杭州学军中学 2024 届高三下模拟测试
数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
D B B A B C C D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9 10 11
ABC BC BCD
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
24
12.
25
n(n 1)
13.
2
14. 24
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.
1 1 1 1 1
15. （1）P X 3 ；
4 2 2 4 4
（2）
Z -4 -2 0 2 4
P(Z) 1 1 5 1 1
16 8 16 4 4
E Z 1
16. （1）解：法（1）(1) BD∥平面 AEFG，BD 平面BDP ，
平面 AEFG 平面BDP EG
BD∥EG
E 为 BP中点， G为DP中点，
连接GC, AC 分别交DH , BD于M , N
1
在 PDC 中，G 为 DP中点，CH CP
3
M 为GC 中点，又 N 为 AC 中点， MN / /AG
MN 平面BDH ， AG 平面BDH
AG∥平面BDH
法(2) BD∥平面 AEFG，BD 平面BDP ，
平面 AEFG 平面BDP EG
BD∥EG，
E 为BP中点， G为DP中点，
设 PC PF ，PA PC PB PD， PA PC 2PG 2PE
由 A，E，F，G四点共面， 3
EF / /BH ， BH / /平面 AEFG，又BD∥平面 AEFG，
BD BH B，BD，BH 平面BDH
平面BDH / /平面 AEFG，
AG 平面 AEFG， AG∥平面BDH Z
法（3）由题意可知 AD⊥BD，以 D 为坐标原点 DA，DB，DP 方向分别为 x，y，z 轴正方向，
建立空间直角坐标系，设PD a，则
a
A 1,0,0 ,G 0,0, , B 0, 3,0 ,C 1, 3,0 ， 结 合 H 为 三 等 分 点 ， 知
2
2 2 3 a
H , , ，于是平面 BDH 的一个法向量n = a,0,2 ，可知 AG n = a a 0
，
3 3 3 X
且 AG 不在平面 BDH 内，故结论成立. Y
（2）因为BD∥平面 AEFG．EG 平面BDP 平面AEFG ，故BD∥EG ，可知EG ∥
平面BDH ，结合 AG∥平面BDH ;故平面 BDH∥平面 AEFG，且 G 为 PD 中点，由面面平
1 3 4 3 1 2 3 4 3
行的性质，可知 F 为 PH 中点，故此时F , ,
， BF , ,
，
3 3 3 3 3 3
BF m 3 3
平面 AEFG 的法向量 217m = 3,0,1 ，于是 sin ，cos
BF m 2 61 244
f x ex 2e x17. （1）因为 ，直线 y x 3是曲线 y f (x) 的切线，
x x
令 f x 1，所以ex 2e x 1，所以 e 2 e 1 0，
解得ex 2或 ex 1（舍去），所以 x ln 2，代入直线 y x 3得 y ln 2 3，
即切点为 ln 2, ln 2 3 ，
即 eln 2 2e ln 2 a ln 2 3，所以a ln 2；
（2）令 g(x) ex 2e x a x2 x 1，则 g (x) ex 2e x 2x 1，
令 h(x) ex 2e x x x x
2
2x 1，则h (x) e 2e 2 2 e 2 2 2 2 0，
ex
所以可得 g (x) ex 2e x 2x 1恒为递增函数，又 g (0) e0 2e0 1 0 ，
所以 g(x) ex 2e x a x2 x 1在 ( , 0)上单调递减，在 (0, )上单调递增，
故 g(x)min g(0) 2 a，若 f x x
2 x 1对任意实数 x 恒成立，
则2 a 0，解得a 2；
2 2
18.解（1） + = 1
4 3
2 2 ( 1)2 2
（2）联立直线 = 1 与椭圆方程 + = 1可得, + = 1, 整理得
4 3 4 3
6
1 + 2 = 2
(3 2 + 4) 2 6 9 = 0, 设 ( , ), ( , ), ∴ { 3 + 41 1 2 2 , 椭圆中 9
1 2 = 3 2 + 4
2
1 2
= 4, 2 = 3, 故 = √ 2 2 = 1, ∴ 1( 1,0), 2(1,0), ∴ 1 = , 1 2
= ,
1 2 1
1 1 1 1 2 2 2 ( 1 2) + 1( 2 2) 2 1 2 2( 1 + 2)
∴ + = + = =
1 2 1 2 1 2 1 2
18 12 10
= = ,
9 3
1 ( 1 1)( 2 1) ( 1 2)( 2 2)
2 1 2 2 ( 1 + 2) + 4
= = =
1 2 1 2 1 2 1 2
16
= 2 .
