【冲刺高考】2024年高考理科数学模拟试题（含答案）

2024高考理科数学模拟试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．0
2．（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知平面区域圆C：，若圆心，且圆C与y轴相切，则的最大值为（ ）
A．10 B．4 C．2 D．0
5．PCI-SIG组织认证发布PCIE 5.0总线标准后，计算机内部数据传输速率与效能在理论上会得到极大的提升，但也对集成电路的PCB板的可靠性提出了更高的要求，下图是某厂加工PCB板的流程图，则得到一件成品最少需要的检验次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在手工课上用半径为2的圆制作一个圆锥，要求圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则制作的最大圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与的非负半轴重合，将角的终边按照逆时针方向旋转后，其终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．书中记载，有男、子、伯、侯、公从低到高五个级别的诸侯各1人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，则“侯”分得橘子数大于20且小于23的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，若的最大值是，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，过点作曲线的两条切线，切点为，其中.若在区间中存在唯一整数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数，则的值是 ．
14．若正数满足，则的最小值为
15．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，该直观图是一个等腰梯形，且，则原平面图形的边 .

16．应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，且，的面积为10，，则抛物线方程为 ．

三、解答题
17．已知是等差数列，是等比数列，且
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
18．生物病毒（Biological virus，以下简称病毒）是一种个体微小，结构简单，只含一种核酸（DNA或RNA）的非细胞型生物．一部分病毒可以感染人类，导致人类出现病毒性疾病．研究人员为了研究某种病毒在常温下的存活时间与空气相对湿度（以下简称湿度）的关系，对100株该种病毒的存活时间（单位：小时）进行统计，如果存活时间超过8小时，即认为该株病毒“长期存活”，经统计得到如下的列联表，
空气相对湿度 是否存活 合计
长期存活 非长期存活
湿度以上 15 35 50
湿度及以下 5 45 50
合计 20 80 100
(1)在犯错误概率不超过0.05的前提下，判断该病毒“长期存活”是否与湿度有关；
(2)以样本中的频率估计概率，设在常温下，空气相对湿度在及以下的1000株病毒中恰有株病毒为“长期存活”的概率为，求当取得最大值时，的值．
附：；
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
19．如图所示，四棱锥的底面是矩形，，，，且底面，若边上存在异于，的一点，使得直线．

(1)求的最大值；
(2)当取最大值时，求异面直线与所成角的大小；
(3)当取最大值时，求点到平面的距离．
20．已知抛物线的焦点为，为上一点，且.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.
（i）求点的坐标；
（ii）求与的面积之和的最小值.
21．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求实数的取值范围．
22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
23．已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】计算出的所有取值即可得.
【详解】可为、，可为、，有、、，
故，所以集合的所有元素之和为6.
故选：A．
2．B
【分析】先通分，再将分式的分母实数化求得复数代数式，再求其模即得.
【详解】因，
故.
故选:B．
3．C
【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.
【详解】由题意知.
故选：C.
4．B
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆与y轴相切，得到在直线上运动，此时利用数形结合确定的取值即可得到结论
【详解】作出如图所示的可行域（阴影部分），
由于圆C与y轴相切，，所以，故在直线上运动，
联立得，即，
，故当最大时，最大，
故当圆心在时，此时最大时为3，故的最大值为4，
故选：B
5．B
【分析】根据流程图判断即可.
【详解】由流程图可知，得到一件成品最少需要检验1和检验3，共两次检验，
故选:B．
6．B
【分析】根据圆锥的侧面展开图、圆锥的体积公式求解．
【详解】设制作的圆锥的母线长为，底面半径为，
则，所以，
此时圆锥的高，
则圆锥的体积．
又，所以，当时，圆锥的体积最大，最大体积为，
故选：B．
7．B
【分析】根据三角函数定义先求，然后利用诱导公式和二倍角公式可解.
【详解】由题知，角的终边过点，
所以，，，
所以
.
故选：B
8．C
【分析】由题意知这5个人得到的橘子构成等差数列，设中间项即“伯”分得t个橘子，根据数列的和求出t的值，由即可求得m的取值集合，由求出m的取值，由古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】由题意知这5个人得到的橘子构成等差数列，
设“伯”分得t个橘子，则，解得，
因为，m为正整数，所以m的取值集合为，
由，得，即或，
所以“侯”分得橘子数大于20且小于23的概率为概率为，
故选：C
9．D
【分析】首先当时，求导分析函数为单增函数；再利用奇函数的性质判断在上单调递增；然后由得到抽象函数不等式恒成立，再用分离参数法结合函数的单调性求出实数的取值范围.
【详解】由题，当时，，
所以在上单调递增．
易知为奇函数，且，故在上单调递增．
又，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立．
设，只需，解得．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于发现函数是单增函数和，再利用单调性解决抽象函数不等式问题.
10．B
【分析】根据题意确定直线过定点，曲线是以为圆心，半径为1的半圆，借助数形结合确定直线与曲线有两个交点的临界状态，列出表达式求解即可.
【详解】由题意得，直线过定点，斜率为，
曲线是以为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线的下端点为.
要使直线与曲线有两个交点，则直线应位于直线和切线之间，所以，即且圆心到直线的距离小于半径.
由得，由得，所以.
故选：B.

