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沪科版2023-2024学年度第二学期八年级数学期末测试卷
（本卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟）
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义分别判断即可．
【解答】解：A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、是三次根式，故此选项不符合题意；
C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意；
D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的定义，概念：式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键．
2．在市中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的14名运动员的成绩如表所示：
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 1 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数，众数分别为（ ）
A．1.70，1.75 B．1.65，1.75 C．1.65，1.70 D．1.70，1.70
【分析】根据众数和中位数的定义直接解答即可．
【解答】解：将这14名运动员的成绩从小到大排列，则中位数是170；
∵175出现了4次，出现的次数最多，
∴这些运动员成绩的众数是175；
故选：A．
【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．
3．某大型超市一月份的营业额为1000万元，预计三月份的营业额比一月份的多440万元．设该超市营业额的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A．1000（1+x）2＝440
B．1000（1+x）2＝1000+440
C．440（1+x）2＝1000
D．1000（1+2x）＝1000+440
【分析】根据一月份的营业额为1000万元，三月份的营业额共（1000+440）万元，列出方程即可．
【解答】解：设该超市营业额的月平均增长率为x，
由题意，得：1000（1+x）2＝1000+440；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列出方程是关键．
4．如果关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1＝0的两个根x1、x2，且+＝2，则k的值是（ ）
A．k＝1 B．k＝﹣1 C．k＝0 D．k＝±1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1＝0的两个根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣＝2k，x1 x2＝＝1；
+＝（x1+x2）2﹣2x1 x2；
∴4k2﹣2＝2；
∴4k2＝4，
解得：k＝±1．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：，．
5．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，
作A关于EF的对称点A′，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B＝＝＝＝17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
6．如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8．设点P到AC的距离为x，到BD的距离为y，则x+y的值是（ ）
A． B． C． D．不确定
【分析】过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性质可证△PEA∽△CDA和△PFD∽△BAD，根据＝，和＝，两式相加得PE+PF＝，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．
【解答】解：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴△PEA∽△CDA，
∴＝，
∵AC＝BD＝＝10，
∴＝…①，
同理：△PFD∽△BAD，
∴＝，
∴＝…②，
∴①+②得：＝＝＝，
∴PE+PF＝，
即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质与相似三角形的综合运用．利用三角形的相似求线段长度是初中阶段重点知识，同学们应熟练地应用好这种方法．
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【解答】解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝，S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴×2＝AE，
∴AE＝，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
8．如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且AC＝8，BD＝6，依次取AB，BC，CD，AD的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．48
【分析】先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得MQ∥PN，MQ＝PN，再根据平行四边形的判定可得四边形MNPQ是平行四边形，然后根据平行线的性质可得MQ⊥MN，根据矩形的判定可得平行四边形MNPQ是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得．
【解答】解：∵点M，Q分别是AB，AD的中点，且BD＝6，
∴，
同理可得：，，
∴MQ∥PN，MQ＝PN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴MQ⊥AC，
又∵MN∥AC，
∴MQ⊥MN，
∴平行四边形MNPQ是矩形，
∴四边形MNPQ的面积是MQ MN＝3×4＝12，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
9．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的矩形ABCD内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形ABCD的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（ ）
A． B．5 C．9 D．10
【分析】设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a，b，然后根据长方形周长公式分别得到x+y＝，x+y﹣b+x+y﹣a＝18，由此即可得到答案．
【解答】解：设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a，b，
∵两个正方形的周长和为45，
∴4x+4y＝45，
∴，
∴AD＝x+y﹣a，AB＝x+y﹣b，