9
（3）直线 2 的方程为 = 1( 1), 联立直线 2 与抛物线方程得
2
1 ( 1)
2 = 4 ,
2
即 2
2 +4
1
2 (2 2 + 4) + 21 1 = 0 , 设 (
1
3, 3) , ( 4, 4) , 故 1 + 2 = 2 , ∴ | | = 1
2 2+4 4 4 1
1 + 2 + +2 =
1
2 + 2 = 4 + 2 , 同理 | | = 4 + 2 , ∴ | | | | = 16 (1 + 2) 1 1 2 1
1
(1 + 2) 2
1 2 1 1 2 2 2
= 16 [( ) + ( + ) + 1] = 16 ( 2
50 2 625 2 25+ + ) = 16 ( + ) ,
1 2 1 2 1 2 9 81 9
√3 1
∵ ∈ (0, ), 故 2 (0, ) , ∴ | | | |单调递增，无最大值.
3 3
19. （1）DA 3 ai a j 5 1 5 3 3 1 8
1 i j 3
DB 3 bi b j 6 2 6 4 4 2 8
1 i j 3
EAB 3 ai b j 2 1 4 1 6 1 3 2 4 3 6 3 5 2 5 4 6 5 19
1 i 3
1 j 3
n 1 n 1 n i n 1 i
（2）DB n i j j i n i n 1 i ... 1
1 i j n 1 i j n i 1 i 1 2
n2 n n 1 i 1 n 1 n3 n n n 1 2n 1 n 1 n 2n 1 n3 n
n 1 2n 1 i2
2 i 1 2 2 i 1 2 4 12 6
n3 n
若 2024，即 n 1 n n 1 24 3 11 23 22 23 24，所以存在n 23
6
（3）解法 1：不妨设a1 a2 ... an ,b1 b2 ... bn ，则
EAB n ai bj ai b j a j bi ai bi a j bi b j ai ai bi
1 i n 1 i j n 1 i n 1 i j n 1 i n
1 j n
DA n DB n a i a j bi b j a j ai b j bi
1 i j n 1 i j n 1 i j n
由 a a ... a ,b b ... b 可知, a j bi b j ai a j ai b b1 2 n 1 2 n j i ,
1 i j n 1 i j n
从而EAB n D n D n a b 0，所以EAB n DA n D A B i i B n
1 i n
解法 2：令Tn EAB n DA n DB n ai b j a j ai b j bi ，以下
1 i n 1 i j n
1 j n
用数学归纳法证明T ： n 0
（1）当n 2时，不妨设a1 a2 ,b1 b2 ,a2 b2 ，则：
T2 b2 a1 b2 a2 b1 a1 b1 a2 a2 a1 b2 b 1
① 当 a1 b T1时， 2 b1 a1 b2 a2 b1 a2 b1 a2 0
② 当a1 b1 时，T2 b2 a2 a 1 b1 b1 a2 b1 a2 0
（ 2 ） 假 设 当 n 时 命 题 成 立 ， 即 有 Tn 0 ； n+1 时 ， 不 妨 设
a1 a2 ... an 1,b1 b2 ... bn 1,an 1 bn 1：
n n n
Tn 1 bn 1 ai an 1 bi an 1 bn 1 an 1 ai bn 1 bi Tn
i 1 i 1 i 1
n n n
bn 1 ai an 1 bi an 1 ai bn 1 bi
i 1 i 1 i 1
n n n
故只需证： bn 1 ai an 1 bi an 1 ai bn 1 bi 0 (**)
i 1 i 1 i 1
① 若存在 k ，使得bk an 1 bk 1 1 k n,k N ，则
n n n k n
bn 1 ai an 1 bi nbn 1 ai nan 1 bi bi n k an 1
i 1 i 1 i 1 i 1 i k 1
n n n
an 1 ai bn 1 bi nan 1 ai nbn 1 bi
i 1 i 1 i 1
n
由bk an 1 bk 1 ，易知 bi n k an 1 0，即（**）式成立。
i k 1
② 类似可证，当an 1 b1 时，（**）式成立。
综上所述，（**）式成立，故Tn 1 0，即原不等式得证。杭州学军中学 2024届高三下模拟测试
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A = x x + 2 0 B = x x2， x 2 0 ，则 A B =（ ）
A． x 2 x 1 B． x 2 x 2 C． x 1 x 1 D． x 1 x 2
i
2. 已知 z = ,则 z z =（ ）
2 i
5 1 5 1
A. B. C. i D. i
5 5 5 5
3. 已知向量a = (2, 2)， c = (2,1)，则a在 c方向上投影向量的坐标是（ ）
1 4 2 1 4 2
A. 1, B. , C. 1, D. ,
2 5 5 2 5 5
4.设函数 f (x) = 2x + x， g (x) = log2 x + x，h (x) = x + x的零点分别为 a，b，c，则
a，b，c的大小顺序为（ ）
A. b c a B. b a c C. a b c D. c a b
5. 在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，则“ (a ccos B)sin B = (b ccos A)sin A”
是“ A = B ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6.3个男生和 3个女生随机排成一排照相，有且只有 2个女生相邻的排法种数为（ ）
A.144 B. 288 C. 432 D. 576
7. 已知函数 f (x) = 1+ sin 2x + sin x cos x，则 f (x)值域为（ ）
A. [ 2,2] B. [ 2, 2] C. [ 2,2] D. [ 2, 2]
8. 三棱锥 P-ABC中， ABC是边长为 3的正三角形，PC ⊥ BC．若三棱锥 P-ABC的体积
3 3
为 ，则PA的最小值为（ ）
2
5
A． 3 B．2 C． 5 D．
2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9． 已知数列{a }为等比数列，首项 a 0，公比 q ( 1,0)，则下列叙述正确的是 ( ) n 1
A．数列{a }的最大项为 a B．数列{a 的最小项为 a n 1 n} 2
C．数列{a a 为递增数列 D．数列 为递增数列 n n+1} {a2n 1 + a2n}
10．下列说法正确的是（ ）
A．小明统计了近 5次的数学考试成绩，分别是 90，120，108，123，116，则这组数据的第
60百分位数是 116.
