【冲刺高考】2024届高三文科数学模拟试卷（含答案）

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2024届高三文科数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，且，，，则
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点的坐标是
( )
A. B. C. D.
3.设向量，不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值是
( )
A. B. C. D.
4.已知各项均为正数的等比数列的前项为和为，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式可能为( )
A. B. C. D.
6.已知与之间的线性回归方程为，其样本点的中心为，样本数据中的取值依次为，，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则
( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，，分别为，的中点，则( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
9.已知，则( )
A. B. C. D.
10.已知实数，，任取一点，则该点满足的概率是
A. B. C. D.
11.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
12.双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，满足约束条件，若的最大值为，则__________．
14.函数的图象在点处的切线方程是______．
15.已知是定义在上的偶函数，且若当时，，则______．
16.数列满足 ，则数列的前项和为
三、解答题：本题共7小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某市教体局为了解届高三毕业生学生情况，利用分层抽样抽取位学生数学学业水平测试成绩作调查，制作了成绩频率分布直方图，如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，．
求图中的值；
根据直方图估计宿州市届高三毕业生数学学业水平测试成绩的平均分；
在抽取的人中，从成绩在和的学生中随机选取人，求这人成绩差别不超过分的概率．
18.本小题分
中，．
求；
若，求周长的最大值．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
证明：平面；
若点在棱上，且，求点到平面的距离．
20.本小题分
设函数
若是的极值点，求的单调区间；
若，求的取值范围．
21.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点
求椭圆的方程；
动直线交椭圆于不同的两点，，且为坐标原点讨论是否为定
值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由．
22.23两题中任选一题作答，如果多种。则按所做第一题记分
22.本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为为参数．
求曲线的普通方程；
求曲线上一点到曲线距离的取值范围．
23.本小题分
已知函数．
求不等式的解集
若的最小值为，且实数，满足，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合交、并、补的混合运算．
先将全集用列举法表示出来，再求并集和补集．
【解答】
解：全集，，，，，，，，，
，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算，考查复数的几何意义，属于基础题．
依题意，，从而求得结果．
【解答】
解：因为，
所以，
所以点的坐标为，
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量共线定理，由，，三点共线，则存在实数使，求解即可．
【解答】
解：，
，
又，，三点共线，，共线．
，即．
，，
，，
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式及前项和公式，属于基础题．
由等比数列的通项公式及，得出，方法一：利用等比数列求和公式，，；方法二：由，则，即，．
【解答】
解：设为等比数列的前项和，且公比为．
又，，，
解得，．
方法一：，，．
方法二：，，
，即，．
故选C．
5.【答案】
【解析】由奇偶性排除选项，由函数在上有零点，排除，选项，为最恰
当选项．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查回归直线方程，属于基础题．
利用回归直线过样本中心点即可求解．
【解答】
解：由题意，得，
解得．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
结合指数函数与对数函数的图像及性质，判断的范围，确定大小．
【解答】
解：由于指数函数在上为增函数，则
而对数函数为上的增函数，则
对数函数为上的减函数，则．
综上可知，
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，利用空间向量判定面面的垂直、平行关系，属于中档题．
利用线面垂直的判定得平面，再利用面面垂直的判定判断；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量判定面面的垂直、平行关系判断．
【解答】
解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故D正确；
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
设，
则
，，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为，所以与不平行，
因此平面与平面不平行，故C错误；
因为，所以与不平行，
因此平面与平面不平行，故A错误．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二倍角余弦公式，辅助角公式，属于中档题．
利用两角差的余弦公式、辅助角公式、二倍角公式求解即可．
【解答】
解：因为
，
所以，
所以
．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．
根据题意，分析实数，和对应的平面区域，由几何概型公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，实数，，其对应的区域为正方形，
