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2023—2024学年下学期高三自主命题数学（文）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共60分)
1．(5分)已知集合,则 ( )
A. B.
C. D.
2．(5分)已知复数,则( )
A. B.2 C. D.5
3．(5分)已知向量,且,则( )
A. B. C. D.
4．(5分)已知数列为递减的等比数列,且,,则的公比为( )
A. B. C. D.
5．(5分)2020年电视剧《大秦赋》风靡大江南北,某记者调查了大量观看《大秦赋》的观众,发现爱看的人数与收入存在较好的线性相关关系,爱看人数为6,5,3,2(千万)的观众的收入分别在,,, (万元)之间,现用这四个区间的中间值x代表收入,根据数据求得爱看人数y关于收入x的线性回归方程为,则b的值为( )
A.-1.2 B.-1.3 C.-1.4 D.-1.5
6．(5分)已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
7．(5分)已知,则( )
A.2 B. C.-2 D.
8．(5分)，是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，，则
9．(5分)已知数列为等差数列,,,则( )
A.16 B.19 C.25 D.29
10．(5分)已知抛物线的焦点为F，点M在C上.若M到直线的距离为5，则( )
A.7 B.6 C.5 D.4
11．(5分)已知函数,,,则( )
A. B. C. D.
12．(5分)在三棱锥中,底面是边长为2的正三角形,若AD为三棱锥的外接球直径,且AC与BD所成角的余弦值为,则该外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题(共20分)
13．(5分)一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是__________.
14．(5分)若,则______.
15．(5分)已知正方形ABCD的四个顶点均在椭圆上,E的两个焦点分别是AB,CD的中点,则E的离心率是__________.
16．(5分)函数在上单调递增,则实数a的取值范围是__________.
三、解答题(共70分)
17．(12分)某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄分为“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，，，，，分别加以统计，得到如下频率直方图.
（1）从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到1名25周岁以下组的工人的概率；
（2）规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件列出列联表，并判断是否有的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关.
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．(12分)已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,,求的面积.
19．(12分)如图，在三棱柱中，平面，，，M为线段上一点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
20．(12分)已知,为椭圆的左 右焦点,P为椭圆E上任意一点,,的最大值为6.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点的直线l交椭圆于A,B两点,若,求直线l的方程.
21．(12分)已知函数.
(1)若函数存在单调递减区间,求实数a的取值范围;
(2)设,是函数的两个极值点,证明：.
22．(10分)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1).求曲线的直角坐标方程；
(2).设点，曲线与直线交于两点，求的最大值.姓名： 班级： 座号： 考号： 考场：
注 意 事 项 准 考 证 号
1. 答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。
2. 客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,修改时用橡皮擦干净。 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
3. 主观题必须使用黑色签字笔书写。 2 2 2 2 2 2 2 2
4. 必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效。 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4
5. 保持答卷清洁完整。 5 5 5 5 5 5 5 5 18（12分）
6 6 6 6 6 6 6 6
7 7 7 7 7 7 7 7
正确填涂 缺考标记 8 8 8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9 9 9
一 .选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1 A B C D 4 A B C D 7 A B C D 10 A B C D
2 A B C D 5 A B C D 8 A B C D 11 A B C D
3 A B C D 6 A B C D 9 A B C D 12 A B C D
二 .填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13 14 15 16
三.解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答。
17（12分）
第 1 页 共 2 页
请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号
21（12分）
19（12分）
22（12分）
20（12分）
第 2 页 共 2 页中小学教育资源及组卷应用平台
2023—2024学年下学期高三自主命题数学（文）试卷
答案
一、选择题
1．已知集合,则 ( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解不等式,得,则,
由,得,
所以.
故选：D.
2．已知复数,则( )
A. B.2 C. D.5
答案：A
解析：,,故选A.
另解：.
3．已知向量,且,则( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为,且,
所以,所以.
故选:C.
4．已知数列为递减的等比数列,且,,则的公比为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：为递减的等比数列,,解得:(舍)或,的公比.故选:C.
5．2020年电视剧《大秦赋》风靡大江南北,某记者调查了大量观看《大秦赋》的观众,发现爱看的人数与收入存在较好的线性相关关系,爱看人数为6,5,3,2(千万)的观众的收入分别在,,, (万元)之间,现用这四个区间的中间值x代表收入,根据数据求得爱看人数y关于收入x的线性回归方程为,则b的值为( )
A.-1.2 B.-1.3 C.-1.4 D.-1.5
答案：C
解析：由题意可知x的值依次为3,5,7,9,
则,,
故回归直线方程经过,可得,
故选：C.
6．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
答案：C
解析：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，
所以联立方程，解得：，
所以的最大值为：，即：z有最大值1.
故选：C.
7．已知,则( )
A.2 B. C.-2 D.
答案：D
解析：由题意得,
．
故选：D．
8．，是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，，则
答案：C
解析：A项：若，，则或，故选项A不正确；
B项：若，，则或m与n异面，故选项B不正确；
C项：若，则与没有公共点，又因为，所以m与没有公共点，所以，故选项C正确；
D项：若，，，则或与相交，故选项D不正确.