B．一组数据 (1,3)，(2,8)，(3,10)，(4,14)，(5,15)的经验回归方程为 y = 3x + a，则当 x = 5
时，残差为 1 .
2 2 2
C．一组数据 x , x , , x 的均值为 x，标准差为 s，则数据 x ，x ，…，x 的均值为 s2 + x 21 2 n 1 2 n .
1 p
D．设随机变量 X～N (1,3)，且P (X 3) = p，则P ( 1 X 1) = .
2
y2 x2 x2
11. 如图所示,双曲线 =1( y 0)与抛物线线 y = 6 与成成
2 16 4
闭曲线 E，若对于 y轴上一定点 A(0,a) , E上恰有 3对不同的点关于点
A对称，则实数 a的值可能是( )
5 7
A. 2 B. C.3 D.
2 2
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知直线 1,
2 2
2 为圆 1: + = 1 抛 2:
2 + 2 6 8 = 0 的公切线, 设
1, 2 的夹角为 , 则 sin 的值为_______.
13．若函数 f (x)的定义域为 (0,+ )，且 f (x) + f (y) = f (xy)， f (an ) = n + f (n)，则
n a
f ( i ) = ．
i=1 i
14. 平面四边形 ABCD中， AB = BC =CD = 2 3， C = , A = ,将 ABD沿BD
3 4
翻折，当 AD抛 BC所成角最大时，四面体 ABCD外接球表面积为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.
15．学军中学进行象棋大赛，甲 乙两人参赛，每局比赛时，若决出胜负则获胜方得 2分，
1 1 1
负方得 0分；若平局则各得 1分.已知甲在每局中获胜 平局 负的概率分别为 ，， ，且
2 4 4
各局比赛结果相互独立，若比赛共进行了 2局，记此时甲的得分为随机变量 X，乙的得分
为随机变量 Y.
（1）求P (X = 3)
（2）记随机变量Z = X Y，求Z 的数学期望E(Z) .
16．如图所示，四棱锥 P ABCD 与中，底面 ABCD 与为平行四边形， PD ⊥与平面 ABCD 与，
AD =1, AB = 2， BAD = ，H为线段 PC上一点，且CP = 3CH ，E为PB的中点，过 AE
3
的平面分别交PC, PD于点F,G，且BD∥平面 AEFG．
（1）证明： AG∥平面BDH ;
（2）若PD = 2 3，求BF抛平面 AEFG所成角的余弦值．
f (x) = ex + 2e x17. 已知函数 + a .
（1）若直线 y x 3是曲线 y = f (x)的切线，求a的值；
f (x) x2（2）若 x +1对任意实数 x恒成立，求a的取值范成.
2 2
18. 已知椭圆 1: 2 + 2 = 1( > > 0) 的左右焦点分别为
1, 2 , 且其中一个焦点抛物线线 :
2
2 = 4 的焦点重合, 直
线 = 1 抛椭圆交于 , 两点, △ 2 的周长为 8.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若斜率为 1 的直线 2 抛物线线交于 ， 两点, 斜
率为 2 的直线 2 抛物线线交于 ， 两点.
1 1 1
① 求 + 和 （用含 m的代数式表示）;
1 2 1 2
√3
② 若 0 < < , 试判断 | | | |是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，
3
请说明理由.
19.对于 n 元数集 A = a1,a2 ,...,an , B = b1,b2 ,...,bn (n N,且n 2) 与，定义 DA (n) = ai a 与，j
1 i j n
E (n) = a b . AB i j
1 i n
1 j n
（1）若集合 A = 1,3,5 , B = 2,4,6 ，求DA (3)，DB (3)和EAB (3) ;
（2）是否存在集合 A = 1,2,3,...,n (n N)，使得D (n) = 2024，若存在，求出 n 的值，若不存A
在，请说明理由;
（3）若 A 和 B 均为 n 元实数集，且满足 A B = ，试比较DA (n)+ D (n)抛E 的大小关B AB (n)
系，并说明理由.
