高2025届高二（下）学期半期考试数学试题
一、单选题
1. 已知函数，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合导数的运算法则和导数的定义，即可求解.
【详解】由题意知，，
又由，则，所以
故选：A．
2. 随机变量服从两点分布，且，令，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点分布的性质求出，则.
【详解】因为随机变量服从两点分布，且，
所以，
由，所以.
故选：D
3. 定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到，再结合即可求解的值．
【详解】依题意得，
又，所以．
故选：C．
4. 由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 180种
【答案】B
【解析】
【分析】由排列组合及简单计数问题求解即可.
【详解】要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有
种.
故选：B.
5. 已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，求出取值范围即可.
【详解】因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，令，
所以，
所以在上单调递减，所以，
故，所以的取值范围是.
故选：D.
6. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
A. 36 B. 400 C. 420 D. 480
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，依次分析5个区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分4步进行分析：
①，对于区域，有5种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种；
故选：C．
7. 函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为任意，都有，所以是函数的最小值，也是极小值，又当时，，故只需即可.
【详解】由，又，
因为任意，都有，
所以是函数的最小值，也是极小值，
故有两实根，即有两实根，则，
记二次函数的零点为，
且，则在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，因为是最小值，
所以，即，
解得，故，
故选：B．
8. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围.
【详解】由题意可知：，
设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，
且，，则公切线的斜率，可得，
则公切线方程为，
代入得，
代入可得，整理得，
令，则，
若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，
设，则，
令，解得；令，解得；
则在内单调递增，在单调递减，可得，
且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于，
可得，解得，故实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类， 不同的结果共有64种
B. 用 三个数字可以组成9个三位奇数
C. 从6位专家中选出 2 位组成评审委员会， 则组成该评审委员会的不同方式共有15种．
D. 用 这 7 个数字组成无重复数字的四位偶数有420个．
【答案】CD
【解析】
【分析】根据分类加法计数原理，分步乘法计数原理和排列组合依次计算每个选项的结果即可得到结果.
【详解】对于A，第1位同学可以从三类不同的图书中任选一类，有3种选法，同理，其他的3位同学也都各有3种选法，则不同的选书方法有种，故选项A错误；
对于B，个位可以放1,3，十位和百位都可以放1,2,3，所以有个奇数，故选项B错误；
对于C，6位专家中选出 2 位组成评审委员会，则有种不同的方式，故选项C正确；
对于D，分个位数字0和个位数字不为0两种情况：个位数字为0时，有个；
个位数字不为零时，先从2,4,6三个数字中选一个作为位数字，再从除0和个位数字外的5个数自选一个作为首位数字，然后从剩下的数字中选2个进行全排，则有，由分类加法计数原理可得共有种，故选项D正确；
故选：CD
10. 已知2，n，8成等差数列，则在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 二项式系数之和为32 B. 各项系数之和为1
C. 常数项为40 D. 展开式中系数最大的项为80x
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差中项可得.对于A：根据二项式系数之和的结论直接运算求解；对于B：利用赋值法运算求解；对于C、D：利用二项展开式的通项公式运算求解.
【详解】由题意可得：，则，
对于选项A：二项式系数之和为，故A正确；
对于选项B：令，可得各项系数之和为，故B正确；
对于选项C、D：因为的展开式的通项公式为：
，
所以，
展开式中没有常数项，故C错误；
展开式中系数最大的项为80x，故D正确；
故选：ABD.
11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知题意，探索递推规律，由规律得通项，由此判断选项.
【详解】由题意得，第层有个球，.
即，，，，
因为，所以，A正确；
由，当时，，故B错误，C正确；
由，D正确；
故选：ACD.
12. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正整数k，使得恒成立
D. 对任意两个正实数，且，若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D.
【详解】对于A，定义域为，，
时,时，是的极小值点，A错误；
对于B，令，
在上递减，，有唯一零点，B正确；
对于C，令，
令，时,时,，
在上递减，在上递增，则，
，在上递减，图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；
对于D，由A选项知，在上递减，在上递增，
由正实数，且，，得，
当时，令，
，即在上递减，
于是有，从而有，
又 ，所以，即成立，D正确.
故选：BD
三、填空题
13. 已知函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值．
【详解】由题意，所以．
故答案为：．
14. 我校举行英语演讲比赛，参加决赛的甲 乙 丙等七人分别上台演讲，其中甲 乙演讲的顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个演讲，则不同的安排方法共有__________.种
【答案】960
【解析】
【分析】将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可.
【详解】将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个演讲，
则丙的位置有4个，将剩余5个元素再排序有种方法，
故不同的安排方法共有种.
故答案为：960.
15. 展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法可得，然后根据展开式的的通项即得.
【详解】因为展开式中，各项系数之和为，
∴，
又的展开式的通项为，
由可得，由可得，
因此展开式中的常数项为.
故答案为：200.
16. 定义在R上的可导函数，当时，恒成立，，，则a,b,c的大小关系为__________
【答案】b>a>c
【解析】
【分析】根据题意，可设函数，求出，结合题意可得，即函数为减函数，进而分析可得，，，结合函数的单调性分析可得答案.
【详解】根据题意，设函数，则.
∵当时，恒成立
∴，即函数为增函数
∵，，
∵为增函数
∴
故答案为.
【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“，”和“，”的联系构造函数.
