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第十五章 平面直角坐标系 重难点检测卷
选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）经过点且平行于y轴的直线可以表示为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】A
【分析】过点P且平行于y轴的直线上的点的横坐标与点P的横坐标相同．
【详解】解：经过点且平行于y轴的直线可以表示为：直线．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，本题涉及到的知识点为：平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．
2．（22-23七年级下·天津南开·期末）如图是小刚画的一张脸，如果他用表示左眼，用表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，进而得到嘴的位置即可．
【详解】解：∵用表示左眼，用表示右眼，
∴坐标系的位置如图：
∴嘴的位置可以表示成；
故选A．
【点睛】本题考查坐标与图形．根据点的坐标确定坐标系的位置，是解题的关键．
3．（20-21八年级·全国·假期作业）已知两点，，且直线轴，则( )．
A．， B．，可取任意实数
C．可取任意实数， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中点的特征，根据平行于轴，纵坐标相等即可解得的值，还要考虑、两点不能重合的情况．
【详解】解：∵轴，
∴
又∵当时，点与重合，不符合题意，
∴．
【点睛】故选：A．
4．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，…，按此规律，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查点坐标的规律探究，由图可知，个坐标的纵坐标为一循环，因此判断对应的坐标是，那么纵坐标为，横坐标每多一个循环则大，可算出横坐标为，然后直接求解即可．
【详解】解：观察图形可知，n为正整数时，的纵坐标为0，1，3，，
纵坐标为0的点：
纵坐标为1的点：
纵坐标为3的点：
纵坐标为的点：
可以看出纵坐标为1，3，时，n取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，
∵，纵坐标为1的规律
∴的纵坐标为1，正好是往右循环202次，
又∵每个循环横坐标加4，
∴横坐标为
∴
故选：D
5．（22-23七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，若轴，则线段的最小值及此时点的坐标分别为（ ）
A．6， B．2， C．1， D．2，
【答案】D
【分析】根据坐标的定义可求得y值，根据线段最小，确定，垂足为点C，进一步求得的最小值和点C的坐标．
【详解】解：依题意可得：
∵轴，
∴，
根据垂线段最短，当于点C时，
点B到的距离最短，即的最小值，
此时点C的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查已知点求坐标及垂线段最短，解题的关键是明确线段最小时，确定．
6．（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋10次．移动规则是（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处）．按这样的规则，在这10次移动中，跳棋不肯停留的顶点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形的规律变化问题， 设顶点分别是第0，1，2，3，4，5，6格，那么第一次跳一步到2号位置上，第二次跳两步跳到4号位置上，第三次跳三步跳到了5号位置上，依此类推可知：棋子移动了k次后走过的总格数是，讨论k的取值，找出不可能停棋的格子即可，根据棋子跳的总路程得到落脚处是解决本题的难点．
【详解】设顶点分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
∵棋子移动了k次后走过的总格数是，
∴这时S是整数，且使，分别取时，，是按照：循环的，
故第2，4，5格没有停棋，
即顶点C，E和F棋子不可能停到．
故选：C．
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．（2024九年级下·上海·专题练习）点和点关于 轴对称．
【答案】
【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
观察到这两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，再根据对称点的坐标规律，从而进行判断．
【详解】解：点和点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
它们关于轴对称．
故答案为：．
8．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为．若线段轴，且的长为3，则点B的坐标为 ．
【答案】或
【分析】根据平行于坐标轴的直线上两点间的距离与其坐标的关系进行分析解答即可．
【详解】解：∵点A的坐标为，且轴，
∴可设点B的坐标为，
∵，
∴，解得：或，
∴点B的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平行于坐标轴的直线上两点间的距离与其坐标的关系，熟练掌握平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相等；平行于x轴的直线上的两点间的距离等于这两个点的横坐标差的绝对值．
9．（21-22七年级下·上海闵行·阶段练习）已知点与点关于轴对称，那么 ．
【答案】
【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征即可解答.
