【冲刺高考】2024届高三理科数学模拟试卷（含答案）

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2024年高三年级质量考试理科数学
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.设有下面四个命题：
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，满足，则；
：若复数，则．
其中的真命题为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是( )
A. 越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B. 越小，该物理量在一次测量中大于的概率为
C. 越小，该物理量在一次测量中小于与大于的概率相等
D. 越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
6.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知直线：和直线：，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是
A. B. C. D.
8.函数的图象大致为
A. B.
C. D.
9.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.在数列中，，则( )
A. B. C. D.
11.已知 ，若函数，且，，成等比数列，则平面上点的轨迹是
A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线
12.已知正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知在中，，，，，则的值为 ．
14.设，，则函数是增函数的概率为 ．
15.已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则 ．
16.已知，函数若关于的方程恰有个互异的实数解，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分设数列满足，．
计算，，猜想的通项公式并加以证明
求数列的前项和．
18.本小题分如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
证明：，且平面平面；
设为的中心．若，平面，且，求四棱锥的体积．
19.本小题分某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润单位：元关于当天需求量单位：枝，的函数解析式
花店记录了天玫瑰花的日需求量单位：枝，整理得下表：
日需求量
频数
以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润单位：元，求的分布列、数学期望及方差
若花店计划一天购进枝或枝玫瑰花，你认为应购进枝还是枝请说明理由．
20.本小题分已知函数
设是的极值点，求，并讨论的单调性；
当时，求证：．
21.本小题分已知点，，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线；
过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点证明：是直角三角形求面积的最大值．
选做题
22.本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
写出的直角坐标方程；
若与有公共点，求的取值范围．
23.本小题分
设函数，其中
当时，求不等式的解集；
若不等式的解集为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了交集，并集的混合运算，属于基础题．
先求出集合与集合的交集，再与集合取并集，也可以利用排除法进行选择．
【解答】
解：方法一：因为，，
所以．
故选D．
方法二：因为，
所以中一定含有，，三个元素，排除，，，
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查命题的真假判断，考查了复数的运算，复数的概念，共轭复数，属于基础题．
根据复数的概念和复数的运算，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
【解答】
解：设，则，
若复数满足，则，则，
故命题为真命题；
：复数满足，但，
故命题为假命题；
：复数，满足，但，
故命题为假命题；
：若复数，则，
故命题为真命题．
故选B．
3.【答案】
【解析】【详解】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数．
详解：由三视图可得四棱锥 ，在四棱锥 中，，，，，
由勾股定理可知：，，， ，则在四棱锥中，直角三角形有： ，，共三个，故选 C．
点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题．
把等式左边化切为弦，再展开二倍角公式，化简求解，进一步求得，再由商的关系可得的值．
【解答】
解：由，得，
即，
，，
则，解得，
则，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正态分布的相关知识，属于中档题．
由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解．
【解答】
解：对于，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于的概率为，故B正确；
对于，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：的展开式的通项为．
取，得，取，得．
的展开式中的系数为．
故选：．
写出二项式的通项，分别求出含的项与含的项，再由多项式乘多项式求解．
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了与抛物线定义有关的最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离互相转化，进而可得结论．
【解答】
解：抛物线的焦点坐标为，准线方程是，
根据抛物线定义，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和可以看成抛物线上一动点到焦点和直线的距离之和，
其最小值为焦点到直线的距离，．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的应用，以及函数的奇偶性，属于基础题．
根据函数的奇偶性和时函数值的正负即可判断．
【解答】
解：函数，定义域为，
则，
则函数为奇函数，故排除，；
当时，，故排除．
故答案选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的单调性的应用，属于基础题．
由得，得到，从而求得的范围．
【解答】
解：由得，由题意知，
故选A．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求数列的通项公式，属于基础题．
由题意可得可得，再利用“累加求和”方法与对数的运算性质即可得出．
【解答】
解：，
，
，
则，
，
．
当时，也满足上式，
所以，
故选B．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列、函数值、双曲线的概念，综合性较强，属于拔高题．
由，根据，，化简整理可知 ，分或 分析点的轨迹．( )
【解答】
解：，，成等比数列，( )
( )
，
，
，
，
当时，点的轨迹是直线，
当 时，，
即 ，此时点的轨迹是双曲线．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正方体的结构特征，直线与平面所成角，属于拔高题．
因为正方体的条棱可分为组，每组中的条棱所在直线互相平行，所以要让每条棱所在的直线与平面所成的角都相等，只需找一个具有公共点的三条棱，使其所在的直线与平面所成的角都相等即可，画出截面，计算面积即可．
【解答】
解：因为正方体的条棱可分为组，每组中的条棱所在直线互相平行，
所以要让每条棱所在的直线与平面所成的角都相等，
只需找一个具有公共点的三条棱，使其所在的直线与平面所成的角都相等即可．
不妨找以为公共点的三条棱，，，如图，
在三棱锥中，底面为等边三角形，且，
所以三棱锥为正三棱锥，
故三条棱，与所在的直线与平面所成的角都相等．
当平面沿对角线平行移动时，只有当平面移动到平面分别为所在棱的中点时，面积最大，如图所示．
又由题易知，六边形为正六边形，可求得，
则截此正方体所得截面面积的最大值为．
故选A．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用平面向量坐标运算求数量积，属于中档题．
建立合适的直角坐标系，借助坐标进行运算．
【解答】
解：在中，，，，，
以为原点，，所在的直线为，轴建立直角坐标系，根据题意得到：
则：．
所以：，
所以：，
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了古典概型，属于中档题．
列出所有的结果，选出的所有的结果，即可得解．
【解答】
解：的所有取值有：，共个，
当时，为增函数，
有，共有个，
函数是增函数的概率为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，，若对于一切，中的第项恒等于中的第项，可得于是，，，即可得出．
【解答】
解：，，若对于一切，
中的第项恒等于中的第项，
，
，，，
，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数零点与方程根的关系，属于拔高题．
利用函数零点与方程根的关系，结合方程根的判别式分情况讨论，可得的取值范围．
【解答】
解：当时，等价于，
令，由得或，
因为，所以对称轴，，
当时，有个零点，
当时，无零点，
当时，有两个零点；
当时，等价于，
令，由得或，
因为，所以对称轴，，
当时，有个零点，
当时，无零点，
当时，有两个零点；
已知关于的方程恰有个互异的实数解，综合以上结论可知仅当有两个零点，无零点时满足要求，故．
故答案为．
17.【答案】解：由，．
则 ，，
猜想．
方法一：证明：，
，
，
又因为，
，
则数列为每项都是的常数列，
所以 ；
方法二：
证明：当时，成立；
当时，假设时成立，即 ，
，
故假设成立，
综合可知猜想成立，即；
，
，
两边同乘可得：，
得：，
所以．