∵矩形ABCD的周长为36，
∴2AD+2AB＝36，
∴AD+AB＝18，
∴x+y﹣a+x+y﹣b＝18，
∴，
∴，
∴2（a+b）＝9，
∴阴影部分的周长＝2（a+b）＝9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形和长方形的性质，整式加减的应用，正确理解题意求出a+b＝是解题的关键．
10．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程无实数根，据此逐一判断即可．
【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0，
此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
②∵b+c＞0，b﹣c＜0，
∴c＞0，
∵a＜0，
∴﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0，
此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝4a，
∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
11．计算的结果是 6 ．
【分析】先算乘法，后算减法，即可解答．
【解答】解：
＝7﹣
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m取值范围是 m≥﹣12且m≠4 ．
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+2mx+m+3＝0有实数根，
∴，
解得m≥﹣12且m≠4．
故答案为：m≥﹣12且m≠4．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和根的关系是解答本题的关键．
13．如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B′处，CD与EB′交于点F，如果AB＝8cm，AD＝4cm，AE＝2cm，则EF的长为 ．
【分析】根据对折前后两图形全等可得∠CEF＝∠CEB，又AB∥CD，所以∠CEB＝∠ECD，因此∠CEF＝∠ECD，所以EF＝CF，过点E作EG⊥CD于G，则GF＝AB﹣AE﹣EF，然后根据勾股定理列式即可求解．
【解答】解：根据题意得：∠CEF＝∠CEB，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴∠CEB＝∠ECD，
∴∠CEF＝∠ECD，
∴EF＝CF，
过点E作EG⊥CD于G，
∵AB＝8cm，AD＝4cm，AE＝2cm，则AD＝EG＝4cm，AE＝DG＝2cm，
设EF＝CF＝x cm，则GF＝AB﹣AE﹣EF＝8﹣2﹣x＝（6﹣x）cm，
在Rt△EFG中，EF2＝GF2+EG2，
∴x2＝（6﹣x）2+42，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查折叠的性质和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AC＝4，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，则AD的长为 6 ，若P为直线AB上一动点，以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，则CQ的最小值为 3+3 ．
【分析】首先在△ACB中，由于AC＝4，∠CAB＝60°，∠CBA＝45°，所以可以解△CAB，即可以过C作CO⊥AB于O，利用三勾股定理，求出AB的长度，同理，在△DAB中，过D作DH⊥AB于H，可以求出DH的长度，连接DQ交PB于M，过Q作QG⊥AB于G，可以证明△QGM≌△DHM，所以QG＝DH＝2，由此得到Q在平行于AB的直线上运动，且距离AB两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当C，O，Q三点共线时，CQ长度最小．
【解答】解：如图1，过C作CO⊥AB于O，过D作DH⊥AB于H，
在Rt△ACO中，∠CAB＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴AO＝AC＝2，
∴CO＝＝2，
在Rt△BCO中，∠CBA＝45°，
∴BO＝CO＝2，
∴AB＝AO+BO＝2+2，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°，
在Rt△DHB中，∠CBA＝45°，
∴可设DH＝HB＝a，
∴AD＝2DH＝2a，
∴AH＝＝a，
∴AB＝AH+BH＝a+a．
∴a+a＝3+3，
∴a＝3，
∴DH＝3，AD＝6．
如图2，过Q作QG⊥AB于G，连接DQ交AB于M，
∵四边形DPQB为平行四边形，
∴DM＝QM，
在△QGM与△DHM中，
，
∴△QGM≌△DHM（AAS），
∴QG＝DH＝3，
故Q到直线AB的距离始终为3，
所以Q点在平行于AB的直线上运动，且两直线距离为3，
根据垂线段最短，
当C，O，Q三点在一条直线上时，此时CQ最小，如图3，
最小值为：CO+3＝3+3，
故答案为：6；3+3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，还考查了线段最小值问题，找到动点Q的运动轨迹，是解决本题的关键．
三．解答题（共9小题）
15．计算．
【分析】先化简二次根式，二次根式的除法运算，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂，再合并即可．
【解答】解：
＝
＝
＝6．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
16．解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝，
开方得x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
17．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+4＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m是符合条件的最大整数，求上述方程的实数根．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，根据有实数根可得Δ≥0，据此列式求解即可；
（2）根据m的取值范围可知m＝0，则该方程为﹣x2+4＝0，解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+4＝0有实数根，
∴m﹣1≠0，Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+4）＝﹣12m+16≥0，
解得：且m≠1；
（2）由（1）得且m≠1，
∵m是符合条件的最大整数，
∴m＝0，
∴该方程为﹣x2+4＝0，即x2＝4，
解得：x＝±2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解一元二次方程；掌握根的判别式的意义是关键．
18．如图所示，在 ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）由平行四边形的性质和中点的性质可得DE＝BF，即可得结论；