四、解答题
17. 已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求函数的单调区间；
（2）求在的最值．
【答案】（1）的单调递增区间为，，单调递减区间为
（2）的最小值为，最大值为
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，结合切线方程可得，的方程组，解之得到的解析式，再利用导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）利用导数求得的极值和端点处的函数值，从而得解.
【小问1详解】
因为，所以，
由于在点处的切线方程为，即切点为，
所以，即，解得，
所以，则，
令，得或；令，得；
故的单调递增区间为，，单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）知，上单调递增，上单调递减；
又，，
，，
所以在的最小值为，最大值为7．
18. 已知是各项均为正数等比数列，，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的公比为，根据题意，列出方程求得公比，即可求得等比数列的通项公式；
（2）由（1）得，结合裂项相消法，即可求解.
【小问1详解】
解：设的公比为，由的各项均为正数，可得，
因为成等差数列，所以，
又因为，可得，化简得，
解得或（舍去），
故的通项公式为.
【小问2详解】
解：由（1）知，
设的前项和为，
则.
19. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问：
（1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
（2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
（3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型求解；
（2）利用条件概率求解；
（3）利用全概率求解.
【小问1详解】
设事件“取出饺子是肉馅”，，
【小问2详解】
设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，
事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，
【小问3详解】
设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.
设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，
20. 甲、乙两队进行排球比赛，规则是：每个回合由一方发球，另一方接球，每个回合的胜方得1分，负方不得分，且胜方为下一回合的发球方．无论之前得分情况如何，每个回合中发球方得分的概率均为，接球方得分的概率均为，且第一回合的发球方为甲队．
（1）求第二回合甲队得分的概率；
（2）设前三个回合中，甲队发球的次数为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）分甲第一回合得分且第二回合得分和甲第一回合不得分且第二回合得分两种情况讨论，结合相互独立事件的概率公式计算即可；
（2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可.
【小问1详解】
甲第一回合得分且第二回合得分的概率为，
甲第一回合不得分且第二回合得分的概率为，
所以第二回合甲队得分的概率为；
【小问2详解】
由题意可取，
则，
，
，
所以的分布列为：
所以.
21. 已知，R．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．
【答案】（1）分类讨论见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）求导，分，两种情况讨论导函数正负，即得解；
（2）转化原不等式为在区间内恒成立，令，求导分析单调性，即得解
【小问1详解】
由题意得的定义域为，
，
①时，，在内单调递减，
②时，令得或（舍）
当，单调递减
当，，单调递增．
【小问2详解】
由题意得，
整理得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立，
令，则，
令，易知在区间内单调递增，
又，，故存在唯一的，使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故当时，函数有极大值，也即为最大值，
，
故，又，故，
又a为整数，故a的最小整数值为
22. 已知函数，的导函数为.
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先由导数证明，再由，得出，求出的最小值得出实数a的取值范围；
（2）将条件转化为方程在上有两个不同的实数根，由函数单调性得出取值范围，利用换元法得出得，再由的单调性证明不等式.
【小问1详解】
，
设，则，
所以在上单调递增，，
所以令，得，即.
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以， 所以，此时，在上单调递增，
故a取值范围是.
【小问2详解】
要证在上有两个不同的实数根.
即证方程在上有两个不同的实数根，
即证方程在上有两个不同的实数根，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，
又，，
所以方程在上有两个不同的实数根，，且.
因为，所以，
又，所以，（点拨：根据函数的单调性得到的范围）
易知，，
两式分别相加、相减得，，
得，
设，则，，
所以.（换元，将双变量问题转化为单变量问题）
设，则，
所以在上单调递减，所以，得证.
【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于利用，将双变量转化为单变量问题，再由导数证明不等式.高2025届高二（下）学期半期考试数学试题
一、单选题
1. 已知函数，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
2 随机变量服从两点分布，且，令，则（ ）
A. B. C. D.
3. 定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
4. 由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 180种
5. 已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
A 36 B. 400 C. 420 D. 480
7. 函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类， 不同的结果共有64种
B. 用 三个数字可以组成9个三位奇数
C. 从6位专家中选出 2 位组成评审委员会， 则组成该评审委员会的不同方式共有15种．
D. 用 这 7 个数字组成无重复数字的四位偶数有420个．
10. 已知2，n，8成等差数列，则在展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 二项式系数之和为32 B. 各项系数之和为1
C. 常数项为40 D. 展开式中系数最大的项为80x
11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）
A. B. C. D.
12. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正整数k，使得恒成立
D. 对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题
13. 已知函数，则__________.
14. 我校举行英语演讲比赛，参加决赛的甲 乙 丙等七人分别上台演讲，其中甲 乙演讲的顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个演讲，则不同的安排方法共有__________.种
15. 展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为__________．
16. 定义在R上的可导函数，当时，恒成立，，，则a,b,c的大小关系为__________
四、解答题
17. 已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求函数的单调区间；
（2）求在的最值．
18. 已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问：
（1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
（2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
（3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.
20. 甲、乙两队进行排球比赛，规则是：每个回合由一方发球，另一方接球，每个回合的胜方得1分，负方不得分，且胜方为下一回合的发球方．无论之前得分情况如何，每个回合中发球方得分的概率均为，接球方得分的概率均为，且第一回合的发球方为甲队．
（1）求第二回合甲队得分概率；
（2）设前三个回合中，甲队发球的次数为，求的分布列及数学期望．
21. 已知，R．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．
22. 已知函数，的导函数为.
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若，求证：方程在上有两个不同实数根，且.
