湖南省长沙市麓山国际梅溪湖学校2023-2024学年高二下学期5月学情检测数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南省长沙市麓山国际梅溪湖学校2023-2024学年高二下学期5月学情检测数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-31 18:42:55 | ||
图片预览
文档简介
2023-2024-2高二5月学情检测
数学试题卷
总分：150分 时量：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.已知，为实数，则“，”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.如图中，图象对应的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
4.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过，至少要经过（ ）（取：）
A. B. C. D.
5.已知，设，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6.已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.对于函数，设，若存在，使得，则称互为“零点相邻函数”若与2互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知实数，满足，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（ ）
A.相关变量x，y具有正相关关系
B.新的经验回归方程为
C.随值的增加，值增加的速度变小
D.样本点似残差为0.1
11.已知非零实数，满足，实数，满足，则下列可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.方程的解为___________.
13.随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（，）
支持 不支持
男生
女生
若通过计算得，根据小概率值的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为__________.
附：，其中.
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
14.已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为___________
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.
（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长度应在什么范围内？
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出取小值.
16.（15分）已知函数
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.
17.（15分）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
（2）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；
（3）复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值.
附：若随机变量X服从正态分布，则：，，.
18.（17分）已知函数（其中）.
（1），不等式恒成立，求实数的最大值；
（2）若，，使成立，求实数的取值范围.
19.（17分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在，使得，求实数的最大值.
2023-2024-2高二5月学情检测
数学答案
1.【答案】D
【详解】当时，，满足条件，所以，
当时，.由得或，所以或，
因此由实数的所有可能的取值组成的集合为
故选：D
2.【答案】A
【分析】根据对数的性质和充分必要条件的定义求解.
【详解】根据对数运算性质知，当，时，成立；
对于，有，或，，
故“，”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3.【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据有界性可排除C，根据4处的函数值不超过5，可判断B.
【详解】由图象可知函数关于原点对称，故为奇函数，
对于A，，故函数为偶函数，不符合，
对于B，，
根据图象可知，4处的函数值不超过5，故B不符合，
对于C，由于，显然不符合，
故选：D
4.C
【分析】本题考查函数的应用，通过数学建模列不等式求解.
【详解】的物块经过后的温度的物块经过后的温度.
要使得这两块物体的温度之差不超过，即须使，
解得，即至少要经过5.52min.
故选：C.
5.【答案】D
【分析】根据题意，分析可得为减函数，由对数的运算性质分析可得，结合函数的单调性分析可得答案.
【详解】解：根据题意，，，则，则函数为减函数，
又由，，则有，
则，
故选：D.
6.【答案】C
【详解】依题意，，
显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，
因此，而，则或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：C
7.【答案】B
【分析】由题意构造函数，判断单调性后解不等式
【详解】，即，
构造函数，则
故在上为增函数，原不等式可化为，
解得
故选：B
8.【答案】A
【解析】解：函数的零点为，
设函数的零点为.
与互为“零点相邻函数”，，
函数在区间上存在实数根，
①当，即时，，解得：；
②当，即时，，解得：；
③当，即时，或，解得：：
综上所述，实数的取值范围是：，
故选：A.
9.【答案】AD
【解析】由实数，满足，分离出，对ABCD一一验证.
对A.构造基本不等式；对BCD，把代入，消去b，用基本不等式或函数求最值.
【详解】
对于A：，
即.故A正确；
对于B：，
，不一定成立，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：AD
10.【答案】ABD
[解析]由经验回归直线的斜率为正数知变量具有正相关关系，故A正确：
将代入得，
去除点和后，得到新的样本平均数，
得到的新的经验回归直线的斜率为3，
，
新的经验回归方程为，故B正确：
经验回归直线的斜率为正数，变量具有正相关关系，又去除两点后，斜率增大，随x值的增加，y值增加的速度变大，故C错误：
故选：ABD.
11.【答案】ACD
【分析】构造函数，根据导函数得出函数的单调性，根据零点存在定理得出.然后作出函数，以及的图象，根据图象，结合指数函数的单调性，即可得出答案.
【详解】令，则.
由，可得.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
所以，在时有唯一极小值，也是最小值.
又，，，
所以，根据零点存在定理可知，，使得.
又，所以，所以.
现作出函数，以及的图象，如图1所示
对于A项，
由图2可知，，满足，故A项正确；
对于B项，由图2可知，当时，恒成立，
即，所以.
又单调递增，所以当时，有，
所以，，故B项错误；
对于C项，由图3可知，时，满足成立，故C项正确；
对于D项，由图4可知，时，满足成立，故D项正确.
故选：ACD.
12.【答案】0或3
【分析】将化简为：，求解即可求得答案.
