【冲刺高考】2024年高考文科数学模拟试题（含答案）

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高考模拟考试数学试卷【文】
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设集合，，则( )
A. B. C. D.
2．已知复数（其中i为虚数单位），则其共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3．已知直线与圆相交于A，B两点，则( )
A. B. C. D.
4．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( )
A．280 B．320 C．400 D．1000
5．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和,若,,则( ).
A.21 B.81 C.243 D.729
6．执行如图的程序框图,输出的结果为( )
A. B. C. D.
7．在中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
8．已知向量,,若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
9．下列函数中,值域为的是( )
A. B. C. D.
10．如图,在中,,点D在线段BC上,,,则( ).
A. B. C. D.
11．已知A,B,C是半径为的球O的球面上的三个点,且,,,则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
12．已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．若实数x,y满足约束条件,则的最小值为__________.
14．某校有高三学生1000人参加月考,从一次数学月考成绩中抽取20人统计之后得到如下频率分布表：
分组
频数 1 2 3 2 2
频率 0.05 0.10 0.15 0.10 0.10
分组
频数 2 3 2 2 1
频率 0.10 0.15 0.10 0.10 0.05
根据频率分布表中的数据,试估计全校学生本次月考数学成绩不小于90分的人数是__________.
15．在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左焦点为,点P在椭圆上,的中点为Q,若,,则椭圆离心率的值为______.
16．设函数的图象关于直线对称,它的周期是π,有下列说法:
①的函数图象过点;
②在上是减函数;
③的一个对称中心是;
④将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
其中正确的序号是_______.（正确的序号全填上）
三、解答题
17．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组（不加药物）和实验组(加药物).
测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好)
对照组:17.3,18.4,20.1,20.4,21.5,23.2,24.6,24.8,25.0,25.4
26.1,26.3,26.4,26.5,26.8,27.0,27.4,27.5,27.6,28.3
实验组:5.4,6.6,6.8,6.9,7.8,8.2,9.4,10.0,10.4,11.2
14.4,17.3,19.2,20.2,23.6,23.8,24.5,25.1,25.2,26.0
（1）求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面列联表:
合计
对照组
实验组
合计
（2）根据列联表,能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
附:,其中.
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
18．已知是等差数列的前n项和,且,是数列的前n项和,且
(1)求数列和的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
19．如图,AB是圆O的直径,圆O所在的平面,C为圆周上一点,D为线段PC的中点,,．
（1）证明：平面平面PBC．
（2）若G为AD的中点,,求点P到平面BCG的距离．
20．已知函数,且曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求函数的单调区间;
（2）若关于x的不等式恒成立,求实数m的取值范围.
21．已知抛物线的准线过椭圆E的左焦点,且椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形.
（1）求椭圆E的方程
（2）直线交椭圆E于A,B两点,点P在线段AB上移动,连接OP交椭圆于M,N两点,过P作MN的垂线交x轴于Q,求面积的最小值.
22．在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数),P是上的动点,M是OP的中点,M点的轨迹为曲线.以为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
（1）求,的极坐标方程;
（2）射线与的异于极点的交点为A,与的异于极点的交点为B,求.
23．已知,,且.
（1）证明:.
（2）求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：解不等式，得，即，而，
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：，
所以，所以的虚部为.
故选：B.
3．答案：B
解析：因为圆心为O到直线的距离为:，
所以
所以，即.
故选:B.
4．答案：C
解析：由题意知这是一个分层抽样问题，
∵青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取200名职员作为样本，
∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：
∵每人被抽取的概率为0.2，
∴该单位青年职员共有
故选C
5．答案：C
解析：,因为,所以,,又,故,设公比是q,则,两式相除得:,解得:或(舍去),故.故选:C
6．答案：D
解析：运行程序,,,,,,判断否,
,,,判断否;,,,判断否;
,,,判断是,输出.
故选：D.
7．答案：D
解析：，，，，
，由正弦定理知，，，
又，，
，
.
故选：D.
8．答案：B
解析：,当且仅当时等号成立,
则的最小值为.
故选:B.