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟记关于轴对称的点坐标特征是解题的关键．
10．（20-21八年级上·山东烟台·期末）如图，点A、B分别在x轴和y轴上，，，若将线段平移至，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查直角坐标系中线段的平移，掌握坐标平移的规律是解题的关键．
由题意，线段由线段向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到，即可得出、的值，即可得出答案．
【详解】解：由图可知，A、B的坐标分别为和，、的坐标分别为和，
∴线段由线段向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到，
∴；；
∴．
故答案为：2
11．（2024·上海普陀·二模）在直角坐标平面内，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，如果点和点恰好关于原点对称，那么点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查点的平移和原点对称的性质，先按题目要求对、点进行平移，再根据原点对称的特征：横纵坐标互为相反数进行列方程，求解．
【详解】设，向右平移个单位，再向上平移个单位得到
、关于原点对称，
，，
解得，，
则
故答案为：
12．（22-23七年级下·上海长宁·期末）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离分别为2、3，那么点的坐标为 ．
【答案】
【分析】已知点在第二象限内，那么横坐标小于0，纵坐标大于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标．
【详解】解：因为点在第二象限，
所以其横、纵坐标分别为负数、正数，
又因为点M到x轴、y轴的距离分别为2、3，
所以点M的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点在第二象限时点的坐标的符号，点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
13．（23-24八年级上·上海崇明·期末）点的坐标为，点在轴上，且，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】此题考查了坐标系中点的坐标，设，根据两点间的距离公式求出的值即可，熟知在轴上点的纵坐标为及两点间的距离公式是解题的关键．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∵点的坐标为，，
∴，
解得：或，
∴点或，
故答案为：或．
14．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）王明利用平面直角坐标系画出了家、学校和超市的地图，如图所示，可是他忘记了在图中标出原点、轴及轴，只知道代表学校点的坐标为，代表家点的坐标为，请你帮他写出代表超市点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据学校点的坐标为，家点的坐标为，建立直角坐标系，找到原点和轴、轴，再找到超市的坐标．
【详解】建立平面直角坐标系如图，
超市点的坐标，
故答案为：．
【点睛】此题考查了坐标位置的确定，由已知条件正确确定坐标轴原点的位置是解决本题的关键.．
15．（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知点在第一象限，且满足，则整数的值是 ．
【答案】
【分析】先解二元一次方程组，求出的值，再根据点在第一象限，可求得的范围，再由为整数，即可得到答案．
【详解】解：，
得：，
解得：，
将③代入①可得：，
，
点在第一象限，
，
解得：，
为整数，
的值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，平面直角坐标系中点的坐标特征，解不等式组，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，二元一次方程组以及不等式组的解法，是解题的关键．
16．（21-22七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点A的坐标为，若点B为坐标轴上的点，且为等腰三角形，则满足条件的B点有 个.