【详解】
可化简为：令（）
可得：化简为：即：
解得：
或解得：或
13.【答案】66
【解析】因为根据小概率值的独立性检验，认为支特增加中学生体有锻炼时间的政策与性别有关，所以，即，
因为函数在上单调递增，且，所以的最小值为16，
所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的取小值为.
14.【答案】-1或
【分析】由已知可得函数有唯一零点，证明函数为偶函数，结合偶函数的性质，根据条件列方程求的值.
【详解】因为函数有唯一零点，
所以函数有唯一零点，又，
，
所以函数是偶函数，又函数有唯一零点，
则的零点为0，所以，
因为是R上的奇函数，所以，
由，解得，
所以，解得或.故答案为：或.
15.【答案】（1）：（2）当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小值为24平方米.
【解行】设的长为米）由题意知：.所以.
（1）由 得，又，于是，
解得或，即长度的取值为.
（2），
当且仅当，即时，取得最小值是
当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小值为24平方米.
16.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
在处的切线方程为，即
（2）在上单调递减
在上恒成立
即在上恒成立记
恒成立，且显然不是常数函数.
在上单调递减
实数的取值范围是.
17.【答案】（1）
（2）人
（3）分布列见解析，均值为
【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；
（2）由可知即可求解；
（3）根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，进而求得均值.
【详解】（1）样本平均数的估计值为.
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，
则，
所以，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为人.
（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则，
，
，
，
，
，
故Y的分布列为：
Y 0 5 10 15 20 25
P
所以数学期望为.
18.【答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）分析出函数在上单调递增，可得出在上恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的最大值；
（2）分析可得，对实数的取值进行分类讨论，求出 ，可出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
又，，所以在上恒成立，
即在上恒成立，，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，实数的最大值为.
（2）解：设，在上的最小值为，
在上的最小值为，
由题意，只需，
因为函数在上单调递增，所以，
因为，所以，在单调递增，在单调递减，且.
当时，在上单调递减，此时；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，函数在上单调递增，则.
综上所述，.
所以，当时，，
所以，，得，即，解得，此时；
当时，，
所以，即，解得，
因为，所以.
综上所述，实数的取值范围为.
19.【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）存在，使得，即存在，使得，
则存在，使得，
令，则恒成立，
即函数在上单调递减，有恒成立，
因此，即，
令，求导得，
令，求导得，
则当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
则，即当时，恒成立，
因此函数在上单调递减，，
所以，即实数的最小值为.
数学试题卷
总分：150分 时量：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.已知，为实数，则“，”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.如图中，图象对应的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
4.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过，至少要经过（ ）（取：）
A. B. C. D.
5.已知，设，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6.已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.对于函数，设，若存在，使得，则称互为“零点相邻函数”若与2互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知实数，满足，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（ ）
A.相关变量x，y具有正相关关系
B.新的经验回归方程为
C.随值的增加，值增加的速度变小
D.样本点似残差为0.1
11.已知非零实数，满足，实数，满足，则下列可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.方程的解为___________.
13.随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（，）
支持 不支持
男生
女生
若通过计算得，根据小概率值的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为__________.
附：，其中.
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
14.已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为___________
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.
（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长度应在什么范围内？
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出取小值.
16.（15分）已知函数
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.
17.（15分）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
（2）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；
（3）复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值.
附：若随机变量X服从正态分布，则：，，.
18.（17分）已知函数（其中）.
（1），不等式恒成立，求实数的最大值；
（2）若，，使成立，求实数的取值范围.
19.（17分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在，使得，求实数的最大值.
2023-2024-2高二5月学情检测
数学答案
1.【答案】D
【详解】当时，，满足条件，所以，
当时，.由得或，所以或，
因此由实数的所有可能的取值组成的集合为
故选：D
2.【答案】A
【分析】根据对数的性质和充分必要条件的定义求解.
【详解】根据对数运算性质知，当，时，成立；
对于，有，或，，
故“，”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3.【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据有界性可排除C，根据4处的函数值不超过5，可判断B.
【详解】由图象可知函数关于原点对称，故为奇函数，
对于A，，故函数为偶函数，不符合，
对于B，，
根据图象可知，4处的函数值不超过5，故B不符合，
对于C，由于，显然不符合，
故选：D
4.C
【分析】本题考查函数的应用，通过数学建模列不等式求解.
【详解】的物块经过后的温度的物块经过后的温度.
要使得这两块物体的温度之差不超过，即须使，
解得，即至少要经过5.52min.
故选：C.
5.【答案】D
【分析】根据题意，分析可得为减函数，由对数的运算性质分析可得，结合函数的单调性分析可得答案.