故选：C.
9．已知数列为等差数列,,,则( )
A.16 B.19 C.25 D.29
答案：A
解析：
10．已知抛物线的焦点为F，点M在C上.若M到直线的距离为5，则( )
A.7 B.6 C.5 D.4
答案：D
解析：因为抛物线的焦点，准线方程为，点M在C上，
所以M到准线的距离为，
又M到直线的距离为5，
所以，故.
故选：D.
11．已知函数,,,则( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：
12．在三棱锥中,底面是边长为2的正三角形,若AD为三棱锥的外接球直径,且AC与BD所成角的余弦值为,则该外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：如图所示:记球心为O,取AB中点为E,BC中点为F,连接OE,OF,EF,
记外接球半径为r,
在中,,,,
在中,,,
在中,,
所以AC与BD所成角为,即,
在中,,,
所以,
解得:,
所以该外接球的表面积为:
故选:A
二、填空题
13．一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是__________.
答案：
解析：从中随机抽取2个球，所有的抽法共有6种，事件“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件为“所抽取的球中没有红球”，而事件“所抽取的球中没有红球”的概率为，故事件“所抽取的球中至少有一个红球”的概率等于，故答案为.
14．若,则______.
答案：
解析：因为,
所以
.
故答案为:
15．已知正方形ABCD的四个顶点均在椭圆上,E的两个焦点分别是AB,CD的中点,则E的离心率是__________.
答案：
解析：不妨设,为椭圆的左,右焦点,由题意知轴,轴,
且AB,CD经过椭圆焦点,,,
则,将代入椭圆方程,得,
故,由,得,
结合,得,即,
解得(负值舍),
故E的离心率是,
故答案为:
16．函数在上单调递增,则实数a的取值范围是__________.
答案：
解析：令,而为减函数,
所以在上单调递增等价于在上单调递减且恒成立,
即,解得.
故答案为：.
三、解答题
17．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄分为“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，，，，，分别加以统计，得到如下频率直方图.
（1）从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到1名25周岁以下组的工人的概率；
（2）规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件列出列联表，并判断是否有的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关.
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
答案：（1）
（2）没有的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关
解析：（1）由已知得，样本中25周岁以上（含25周岁）组的工人有60名，25周岁以下组的工人有40名，
所以样本中日平均生产件数不足60的工人中，25周岁以上（含25周岁）组的工人有（人），分别记为，，；25周岁以下组的工人有（人），分别记为，.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，分别是，，，，，，，，，.
其中，至少有1名25周岁以下组的工人的可能结果共有7种，分别是，，，，，，，
故所求概率.
（2）由题中频率直方图可知，在抽取的100名工人中，25周岁以上（含25周岁）组中的生产能手有（人），25周岁以下组中的生产能手有（人），
据此可得列联表如下：
生产能手 非生产能手 合计
25周岁以上（含25周岁）组 15 45 60
25周岁以下组 15 25 40
合计 30 70 100
故.
因为，
所以没有的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关.
18．已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,,求的面积.
答案：（1）
（2）
解析：（1）,
所以.
（2）因为,
因为,所以.
因为,①
又,,所以②,联立方程①②得：,.
所以的面积为.
19．如图，在三棱柱中，平面，，，M为线段上一点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为平面，，平面，
所以，，而，
因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，，，
，，
因为，
所以，即.
（2）设平面的法向量为，
，，
所以有，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，
即，因为，
所以点到平面的距离为.
20．已知,为椭圆的左 右焦点,P为椭圆E上任意一点,,的最大值为6.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点的直线l交椭圆于A,B两点,若,求直线l的方程.
答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,,
解得,,
所以椭圆E的标准方程是.
（2）由（1）可知,
当直线的方程为时,,,
则,不符合题意.
不妨设直线的方程为,,
由,得.
则有,,恒成立.
由,得.
又,
可得：
即,解得.
所以或.
故直线l的方程为.
21．已知函数.
(1)若函数存在单调递减区间,求实数a的取值范围;
(2)设,是函数的两个极值点,证明：.
答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题.
函数存在单调递减区间, 在定义域上有解.
∵,设,则,
当时,显然在上有解;
当时,,
由韦达定理知,,
所以必有一个正根,满足条件.
当时,有,解得,
综上：
故实数a的取值范围为.
（2）证明：由（1）可知,,
有两个极值点,, ,是的两个根,
则,
,要证,
即证,即证,即证,
即证,令,则证明,
令,则,在上单调递增,则,
即,
所以原不等式成立.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1).求曲线的直角坐标方程；
(2).设点，曲线与直线交于两点，求的最大值.
答案：(1). (2)
解析：(1).即
故曲线C的直角坐标系方程为
(2).联立直线l与曲线C的方程得:
即
设点对应的参数分别为
则
在圆C的内部,故为直线l上位于之间的一个定点
(当且仅当时取等号)
的最大值为