【答案】8
【分析】根据等腰三角形的性质以及平面直角坐标系的特点作出图形即可得解．
【详解】解：如图所示，共有8个．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，比较简单，作出图形是解题的关键，也更形象直观．
17．（21-22七年级下·上海·单元测试）在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转90°，得到的点的坐标为 ．
【答案】（﹣5，4）
【分析】分别过A、A′作x轴的垂线，垂足分别为C、D，可证明△AOC≌△OA′D，可求得A′D和OA′的长，则可求得A′点坐标．
【详解】解：如图，分别过A、A′作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵A（4，5），
∴OC＝4，AC＝5，
∵把点A（4，5）逆时针旋转90°得到点A′，
∴OA＝OA′，且∠AOA′＝90°，
∴∠A′OD+∠AOC＝∠AOC+∠CAO＝90°，
∴∠A′OD＝∠CAO，
在△AOC和△OA′D中
，
∴△AOC≌△OA′D（AAS），
∴OD＝AC＝5，A′D＝OC＝4，
∴A′（﹣5，4），
故答案为：（﹣5，4）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变换﹣旋转，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．
18．（23-24七年级下·湖北十堰·期中）如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，作轴，与轴交于点，用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键．
【详解】解：如图，作轴，与轴交于点，
由题意可得，
，
，
∴，
∵，
∴，
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∴；
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∴；
综上所述，，
故答案为：．
三、解答题（7小题，共64分）
19．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的顶点的坐标为，点的坐标为．
(1)在图中画出平面直角坐标系，写出点的坐标；
(2)点，线段的最小值为______，理由是______．
【答案】(1)见解析，点A的坐标为
(2)3，理由是：垂线段最短
【分析】本题考查平面直角坐标系，垂线段最短，
（1）根据点A与点B，C的位置关系可知，点A 横坐标为 1，纵坐标为0，即可得出点A的坐标，建立平面直角坐标系即可；
（2）根据垂线段最短求解即可．
【详解】（1）解：∵点B的横坐标为，
∴点A的横坐标为，
∵点C的纵坐标为，
∴点A的纵坐标为0，
∴点A的坐标为，
建立平面直角坐标系如图所示，
（2）∵点，
∴点P是直线上的点
∵
∴当直线时，线段有最小值，
∴当点P在x轴上时，线段的值最小，即．
理由是：垂线段最短．
20．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，．
(1)把三角形向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到三角形，画出三角形；
(2)写出平移后，，三点的坐标；
(3)求出三角形的面积.
【答案】(1)见解析；
(2)；；；
(3)．
【分析】本题考查了平移的作图，坐标的表示，求网格三角形的面积，学会用割补法求解三角形的面积，熟练利用平移的性质进行作图的解题的关键．
（1）根据网格结构找出点，，对应的点，，，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点坐标；
（3）用矩形的面积减去周围三个直角三角形面积计算即可．
【详解】（1）
（2），，；
（3）
21．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点P为直线上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点．
(1)的面积为 ．
(2)设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为 ．
(3)设点P的横坐标为，如果和的面积相等，且点P在点Q的右侧，那么应将点P向 （填“左”“右”）平移 个单位．
(4)如果的面积是的面积的2倍，那么点P的坐标为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)右，
(4)或
【分析】本题考查了关于、轴对称的点的坐标特征，三角形的面积公式以及坐标与图形变换．注意“数形结合”数学思想的应用．
（1）根据三角形的面积公式进行解答；
（2）关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；
（3）等底同高的两个三角形的面积相等；
（4）分类讨论①当点在原点左侧时，②当点在原点右侧时，设点表示的数为，则，即可得答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
的面积为：
（2）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴轴，
∵点为直线上任意一点（不与、重合），
∴点纵坐标为3，
∵点P的横坐标为a，
∴
∵点是点关于轴的对称点，
∴点的坐标是．
（3）解：和的面积相等，点到直线的距离都是3，
线段．
此时点是线段的中点，
，
，
应将点向右平移个单位．
（4）解：设点P示的数为，则点Q示的数为，
①当点在原点左侧时，
∵，，，
∴
解得：，
∴；
②当点在原点右侧时，
∵
则，
解得．
故或．
22．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”．
(1)点的“长距”为______；
(2)若点是“龙沙点”，求的值：
(3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“龙沙点”
【答案】(1)
(2)或
(3)说明见解析
【分析】本题考查平面直角坐标系，“长距”和“龙沙点”的定义，解题的关键是根据“长距”和“龙沙点”的定义，进行解答，即可．
（1）根据“长距”的定义，即可；
（2）根据“龙沙点”的定义，则，即可求出的值；
（3）根据“长距”的定义，先求出的值，再根据“龙沙点”的定义，即可．
【详解】（1）∵点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，