【详解】解：根据题意，，，则，则函数为减函数，
又由，，则有，
则，
故选：D.
6.【答案】C
【详解】依题意，，
显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，
因此，而，则或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：C
7.【答案】B
【分析】由题意构造函数，判断单调性后解不等式
【详解】，即，
构造函数，则
故在上为增函数，原不等式可化为，
解得
故选：B
8.【答案】A
【解析】解：函数的零点为，
设函数的零点为.
与互为“零点相邻函数”，，
函数在区间上存在实数根，
①当，即时，，解得：；
②当，即时，，解得：；
③当，即时，或，解得：：
综上所述，实数的取值范围是：，
故选：A.
9.【答案】AD
【解析】由实数，满足，分离出，对ABCD一一验证.
对A.构造基本不等式；对BCD，把代入，消去b，用基本不等式或函数求最值.
【详解】
对于A：，
即.故A正确；
对于B：，
，不一定成立，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：AD
10.【答案】ABD
[解析]由经验回归直线的斜率为正数知变量具有正相关关系，故A正确：
将代入得，
去除点和后，得到新的样本平均数，
得到的新的经验回归直线的斜率为3，
，
新的经验回归方程为，故B正确：
经验回归直线的斜率为正数，变量具有正相关关系，又去除两点后，斜率增大，随x值的增加，y值增加的速度变大，故C错误：
故选：ABD.
11.【答案】ACD
【分析】构造函数，根据导函数得出函数的单调性，根据零点存在定理得出.然后作出函数，以及的图象，根据图象，结合指数函数的单调性，即可得出答案.
【详解】令，则.
由，可得.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
所以，在时有唯一极小值，也是最小值.
又，，，
所以，根据零点存在定理可知，，使得.
又，所以，所以.
现作出函数，以及的图象，如图1所示
对于A项，
由图2可知，，满足，故A项正确；
对于B项，由图2可知，当时，恒成立，
即，所以.
又单调递增，所以当时，有，
所以，，故B项错误；
对于C项，由图3可知，时，满足成立，故C项正确；
对于D项，由图4可知，时，满足成立，故D项正确.
故选：ACD.
12.【答案】0或3
【分析】将化简为：，求解即可求得答案.
【详解】
可化简为：令（）
可得：化简为：即：
解得：
或解得：或
13.【答案】66
【解析】因为根据小概率值的独立性检验，认为支特增加中学生体有锻炼时间的政策与性别有关，所以，即，
因为函数在上单调递增，且，所以的最小值为16，
所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的取小值为.
14.【答案】-1或
【分析】由已知可得函数有唯一零点，证明函数为偶函数，结合偶函数的性质，根据条件列方程求的值.
【详解】因为函数有唯一零点，
所以函数有唯一零点，又，
，
所以函数是偶函数，又函数有唯一零点，
则的零点为0，所以，
因为是R上的奇函数，所以，
由，解得，
所以，解得或.故答案为：或.
15.【答案】（1）：（2）当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小值为24平方米.
【解行】设的长为米）由题意知：.所以.
（1）由 得，又，于是，
解得或，即长度的取值为.
（2），
当且仅当，即时，取得最小值是
当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小值为24平方米.
16.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
在处的切线方程为，即
（2）在上单调递减
在上恒成立
即在上恒成立记
恒成立，且显然不是常数函数.
在上单调递减
实数的取值范围是.
17.【答案】（1）
（2）人
（3）分布列见解析，均值为
【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；
（2）由可知即可求解；
（3）根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，进而求得均值.
【详解】（1）样本平均数的估计值为.
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，
则，
所以，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为人.
（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则，
，
，
，
，
，
故Y的分布列为：
Y 0 5 10 15 20 25
P
所以数学期望为.
18.【答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）分析出函数在上单调递增，可得出在上恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的最大值；
（2）分析可得，对实数的取值进行分类讨论，求出 ，可出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
又，，所以在上恒成立，
即在上恒成立，，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，实数的最大值为.
（2）解：设，在上的最小值为，
在上的最小值为，
由题意，只需，
因为函数在上单调递增，所以，
因为，所以，在单调递增，在单调递减，且.
当时，在上单调递减，此时；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，函数在上单调递增，则.
综上所述，.
所以，当时，，
所以，，得，即，解得，此时；
当时，，
所以，即，解得，
因为，所以.
综上所述，实数的取值范围为.
19.【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）存在，使得，即存在，使得，
则存在，使得，
令，则恒成立，
即函数在上单调递减，有恒成立，
因此，即，
令，求导得，
令，求导得，
则当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
则，即当时，恒成立，
因此函数在上单调递减，，
所以，即实数的最小值为.
同课章节目录