（2）由角平分线的性质和平行线的性质可证AB＝AE＝3，即可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E，点F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝2AE＝6，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（3+6）＝18．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
19．某中学为了提高学生对航天知识的认识，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下两幅不完请根据图中信息解答以下问题：
（1）本次调查随机抽取了 50 名参赛学生的成绩．在扇形统计图中F组所在扇形圆心角的度数是 28.8° ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校1200名学生中，知识竞赛成绩达到优秀（90≤x≤100）的学生有多少人？
【分析】（1）C组学生人数除以所占的比例求出调查人数，F组所占的比例乘以360度求出圆心角度数即可；
（2）求出D组人数，补全条形图即可；
（3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（名）；
；
故答案为：50，28.8°；
（2）D组人数为：50﹣2﹣6﹣10﹣16﹣4＝12，补全直方图如图：
（3）（人）；
∴知识竞赛成绩达到优秀（90≤x≤100）的学生有480人．
【点评】本题考查直方图和扇形图，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
20．某海鲜排档购进一批大龙虾和海胆，它们的进货单价之和是360元．大龙虾零售单价比进货单价多40元，海胆零售单价比进货单价的1.5倍少60元，按零售单价购买大龙虾2只和海胆4个，共需要1200元．
（1）求大龙虾和海胆的进货单价；
（2）该海鲜排档平均每天卖出大龙虾20只和海胆12个．经调查发现，大龙虾零售单价每降低1元，平均每天就可多售出大龙虾2只，海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降a（a＞0）元，海胆的零售单价和销量都不变，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元？
【分析】（1）设大龙虾进货单价为x元，海胆的进货单价为y元，由它们的进货单价之和是360元和按零售单价购买大龙虾2只和海胆4个，共需要1200元，列出方程组，即可求解；
（2）由海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元，列出方程可求解．
【解答】解：（1）设大龙虾进货单价为x元，海胆的进货单价为y元，依题意有：
，
解得：，
答：大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元；
（2）依题意有（20+2a）（40﹣a）+12×（1.5×160﹣60﹣160）＝1490，
解得a＝15．
故当a为15时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．
21．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22．所以5是“完美数”
（1）解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；
（2）解决问题：若x2﹣6x+4可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），求2mn的值；
（3）解决问题：已知S＝x2+4y2﹣2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出k的值，并说明理由．
【分析】（1）根据题意将29分成两个数的平方和即可得到答案；
（2）根据完全平方公式平方得到m，n的值即可得到答案；
（3）将含x和y的式子配方，根据完美数定义令余下部分为0即可得到答案．
【解答】解：（1）29＝25+4＝52+22，
∴29＝52+22；
（2）∵x2﹣6x+4
＝（x2﹣6x+9）﹣5
＝（x﹣3）2﹣5，
又∵x2﹣6x+4＝（x﹣m）2+n，
∴m＝3，n＝﹣5，
∴2mn＝2×3×（﹣5）＝﹣30；
（3）当k＝10时，S是完美数，
理由如下：S＝x2+4y2﹣2x﹣12y+k
＝x2﹣2x+4y2﹣12y+k
＝（x﹣1）2﹣1+（2y﹣3）2﹣9+k，
＝（x﹣1）2+（2y﹣3）2﹣10+k，
∵x，y是整数，
∴x﹣1，2y﹣3也是整数，
∵S是一个“完美数”，
∴﹣10+k＝0，
∴k＝10．
【点评】本题考查利用完全公式计算及新定义计算，解题的关键是读懂新运算及熟练应用（a±b）2＝a2±2ab+b2．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S．
（1）用含t的代数式表示CD＝ t cm ；CE＝ （8﹣2t）cm ；
（2）点D运动至何处时，？
（3）点D运动过程中，S△CDE的最大值是多少？
【分析】（1）根据点D和点E的运动路径和运动速度即可得到答案；
（2）求出S＝3cm2，由CD＝t，则BE＝2t，CE＝8﹣2t，AD＝6﹣t，可得即可求出t＝3s；
（3）根据直角三角形面积公式列出S△CDE关于t的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：（1）∵点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，
∴CD＝t cm，
∵BC＝8cm，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，
∴CE＝（8﹣2t）cm，
故答案为：t cm，（8﹣2t）cm；
（2）由题意可知，t的最大值为，即0≤t≤4，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴，
由题意可知，CD＝t，BE＝2t，CE＝8﹣2t，AD＝6﹣t，
∴，
解得：t＝3s，t＝7s（舍去），
∴当CD＝3cm时，．
（3）由题意可得，
，
∵0≤t≤4，
∴当t＝2时，S△CDE的最大值是4，
即点D运动过程中，S△CDE的最大值是4cm2．
【点评】本题考查动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，一元二次方程的实际应用等知识，数形结合是解题的关键．
23．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：△ADF≌△DCE；
（2）若△DEF的面积为，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．
【分析】（1）先证得∠AED＝∠AFB，很容易证明△ABF与△DAE全等，由此得出AF＝DE，又由互余可得出∠DAF＝∠CDE，进而可得结论；
（2）根据三角形的面积求得AE，再根据勾股定理求得DE，根据（1）中AF＝DE即刻得出结论；
（3）连接AM并延长交CD于点P，连接PF，可证明△DPM≌△EAM，所以PM＝AM，DP＝AE＝3或1，又MN是△APF的中位线，求出PF的长即可．
【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，∠B＝90°，
∴∠AED＝∠AFB，
在△ABF与△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE，
∵∠ADE+∠CDE＝∠ADE+∠DAG＝90°，
∴∠CDE＝∠DAF，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS）．