∴点到轴的距离为：；到轴的距离为，
∴点的“长距”为．
故答案为：．
（2）∵点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”，
∴当点是“龙沙点”，，
∴，
当，解得：；
当，解得：；
∴或．
（3）∵点的长距为，
∴，
解得：或；
∵在第二象限内，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴点，
∵，
∴点是“龙沙点”．
23．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．
(1)填空： ， ；
(2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积；
(3)在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标．
【答案】(1)，3
(2)
(3)或
【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质以及待定系数法等知识点：
（1）由非负数性质即得；
（2）根据三角形面积公式即得；
（3）根据三角形面积公式求出的长，再分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵a、b满足，
∴，且，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，且M在第三象限，
∴，
∴的面积；
（3）解：当时，
则，，
∵的面积的面积的2倍，
∵的面积的面积的面积，
解得：，
∵，
∴，
当点P在点C的下方时，，即；
当点P在点C的上方时，，即；
综上所述，点P的坐标为或．
24．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）如图所示，点A坐标，点B在y轴上，将沿x轴负方向平移，平移后的图形为，且点C的坐标为．
(1)请直接写出D点，E点的坐标 ， ．
(2)在四边形中，点P从点B出发，沿“”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题，并说明你的理由．
①求点P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示）．
②当t为多少秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数．
【答案】(1)，
(2)①或；②秒
【分析】（1）根据平移规律，解答即可．
（2）①根据题意，得，当点P在上时，结合，得到；当点P在上时，结合，得到，得到．
②分点P在和上，两种情况计算即可．
本题考查了点的坐标的平移变换、坐标与图形等知识点，熟练掌握点的坐标的平移变换规律是解题关键．
【详解】（1）∵点B的横坐标为0，点C的横坐标为，
∴平移方式为沿x轴负方向平移3个单位长度，
∵，，
∴，，
即，．
故答案为：，．
（2）①根据题意，得，
当点P在上时，
∵，
∴；
当点P在上时，∵，
∴，
∴．
综上所述，符合题意的点P坐标为或．
②∵，轴，
∴，
∴点P运动到点C所需时间为秒，运动到点D所需时间为秒，
当点P在上，即时，此时点P的坐标为，
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴，
解得，符合题意；
当点P在上，即时，此时点P的坐标为，
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴，
解得，不符合题意，舍去；
综上，当秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数．
25．（21-22七年级下·上海闵行·期末）平面直角坐标系中，已知．点是x轴上的一个动点（不与点A重合），点在y轴上，线段交直线于点C，过点P作，垂足为D．
(1)直接写出线段的长度（用含x的代数式表示），并直接写出的长度关系和的度数；
(2)如图1，当点P在线段上时，联结，若四边形的面积等于4，求此时点P的坐标；
(3)线段之间是否存在某种数量关系？请按照以下步骤进行探究：
①如图1，当点P在线段上时，求证：；
②当点P在x轴上运动时，这个结论总是成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，根据点P的不同位置特征画出图形，直接写出线段之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；②当点P在x轴上运动时，这个结论不总是成立；当点P在O点左侧时，；当点P在线段上时，；当点P在A点右侧时，
【分析】（1）根据点的坐标表示出两点间距离进而比较大小即可得出的长度关系，根据可得为等腰直角三角形，即可求出的度数；
（2）根据四边形的面积求解即可；
（3）①过点P作轴，交于H，先证明得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可证明；
②分情况讨论，当点P在O点左侧时，当点P在A点右侧时，根据全等三角形的判定和性质分别求解即可．
【详解】（1）∵，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵四边形的面积，
∴，
∴；
（3）①过点P作轴，交于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②当点P在x轴上运动时，这个结论不总是成立；
当点P在A点右侧时，过点P作轴，交于H，
∴，
∴，
∴，
，
此时，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
即；
当点P在O点左侧时，过点P作轴，交于H，
同理可得，，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上，当点P在x轴上运动时，这个结论不总是成立；当点P在O点左侧时，；当点P在线段上时，；当点P在A点右侧时，．
【点睛】本题考查了点的坐标的特征，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第十五章 平面直角坐标系 重难点检测卷
选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）经过点且平行于y轴的直线可以表示为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．（22-23七年级下·天津南开·期末）如图是小刚画的一张脸，如果他用表示左眼，用表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A． B． C． D．