9．答案：D
解析：因为,且,所以或,A错误;
因为,所以,B错误;
因为,所以,C错误;
因为,所以,即的值域为,D正确.
故选：D.
10．答案：B
解析：在中,,
在中,,
,
即,所以,
又,且,所以.
故选:B.
11．答案：A
解析：由题意,,设AB中点为D,由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得,
则(三线合一),根据勾股定理,,连接CD,由,
则,又,AB,平面ABC,故平面ABC,
即为三棱锥的高,故.
故选:A
12．答案：C
解析：设与相切于点，
则，解得，此时，
由得，由可得，此时切点为，
作出函数与的图象如图，
由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，
故选：C.
13．答案：
解析：平移直线,当经过可行域内的点A时,取得最小值,
联立,解得,即,
则当,时,取得最小值为,
故答案为:
14．答案：600
解析：由频数分布表中的数据可知,不小于90分的频率是,所以估计总体中不小于90分的人数为.
15．答案：或
解析:取右焦点,Q为中点,,
则为等腰三角形,,
为直角三角形,,,
,.
故答案为:.
16．答案：①③
解析：依题意，，解得，因的函数图象关于直线对称，
则，，而，于是得，，因此，
因，即的函数图象过点，①正确；
当时，，而正弦函数在上不单调，②不正确；
因，的一个对称中心是，③正确；
，则将的图象向右平移个单位长度得到函数为，
显然不是函数，④不正确，
所以正确的序号是①③.
故答案为：①③.
17．答案：（1）见解析
（2）有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用
解析：（1）由所给数据可知40只小鼠体重的中位数为,
填二联表如下:
合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
（2）由上表及卡方公式可知:
,
所以有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
18．答案：(1)设等差数列的公差为d,根据,得,所以
因此数列的通项公式为,由得
当时,
当时,,且
所以,
所以数列是以为首项,2为公比的等比数列
于是
所以数列的通项公式为.
(2)由(1)得,
数列的前n项和为
.
解析：
19．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）证明：因为圆O所在的面,即平面ABC,
而平面ABC,所以,
因为AB是圆O的直径,C为圆周上一点,所以,
又,所以平面PAC,而平面PAC,则,
因,,所以,
又,所以,
又D为线段PC的中点,所以,
又,所以平面PBC,而平面ABD,
故平面平面PBC.
（2）由（1）得,平面PAC,平面PAC,
则,平面PCG,
由题可知,G为AD的中点,,则,
,,,,
由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积,
而,
,
由于平面PCG,则点B到平面PCG的距离为,
设点P到平面BCG的距离为d,
由,即,
则,解得：,
所以点P到平面BCG的距离为.
20．答案：（1）单调递减区间是,单调递增区间是;
（2）.
解析：（1）函数的定义域为,,
又曲线在点处的切线与直线平行
所以,即
,
由且,得,即的单调递减区间是
由得,即的单调递增区间是.
（2）由（1）知不等式恒成立可化为恒成立
即恒成立
令,
当时,,在上单调递减.
当时,,在上单调递增.
所以时,函数有最小值
由恒成立
得,即实数m的取值范围是.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题知抛物线的准线为直线,过椭圆E的左焦点,
.
椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,
,,
故椭圆E的标准方程为:.
（2）由（1）得椭圆的方程为,
的垂线交x轴于点Q,
的斜率存在,
连接OP交椭圆于M,N两点,
的斜率不为.
不妨设,,,则,
联立,
即,
,,
.
设,
,
,
解得:,
到直线MN的距离为:,
,
当且仅当,即时等号成立,
故面积的最小值为.
22．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）消参可得,将代入,
可得的极坐标方程为,设,由条件知,点P在上,
所以(a为参数),所以的参数方程为(a为参数),
的极坐标方程为
（2）射线与的交点A的极径为
射线与的交点B的极径为,所以,
23．答案：（1）见解析
（2）3
解析：（1）证明:因为,所以,
所以.
因为,所以,当且仅当时,等号成立.
（2）因为,所以,
所以.
因为,所以,当且仅当,即时,等号成立,
则,
故,即的最小值为3.