（2）解：∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF＝x，
∴BE＝CF＝4﹣x，
∴△DEF的面积＝S正方形﹣S△ADE﹣S△EBF﹣S△DCF
＝4×4﹣×4 x﹣（4﹣x） x﹣×4 （4﹣x）
＝8﹣2x+x2，
∴y＝x2﹣2x+8＝，
解得，x1＝3，x2＝1，
∴AE＝3或AE＝1，
∴AF＝DE＝5或．
（3）解：如图，连接AM并延长交CD于点P，连接PF，
∵点M是DE的中点，
∴DM＝ME，
∵AB∥CD，
∴∠PDM＝∠AEM，∠DPM＝∠EAM，
∴△DPM≌△EAM（AAS），
∴PM＝AM，DP＝AE＝3或1，
当AE＝3时，BF＝DP＝3，
∴CF＝CP＝1，
∴PF＝，
∴MN＝PF＝；
当AE＝1时，BF＝EP＝1，
∴CF＝CP＝3，
∴PF＝3，
∴MN＝PF＝；
综上，MN的长度为或．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系．中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版2023-2024学年度第二学期八年级数学期末测试卷
（本卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．在市中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的14名运动员的成绩如表所示：
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 1 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数，众数分别为（ ）
A．1.70，1.75 B．1.65，1.75 C．1.65，1.70 D．1.70，1.70
3．某大型超市一月份的营业额为1000万元，预计三月份的营业额比一月份的多440万元．设该超市营业额的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A．1000（1+x）2＝440
B．1000（1+x）2＝1000+440
C．440（1+x）2＝1000
D．1000（1+2x）＝1000+440
4．如果关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1＝0的两个根x1、x2，且+＝2，则k的值是（ ）
A．k＝1 B．k＝﹣1 C．k＝0 D．k＝±1
5．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
6．如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8．设点P到AC的距离为x，到BD的距离为y，则x+y的值是（ ）
A． B． C． D．不确定
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且AC＝8，BD＝6，依次取AB，BC，CD，AD的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．48
9．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的矩形ABCD内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形ABCD的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（ ）
A． B．5 C．9 D．10
10．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
11．计算的结果是 ．
12．关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m取值范围是 ．
13．如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B′处，CD与EB′交于点F，如果AB＝8cm，AD＝4cm，AE＝2cm，则EF的长为 ．
14．如图，在△ABC中，AC＝4，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，则AD的长为 ，若P为直线AB上一动点，以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，则CQ的最小值为 ．
解答题（共9小题。15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，共计90分）
15．计算．
16．解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
17．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+4＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m是符合条件的最大整数，求上述方程的实数根．
18．如图所示，在 ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．
19．某中学为了提高学生对航天知识的认识，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下两幅不完请根据图中信息解答以下问题：
（1）本次调查随机抽取了 名参赛学生的成绩．在扇形统计图中F组所在扇形圆心角的度数是 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校1200名学生中，知识竞赛成绩达到优秀（90≤x≤100）的学生有多少人？
20．某海鲜排档购进一批大龙虾和海胆，它们的进货单价之和是360元．大龙虾零售单价比进货单价多40元，海胆零售单价比进货单价的1.5倍少60元，按零售单价购买大龙虾2只和海胆4个，共需要1200元．
（1）求大龙虾和海胆的进货单价；
（2）该海鲜排档平均每天卖出大龙虾20只和海胆12个．经调查发现，大龙虾零售单价每降低1元，平均每天就可多售出大龙虾2只，海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降a（a＞0）元，海胆的零售单价和销量都不变，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元？
21．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22．所以5是“完美数”
（1）解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；
（2）解决问题：若x2﹣6x+4可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），求2mn的值；
（3）解决问题：已知S＝x2+4y2﹣2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出k的值，并说明理由．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S．
（1）用含t的代数式表示CD＝ ；CE＝ ；
（2）点D运动至何处时，？
（3）点D运动过程中，S△CDE的最大值是多少？
23．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：△ADF≌△DCE；
（2）若△DEF的面积为，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．