其边长，则正方形的面积，
其中满足的区域为在正方形中，圆的外部，如图中斜线部分，
其面积为，
故所求概率．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于一般题．
利用表示点和连线的斜率，由直线与圆的位置关系即可求解．
【解答】
解：圆的方程为，圆心为，半径为，
表示点和连线的斜率，
过点作圆的切线方程，
显然，切线斜率存在，
设切线方程为，即．
则，
解得：．
则的取值范围为．
故选C．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题设，则，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简整理，可得所求离心率．
【解答】
解：画出图象，如图所示：
设，则，
由双曲线定义可得，
又，
由双曲线的定义可得，
在直角三角形中，，
可得，解得，
在直角三角形中，，
即为，
即，，
故选C．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查线性规划的应用，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键，属于基础题．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图，
则，，
若过时取得最大值为，则，解得，
此时，目标函数为，
即，
平移直线，当直线经过时，截距最大，此时最大为，满足条件，
若过时取得最大值为，则，解得，
此时，目标函数为，
即，
平移直线，当直线经过时，截距最大，此时最大为，不满足条件，
故；
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，属于基础题．
由题意，求得，得到，进而得到切线的斜率，再利用直线的点斜式，即可得到切线的方程．
【解答】
解：由 知 ，
，所以 ，
故所求切线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数值的计算，涉及函数的奇偶性与周期性，关键是求出的值．
由可推出函数的周期为，从而，即可得出答案．
【解答】
解：由则，
为周期为的周期函数，
，由是定义在上的偶函数，则，
当时，，，
36，
故答案为36．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
数列满足，且，利用“累加求和”可得再利用“裂项求和”即可得出．
【解答】
解：数列满足，且，
当时，．
当时，上式也成立，
．
．
数列的前项的和
．
数列的前项的和为．
故答案为：．
17.【答案】解：由频率分布直方图，得：
，
解得．
由频率分布直方图，得：
，
所以估计宿州市届高三毕业生成绩的平均分为分．
由题意知道成绩在的学生有人，分别设为，，；
成绩在的学生有人，分别设为，，
随机选取两人有：
，，，，，，，，
，，，，，，共种情况，
这人成绩差别不超过分的情况为两人都在一个区域，
而人成绩都在的有，，，种情况，
人成绩都在的有，，，种情况，
故概率为．
【解析】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
由频率分布直方图中小矩形的面积之和为，能求出；
由频率分布直方图，能估计宿州市届高三毕业生成绩的平均分；
由题意知道成绩在的学生有人，分别设为，，；成绩在的学生有人，分别设为，，，由此利用列举法能求出这人成绩差别不超过分的概率．
18.【答案】解：设的内角，，所对的边分别为，，，
因为，
由正弦定理可得，
即为，
由余弦定理可得，
由，可得；
由知，，因为，即，
由余弦定理得，，
所以，
由基本不等式可得，
所以
所以当且仅当时取得等号，
所以周长的最大值为．
【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查基本不等式，考查化简运算能力，属于中档题．
运用正、余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；
利用余弦定理与基本不等式即可求解．
19.【答案】证明：连接．
，，
，，即是直角三角形，
又为的中点，，
又，
，，
则，，
，、平面，
平面；
解：由得平面，，
在中，，，，
，
，
，
设点到平面的距离为．
由，可得，
解得，
点到平面的距离为．
【解析】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求点面距离，属于中档题．
根据勾股定理可证明，，结合以及线面垂直的判定定理即可证明；
设点到平面的距离为，由解得即可．
20.【答案】解：，
，经检验符合条件，
，
令，有或，令，有，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
由题意．
当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即．
当时，不成立．
综上，．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件，考查考生的运算、推导、判断能力，属于中档题．
求导得到，得到极值点，令，有或，令，有，得到单调区间；
转化为，分，两种情况讨论即可．
21.【答案】 解：根据题意可知，
所以，
整理，得，
又点在椭圆上，
所以有，
由联立，计算得出，，
故所求的椭圆方程为．
为定值，理由如下：
设，，由， 可知，
联立方程组，消去，化简得，
由， 得，
由根与系数的关系，得，
由，
因为，得，
整理，得．
将代入上式，得：，
化简整理，得，
即．
故为定值．

【解析】本题考查椭圆的标准方程的求法及椭圆中的定值问题，属于中档题．
由得，又点在椭圆上，代入椭圆方程求解即可；
联立直线与椭圆方程，得，设，，运用韦达定理，由，得，化简整理即可．
22.【答案】解：利用即可化为普通方程为
曲线的参数方程为为参数消除可得，
即．
设，
到的距离
，则
当时，即，
当时，即
取值范围为．
【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查计算能力．
参数方程与普通方程的互化即可；
设，求出到的距离，进行变形，根据正弦函数的性质即可求出的范围．
23.【答案】解：
由，可得或或
解得，
所以不等式的解集为或．
由易求得，即，
所以，即，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为．
【解析】本题考查了绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想，属中档题．
将写为分段函数的形式，然后由，利用零点分段法解不等式即可；
由求出的最小值，然后将问题转化为求点到直线的距离的平方，再进一步求解即可．
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