【解析】本题考查数列的递推公式、通项公式与错位相减法求和，属于中档题．
先由递推公式求出，猜想，
方法一：利用待定系数法可得到数列为每项都是的常数列，即可求出数列的通项公式，
方法二：利用数学归纳法即可证明；
由可得，利用错位相减法即可求出．
18.【答案】解：由题意知，
又侧面是矩形且，分别为，的中点，
，，
，，
又底面是正三角形，
，，
又，
平面，
平面，
平面平面；
平面，平面，
平面平面，
，
，
，，
过作，垂足为，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
，
，
，
．
【解析】本题考查了空间位置关系，线面平行，线面垂直，面面垂直，体积公式，考查了运算能力和空间想象能力，属于中档题．
先证出线线平行，可得线线垂直，即可求线面垂直，最后可得面面垂直；
分别求，利用体积转化法，可得，即可求结论．
19.【答案】解：Ⅰ当时，，
当时，，
得：；
Ⅱ可能的取值为，，，
并且，，．
的分布列为：
的数学期望．
的方差；
答案一：花店一天应购进枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润单位：元，那么的分布列为：
的数学期望，
的方差为，
由以上的计算结果可以看出，，即购进枝玫瑰花时利润波动相对较小，
另外，虽然，但两者相差不大，故花店一天应购进枝玫瑰花，
答案二：花店一天应购进枝玫瑰花，理由如下：
若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润单位：元，
那么的分布列为：
的数学期望，
由以上的计算结果可以看出，，
即购进枝玫瑰花时的平均利润大于购进枝时的平均利润，
故花店一天应购进枝玫瑰花．

【解析】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．
Ⅰ根据卖出一枝可得利润元，卖不出一枝可得赔本元，即可建立分段函数；
Ⅱ可取，，，计算相应的概率，即可得到的分布列，数学期望及方差；
求出进枝时当天的利润，与购进枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．
20.【答案】Ⅰ解：，是的极值点，
，解得，经检验，满足题意，
所以函数，其定义域为，
，
设，，
则，所以在上为增函数，
又，所以当时，，即；当时，，．
所以在上为减函数，在上为增函数；
Ⅱ证明：当，时，，
故要证当时，，只需证明当时．
当时，函数在上为增函数，且，．
故在上有唯一实数根，且．
当时，，当时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，．
故．
综上，当时，．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数根据极值或极值点求参，利用导数证明不等式，考查了利用导数证明不等式，是较难题．
Ⅰ求出原函数的导函数，因为是函数的极值点，由极值点处的导数等于求出的值，注意检验；代入函数解析式后再由导函数大于和小于求出原函数的单调性；
Ⅱ要证当时，，只需证明当时，利用导数，即可得证．
21.【答案】解：由题意得，
整理得曲线的方程：，
曲线是焦点在轴上不含长轴端点的椭圆；
如图，
设，则，，，
直线的方程为：，
将直线的方程与联立消去，
得，
，，
，
，
把代入上式，
得，
，
，故为直角三角形；
，
令，则，，
因为“对勾”函数在上单调递增，
所以时取等号，
此时，
故面积的最大值为．
【解析】本题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤为突出，难度大．
利用直接法不难得到方程；
设，则，，利用直线的方程与椭圆方程联立求得点坐标，去证，斜率之积为；
利用，代入已得数据，并对换元，利用“对勾”函数可得最值．
22.【答案】解：由，得，
，
又，，，
即的直角坐标方程为；
由曲线的参数方程为为参数．
消去参数，可得，
联立，得．
，即，，
的取值范围是
【解析】由，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得的直角坐标方程；
化曲线的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线的方程，化为关于的一元二次方程，再求解的取值范围．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
23.【答案】解：当时，可化为，
由此可得或，
故不等式的解集为或；
由得，
此不等式化为不等式组或，
即或，
因为，
所以不等式组的解集为，
由题设可得，
解得．

【解析】本题考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．当时，可化为直接求出不等式的解集即可；
由得分和推出等价不等式组，分别求解，然后求出的值．
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