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参考答案：
1．D
【分析】根据绝对值不等式化简集合，即可根据集合的交并补运算求解.
【详解】由，得，所以，
因为或，所以，
所以，
故选：D．
2．A
【分析】由复数的四则运算化简复数，可得，，求出即可得出答案.
【详解】，
故，，得，，
所以．
故选：A.
3．A
【分析】由所有项的二项式系数之和求出的值，然后借助于二项式展开式的通项求出含的项，确定的值，求出系数.
【详解】因为展开式中所有项的二项式系数之和为32，即，所以.
又的展开式的通项，
令，则的展开式中的系数为.
故选：A．
4．B
【分析】由列方程求得的值，结合必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】由题意，则，而或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．A
【分析】判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.
【详解】，定义域为，又，故为偶函数；
又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数；
又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数；
，即，则，即，，
也即，解得.
故选：A.
6．B
【分析】由题意，结合图形和诱导公式求得，利用三角函数图象的平移变换即可求解.
【详解】由图象知，，则，又，所以，
当时，，解得，
由，得，
所以.
要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可.
故选：B
7．A
【分析】根据已知化简可推得，两边平方整理得出，求解得出，进而根据二倍角的余弦公式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，显然，
两边同时乘以可得，，
整理可得，
所以，，
两边同时平方可得，
即，解得或.
当时，，此时，不满足题意，舍去.
所以，.
故选：A.
8．D
【分析】对的情况进行分类讨论，借助于导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.
【详解】由题意知，定义域为，
当时，，由指数函数的单调性可知函数单调递增，可对应①；
当时，，令可得：，所以当时，，当时，，所以，函数先减后增，且当时，，此时可对应②；
当时，，当时，当时，，当时，，所以，函数先增后减，
当时，，且此时，所以可对应③，
当时，，此时，所以可对应④.
故选：D.
9．A
【分析】由三视图可知，该几何体为上、下底面的直径分别为2，6的圆台，由圆台的体积公式和侧面积公式求解即可.
【详解】由三视图可知，该几何体为上、下底面的直径分别为2，6的圆台，
设圆台的高为，母线长为，
则圆台的体积为，
得，则．
故圆台的侧面积为，
故选：A．
10．B
【分析】画出可行域，根据直线截距的几何意义即可得解.
【详解】作出可行域如图阴影部分所示，
联立，解得，即，
令，由图可知当直线经过点A时，
则.
故选：B.
11．D
【分析】
利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.
【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、，
甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得，
乙组数据的平均数为，可得，方差为，可得，
混合后，新数据的平均数为，
方差为
.
故选：D.
12．B
【分析】根据题意，先将图形补全为一个正方体，然后以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法算出直线与平面的所成角的正弦值，根据线面夹角定义确定夹角最大值，即可得结论．
【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，
以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则,0,，,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，，
设,,，其中、满足，，，
,0,，,,，,,，
设,,为平面的一个法向量，则
即，取，则，，,,，
设直线与平面的所成角为，则
．
由，，，设，，为锐角，
则，
令，，所以，
则当时有，，所以，，函数单调递减，，，函数单调递增，
又，所以，即的最大值为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
13．5
【分析】根据点P在抛物线上求出a，再根据抛物线的性质求出其准线方程，从而可求P到准线的距离．
【详解】∵在上，
∴，即，
∴抛物线为，其准线为，
则到准线的距离为．
故答案为：5．
14．/
【分析】根据题意，求导可得，再由条件可得，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，
且曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即，解得.
故答案为：
15．/
【分析】根据题意，由双曲线的定义以及对称性代入计算，即可得到，再由双曲线离心率的公式，即可得到结果.
【详解】不妨设，则，，解得，
所以，又的周长为，所以，
根据对称性，，所以，
根据双曲线定义，，解得，
根据勾股定理，，即，
所以，即．
故答案为：
16．
【分析】根据给定等式，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式计算即得.
【详解】在中，由及正弦定理得：，
而，
则，
整理得，即，
又，因此，而，所以.
故答案为：
17．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由已知，求出，再求出和，再由点斜式写出方程；
（2）对求导，得到导函数等于0时的两根，然后对函数的极值分类讨论，然后讨论在上的最值情况；
（3）通过对函数适当放缩，讨论两个函数的大小关系，再通过函数的单调性得出，从而得到的参数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
则，，
又当时，所以在处的切线方程为：.
（2）由得
①当，即时，在上单调递增，函数无最值；
②当，即时，由，
解得，
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由得，
③当，即时，
，且时，时，，此时无最值；
④当，即时，
，且时，时，，所以有最小值，无最大值.
综上可知，当时，有最小值，无最大值；当时，无最值.
（3）由，，，
所以是在处的切线，
若，则当，且时
所以此时，所以存在x使得，不符合条件；
当时，
设
现证明，
得，故在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，，
当或时，，所以成立.
综上，实数的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合与之间的关系可得，利用等差中项可得数列为等差数列，进而求；
（2）由（1）可得，利用错位相减法运算求解.