11．D
【分析】由椭圆的定义得到，再结合，得到当时，取得最大值，从而得到，即可求出，从而得解.
【详解】由椭圆的定义得，
所以．
又，
所以当时，取得最大值，，
即，解得，
所以椭圆的方程为.
故选：D．
12．C
【分析】对函数求导，然后求出过点作曲线的两条切线，把，代入两条切线方程，得到①，②，所以可以把看成的两个根，因为，所以有 ，解出的取值范围③，可以证明出，在区间中存在唯一整数，必须要满足，解出的取值范围，结合③，最后求出的取值范围.
【详解】，
切点为的切线的斜率为，
所以切点为的切线方程为：，
同理可求得切点为的切线方程为：，
两条切线过点，把，代入两条切线方程得：
①，②，
所以可以把看成的两个根，因为，所以有 ③，即，
因为，所以，
在区间中存在唯一整数必须满足：，结合③，的取值范围是.
故选：C.
13．1
【分析】令解得，代入即可得解.
【详解】令，即，
则，
故答案为：1
14．6
【分析】先把已知变形为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求最值.
【详解】由得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：6.
15．
【分析】分别过作于点，于点，可求出，在中求出，，从而可得，然后在直角三角形，利用勾股定理可求得结果.
【详解】分别过作于点，于点，
因为，
所以，
所以，所以，
所以，，
因为，所以为等腰直角三角形，
所以，所以，
在中，，，，
由正弦定理得，
所以，
所以，得，
所以由斜二测画法可知，，
所以，
故答案为：

16．
【分析】设，由，解出得点坐标，结合得抛物线方程.
【详解】以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系，
不妨设．
由，则有，解得，
又，解得，
，则有，
故抛物线方程为．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）求出等比数列的公比，再求出的值，根据等差数列的通项公式求解；
（2）根据等差数列和等比数列的前项和公式求数列的前项和.
【详解】（1）等比数列的公比，
所以，，
设等差数列的公差为，
因为，，
所以，即，
所以.
（2）由（1）知，，.
因此，
从而数列的前项和
.
18．(1)有关；
(2)．
【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）根据二项分布概率公式结合组合数计算即可.
【详解】（1）根据列联表中数据，计算得：．
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为该病毒“长期存活”与湿度有关．
（2）根据列联表中数据可知，在湿度及以下的50株病毒中有5株“长期存活”，
若以样本频率估计概率，则一株病毒“长期存活”的概率为．
所以，
设
，
当时，，当时，，
所以，
故当取得最大值时，．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）因为、、两两垂直，所以可以建立空间直角坐标系，用向量的方法解，设长为，构造一个关于的函数，解出的最大值.
（2）要求异面直线与所成角的大小，可以向量化，用数量积公式求其夹角.
（3）要求点到平面的距离，可以用数量积的几何意义，到平面的距离等于在上投影的绝对值来求解.
【详解】（1）建立如图空间直角坐标系，

设，则，，，，
则，．
因为，所以，即．
即，
当时，的最大值为．
（2）由（1）可知，当取最大值时，，，
所以．
所以异面直线与所成角的大小为．
（3）设平面的法向量为，则，，
因为，，，
所以，
取，则，，所以，
所以，
因为到平面的距离等于在上的射影长，
所以．
20．(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程；
（2）（i）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得；
（ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值．
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以的方程为：；
（2）（i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点，
故可设的直线的方程为，
代入抛物线的方程，
可得，
方程的判别式，
设，，
不妨设，则,
所以直线AD的方程为：，即
即，令，可得，
所以，所以
所以；
（ii）如图所示，可得，
，
所以与的面积之和
当且仅当时，即时，等号成立，
所以与的面积之和的最小值为.

【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据定义域可化简函数，构造新函数，即求的解集即可，而，所以解集为．
（2）对a分情况讨论，当时，恒成立，当时，引入隐零点x0 ，在上单调递减，在上单调递增，得时
【详解】（1）∵f(x)的定义域为
∴当时，，
令，．
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，
则不等式的解集为．
（2）①当时，，此时，
令，．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，所以，
又，则，又，所以，
，，此时符合题意．
②当时，，
令，恒成立，
则在上单调递增，又，
，存在唯一的使，且，
所以
当时，，由，
则在上单调递减，
当时，，由，（分开考虑导函数符号）
当时，在上单调递增，则，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，
由题意则，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，此时，即，
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】导数题目中，构造新的函数，隐零点的合理使用都非常重要.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
【详解】（1）因为l：，所以，
又因为，所以化简为，
整理得l的直角坐标方程：
（2）[方法一]：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将，代入中，
可得，
化简为，
要使l与C有公共点，则有解，
令，则，令，，
对称轴为，开口向上，
，
，
，即m的取值范围为.
[方法二]：直角坐标方程
由曲线的参数方程为，为参数，消去参数，可得，
联立，得，即，即有，即，的取值范围是．
【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；
方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视的范围限制而出错．
23．(1)2；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；
（2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.
【详解】（1）当时，，
当，，；
当，，；
当，，；
∴当时，的最小值为2．
（2），，当时，
可化为，
令，，，∴
∴，
当且仅当时取得等号；
又当时，，
故.
答案第1页，共2页
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