的，得到的方程组的解为，乙由于看错了，得到方程组的解为．
（1）求，的值．
（2）若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
（3）在（2）的条件下，是否存在的值，使得关于的方程有无数个解？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
25．（10分）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
（1）解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解；
（3）若关于，的方程组，则方程组的解为 ．
26．（10分）“重百”、“沃尔玛”两家超市出售同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元．
（1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解）
（2）为了迎接“端午节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由．
（3）在最省钱的超市用所省的钱（与不优惠时比较所省的钱），买2元一小包和5元一小包的茶叶（两种都买），有多少种购买方案？（直接写出答案）