【详解】（1）因为，即，则，
两式相减并整理得，则，
两式相减整理得，
所以数列为等差数列．
当时，，所以．
设等差数列的公差为，
因为，解得，
所以．
（2）由（1）可得，则，
则，
可得，
所以．
19．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）连接AC交BD于，连接MN，通过可证明；
（2）建立空间直角坐标系，，利用坐标运算通过求出，再利用向量法求线面角.
【详解】（1）连接AC交BD于，连接MN，
因为四边形ABCD是正方形，故为AC中点，是AE的中点，
所以在中，有，
又平面平面，
所以平面；
（2）如图，建立空间直角坐标系，设，
则，
又是AE的中点，故，
，因为，
所以，解得，
设，即，
可得，则，
又，设平面AEF的一个法向量为，
则，令，则，即，
设直线PM与平面AEF所成角为，
则
所以直线PM与平面AEF所成角的正弦值为.
20．(1)
(2)分布列见解析，2
【分析】（1）令，将指数型回归方程转化为线性回归方程，利用最小二乘法的估计系数公式，即可求得答案；
（2）确定真菌与细菌的数值之比位于区间内的组数，即可确定X的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，即可求得数学期望.
【详解】（1）由于，故，
令，则，
，
则，，
故，则关于的经验回归方程为；
（2）由已知图表可知从第1组到第8组的真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比依次为：
，，
故样本中比值位于内的组数有4组，则X的可能取值为：，
则,，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
则.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）由题意可得、，结合计算即可得；
（2）由题意设直线方程为，，联立椭圆方程，用韦达定理、直线交点坐标以及中点坐标表示出中点的坐标，证明为定值即可.
【详解】（1）由题意可得、、，则，
又，，故，即，
故有，即，则，，
即的方程；
（2）由，故直线斜率存在，设为，
设，联立，
得，
，
即，，，
直线和联立，
得，设其中点为，则，
则有，
即
，
即有，即，
故线段的中点在定直线上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用消参法即可求出直线的普通方程，利用二倍角公式，化简曲线的极坐标方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；
（2）解法一，根据椭圆的方程设，利用点到直线的距离公式求出到直线距离的表达式，结合三角函数性质，即可求得答案；
解法二，设与直线平行的直线与曲线相切，与联立，利用判别式求出t的值，利用平行线间的距离公式即可求得答案.
【详解】（1）将（为参数）中的参数消去，得直线的普通方程为；
由，得，即，
将代入上式，得，
曲线的直角坐标方程为；
（2）解法一，设，
到的距离（其中），
当时，，
即到直线的距离的最大值为.
解法二 ，设与直线平行的直线与曲线相切，
将与联立并整理，得，
，
，
切线方程为，
到直线的距离的最大值等于直线与直线之间的距离，
即为．
23．(1)；
(2).
【分析】（1）结合对数函数单调性，利用公式法解含绝对值符号的不等式即得.
（2）由绝对值的三角不等式求出，再利用柯西不等式求出最小值即可.
【详解】（1）依题意，，解得，
所以不等式的解集为.
（2）依题意，函数，而，当且仅当时取等号，
因此当时，函数取得最小值，即，
所以
，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答题卡
姓名
学校：
班级：
贴条形码区
座号：
18
一.选择题(60分)
1 EA][B][c][D]
5 [AT [B][cT ED]9 [A][8T [c]ED]
2 [A][8][c][D]
6 EA][8][c]ED]10 [A][B][c]ED]
■
3[A][B][C][D]
7 [A][B][cl [D]11 [A][B][cl [D]
4[A][B][C][D]
8[A][BJ[C][D]12[A][B][C][D]
■■■■■■■■■■■■■■■■■
二填空题(20分)
13
14
16
三解答题
17
■
口口■
第1页共2页
请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号
四选做题(10分)请考生用2B铅笔将所选题目对应题号涂黑，答题区域只允
20
21
许选择一题，如果多做，则按所选做的前一题计分。
我选的题号1(10分)
■223
■
口■口
第2页共2页普通高等学校招生全国统一考试全国卷
数学（理科）试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合，或，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知a，，，则（ ）
A．6 B．2 C．4 D．8
3．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．10 D．80
4．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
6．函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，则只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数的大致图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图是一个空间几何体的三视图，若该空间几何体的体积为，则该几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知满足不等式，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．15
11．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转90°得到的．设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则直线与平面所成角的正弦值最大为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题
13．抛物线上的一点到其准线的距离为 ．
14．已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则 .
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，A，B为上的两点，，四边形的面积为，若的周长为，则的离心率为 ．
16．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ．
四、解答题
17．已知函数.
(1)求时，在处的切线方程；
(2)讨论在上的最值情况；
(3)恒成立，求实数的取值范围.
18．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和．
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点.
(1)求证：平面BDM；
(2)若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值.
20．土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存财和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
细菌百万个 70 80 90 100 110 120 130 140
真菌百万个 8.0 10.0 12.5 15.0 17.5 21.0 27.0 39.0
其散点图如下，散点大致分布在指数型函数的图象附近．
(1)求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
(2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望.
附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
21．已知椭圆的离心率为，为上顶点，为左顶点，为上焦点，且.
(1)求的方程；
(2)设过点的直线交于，两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)已知是曲线上一点，求到直线距离的最大值．
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最小值为m，且正数a，b，c满足，求的最小值．
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