3．（20-21八年级·全国·假期作业）已知两点，，且直线轴，则( )．
A．， B．，可取任意实数
C．可取任意实数， D．，
4．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，…，按此规律，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，若轴，则线段的最小值及此时点的坐标分别为（ ）
A．6， B．2， C．1， D．2，
6．（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋10次．移动规则是（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处）．按这样的规则，在这10次移动中，跳棋不肯停留的顶点是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．（2024九年级下·上海·专题练习）点和点关于 轴对称．
8．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为．若线段轴，且的长为3，则点B的坐标为 ．
9．（21-22七年级下·上海闵行·阶段练习）已知点与点关于轴对称，那么 ．
10．（20-21八年级上·山东烟台·期末）如图，点A、B分别在x轴和y轴上，，，若将线段平移至，则的值为 ．
11．（2024·上海普陀·二模）在直角坐标平面内，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，如果点和点恰好关于原点对称，那么点的坐标是 ．
12．（22-23七年级下·上海长宁·期末）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离分别为2、3，那么点的坐标为 ．
13．（23-24八年级上·上海崇明·期末）点的坐标为，点在轴上，且，则点的坐标为 ．
14．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）王明利用平面直角坐标系画出了家、学校和超市的地图，如图所示，可是他忘记了在图中标出原点、轴及轴，只知道代表学校点的坐标为，代表家点的坐标为，请你帮他写出代表超市点的坐标是 ．
15．（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知点在第一象限，且满足，则整数的值是 ．
16．（21-22七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点A的坐标为，若点B为坐标轴上的点，且为等腰三角形，则满足条件的B点有 个.
17．（21-22七年级下·上海·单元测试）在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转90°，得到的点的坐标为 ．
18．（23-24七年级下·湖北十堰·期中）如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ．
三、解答题（7小题，共64分）
19．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的顶点的坐标为，点的坐标为．
(1)在图中画出平面直角坐标系，写出点的坐标；
(2)点，线段的最小值为______，理由是______．
20．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，．
(1)把三角形向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到三角形，画出三角形；
(2)写出平移后，，三点的坐标；
(3)求出三角形的面积.
21．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点P为直线上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点．
(1)的面积为 ．
(2)设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为 ．
(3)设点P的横坐标为，如果和的面积相等，且点P在点Q的右侧，那么应将点P向 （填“左”“右”）平移 个单位．
(4)如果的面积是的面积的2倍，那么点P的坐标为 ．
22．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”．
(1)点的“长距”为______；
(2)若点是“龙沙点”，求的值：
(3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“龙沙点”
23．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．
(1)填空： ， ；
(2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积；
(3)在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标．
24．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）如图所示，点A坐标，点B在y轴上，将沿x轴负方向平移，平移后的图形为，且点C的坐标为．
(1)请直接写出D点，E点的坐标 ， ．
(2)在四边形中，点P从点B出发，沿“”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题，并说明你的理由．
①求点P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示）．
②当t为多少秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数．
25．（21-22七年级下·上海闵行·期末）平面直角坐标系中，已知．点是x轴上的一个动点（不与点A重合），点在y轴上，线段交直线于点C，过点P作，垂足为D．
(1)直接写出线段的长度（用含x的代数式表示），并直接写出的长度关系和的度数；
(2)如图1，当点P在线段上时，联结，若四边形的面积等于4，求此时点P的坐标；
(3)线段之间是否存在某种数量关系？请按照以下步骤进行探究：
①如图1，当点P在线段上时，求证：；
②当点P在x轴上运动时，这个结论总是成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，根据点P的不同位置特征画出图形，直接写出线段之间的数量关系．
