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2023-2024学年下学期自命题数学（理科）参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分．满分60分．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D C B D C D B C B A B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13.4/11 14． 15． 16．16/3
17.解：（1）因为，所以，
所以.
因为，所以.
（2）因为，所以.
因为，所以，
则.
故的面积.
18．解析：（1）根据所给的数据，完成列联表如下：
是否使用扫地机器人 年龄 是 否
440 110
270 180
故而有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关．
（2）由条件可知：X的所有取值有0，1，2，3，，
，，
，，
分布列为
X 0 1 2 3
P
．
19．解析：（1）证明：设H为的中点，连接，，
，，
又，，，
又，平面，，
又，，四边形为矩形，
且．
设N为的中点，连接，，则，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面．
（2）由，得，，
如图建系，则，，，，
，，
设平面的法向量，
由得：
得一个法向量为，平面的一个法向量为，
，故二面角的余弦值为．
20．解析：（1），，
又，是首项为2，公比为2的等比数列．
，．
（2），且结合（1）得，
，
21．解析：（1）时，.，．
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．即的递增区间为，递减区间为．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号．
22．解析：（1）由，将两个方程左右两边平方后相加，
可得曲线C的直角坐标方程为．
由得直线l经过的定点P的坐标为．
（2）将，代入，得，
即，设其两根为，，
则，
得，即，得，经检验，
故直线l的普通方程为：．
即的递增区间为，递减区间为．23．解析：（1）因为的解集为，所以，得，
当时，，得，
当时，得，
综上解得，，，．
（2）由（1）得，，
，
又a，b，c均为正数，，
所以得，
所以，
当且时，即，取得最小值．(
考生号________
桌位号_________
年级_________
班级__________
姓名______________
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
) 2023-2024学年下学期高三自主命题试卷
高三数学（理）命题人/校对人：xxx
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一 选做题；本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
2．已知复数，为z的共轭复数，则在复平面表示的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.甲 乙相约从同一地点同时出发，同向围着一个周长是200米的圆形跑道跑步，甲每秒跑2.5米，乙每秒跑3.5米，则“甲 乙相遇”是“甲 乙都跑了400秒”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4．展开式中的第四项为（ ）
A． B． C．240 D．
5.已知向量，且，则（ ）
A.1 B.-1 C. D.0
6.设命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
7.设b,c表示两条直线,表示两个平面,则下列说法中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
8.已知角的终边过点,则( )
A. B. C. D.
9.已知抛物线的焦点为，则点到抛物线的准线的距离是（ ）
A. B. C.1 D.2
10.在正项等比数列中，，则数列的公比是（ ）
A.4 B.2 C.1 D.
11.已知是椭圆的左 右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.已知数列满足，且，则（ ）
A. B.-4 C. D.
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 从中任意选1个数字，从中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为__________.
14．设x，y满足约束条件，则的最小值为__________．
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则__________．
16.已知x,y大于0，x+2y=4,则x2+2y2的最小值为-------
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.（10分）
在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
18．（本小题满分12分）
随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间，，……统计）
（1）根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关？
是否使用扫地机器人 年龄 是 否
（2）若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在的人中随机抽取3人做深度采访，求这3人中年蛉在人数X的分布列与数学期望．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．（本小题满分12分）
已知四棱锥中，，，，，M为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
20.已知数列，若，且．
（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）当时，求的单调区间；
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（其中t为参数，），且直线l和曲线C交于M，N两点．
（1）求曲线C的普通方程及直线l经过的定点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，若，求直线l的普通方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知，若的解集为．
（1）求实数m，n的值；
（2）已知a，b，c均为正数，且满足，求的最小值．
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B
) (
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2023-2024
学
年高三理科数学
自命题答题卡
姓名
：
学校
：
班级
：
座号
：
注
意 事
项
准 考
证
号
1.
答题前请将姓名、班级、考场、座
号和准考证号填写清楚。
2.
客观题答题
,
必须使用
2B
铅笔填涂
,
修改时用橡皮擦干净。
3.
主观题必须使用黑色签字笔书
写。
4.
必须在题号对应的答题区域内作答
,
超出答题区域书写无效。
5.
保持答卷清洁完整。
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ID
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