内江六中2023--2024学年（下）高2026届半期考试
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设平面向量，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵ ∴
故选A；
【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算；
【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键；
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的概念判断即可.
【详解】复数的虚部为.
故选：C
3. 在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用 、表示即可判断作答.
【详解】在所在平面内，在延长线上，且，则，又是的中点，
所以.
故选：C
4. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和与差的正切公式即可求解.
【详解】．
故选：D.
5. 已知，则向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量模的计算公式，化简求得，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由题意，向量，
可得，解得，
又由，可得.
故选：C.
6. 在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理计算可得.
【详解】因，所以，
又是直线上的一点，所以，
又，
所以，所以.
故选：B
7. 在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论．
【详解】在△ABC中，由，得 ，
则，
所以，即，则，
又，，则，所以，即，
所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角．
故选：A．
8. 已知函数在区间上单调递增，则下列选项中错误的是（ ）
A. 函数两个零点的最小距离为，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，且函数在区间有唯一零点，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦型函数的周期性，单调性等有关的性质逐一进行分析，判断各项是否正确.
【详解】对于A中，函数在区间上单调递增，
所以该函数的最小正周期满足，所以，
当时，成立，所以的最大值为2，所以A正确；
对于B中，因为在区间上单调递增，
故有，
当时，，所以，
所以，所以，
又因为，故，可得，所以B正确；
对于C中，由于，故当时，，故C错误；
对于D中，当，，所以，
又因为函数在区间有唯一零点，所以，解得，所以D正确.
故选：C
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，
，故A正确；
对于B，因为，
可得，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：AC.
10. 已知向量，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D. 若，则向量在向量上的投影向量为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A；利用向量垂直的充要条件的坐标表示判断B；利用向量夹角的坐标表示判断C; 利用向量投影的坐标表示判断D
【详解】若，则，解得，故A正确．
若，则，解得，故B错误．
若，则，又，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C正确．
若，则，又，所以向量在向量上投影向量为，故D错误．
故选：AC．
11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的表达式可以写成
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的对称中心，
D. 若方程在上有且只有6个根，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用特殊点求得函数的解析式即可判断A，根据相位变换求得新函数解析式即可判断奇偶性，即可判断B，先求出的解析式，然后代入正弦函数对称中心结论求解判断C，把问题转化为根的问题，找到第7个根，即可求解范围判断D.
【详解】对A，由，得，即，
又，所以，又的图象过点，
则，即，
所以，即得，，又，所以，
所以，故A正确；
对B，向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确；
对于C，，
令得，
所以对称中心，，故C正确；
对于D，由， 得，
因为，所以，
令，解得.
又在上有6个根，则根从小到大为，
再令，解得，则第7个根为，，故D错误．
故选：ABC.
12. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则面积的最大值为
B. 若，且只有一解，则b的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为
D. 若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可根据余弦定理，结合不等式求解A；根据正弦定理即可求解B，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求C，根据余弦定理得，即可根据二次函数的性质求解D.
【详解】由正弦定理可得，即
因为，所以，所以，
对于A，若，
由余弦定理得，
由，，可得，
即，当且仅当时等号成立，
则面积，所以面积的最大值为，故A正确；
对于B，若，且，由正弦定理得，
所以，
当时，即，时有一解，故B错误；
对于C，若，由正弦定理得，所以
，
由于为锐角三角形，故且，故，
因此，故，故C正确；
对于D，由于为锐角三角形，，，
所，
故AC边上的高为，故D错误．
故选：AC
第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在中，已知，则角为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理的变形形式即可求解.
【详解】在中，，所以，
，
又因为，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
14. 函数，最大值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用辅助角公式，结合定义域求解出函数的最大值.
【详解】
，
又，
，．
的最大值为2．
故答案为：2
15. 如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用直角三角形的边角关系求解即得.
【详解】在中，，
，
由正弦定理得，则，
在中，，因此，
所以这颗银杏树的高度为.
故答案为：
16. 已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】设证明四点共圆.设外接圆半径为,要使最大，所以必须过圆心，利用正弦、余弦定理求出即得解.
【详解】
设
所以, 所以,
所以，
因为，
所以
所以四点共圆.设外接圆半径为,
要使最大，所以必须过圆心，
此时，在中，由余弦定理得.
由正弦定理得.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 设复数，其中.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可；
（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.
【小问1详解】
是纯虚数，只需，解得.
【小问2详解】
由题意知，
解得，
故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.
18. 已知函数．
（1）把化为的形式，并求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间以及对称中心．
【答案】（1）；
（2），；，
【解析】
【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦型函数性质求解；
（2）由正弦型函数的单调区间可得，根据正弦型函数的对称中心可求解对称中心.
【小问1详解】
，
所以最小正周期为．
【小问2详解】
由，，
解得，，
所以的增区间为，．
由，，
解得，，
所以对称中心为，.
19. 在中，，，边，上的点，满足，，为中点．
（1）设，求实数，的值；
（2）若，求边的长．
【答案】（1），；
（2）8.
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；
（2）用、表示出，再根据数量积的运算律及定义计算可得.
【小问1详解】
因为，，
所以，，
所以
，
又，且、不共线，
所以，；
【小问2详解】
因为，
所以
，
解得或（舍去），即边的长为．
20. 在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”，“×乘”）．向量与的向量积记作：．其中的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量与所在平面，它的长度．现在我们定义一种运算规则“”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为，规定示．试求解下列问题：
（1）已知向量，满足，，，求的值；
（2）已知向量，，，求的最小值．
【答案】（1）2 （2）9
【解析】
【分析】（1）借助新定义计算即可得；
（2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据，结合基本不等式计算即可得.
【小问1详解】
由己知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
【小问2详解】
法一：设，，则，，
所以，
，
所以，
故，
，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值的最小是9．
法二：，故．故．
故
，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值的最小是9．
21. 为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC区域）进行分区改造．△BNC区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC区域规划为学生自主栽培区．△MNC的周围将筑起护栏．已知m，m，，，设．
（1）若m，求护栏的长度（△MNC的周长）；
（2）试用表示△MNC的面积，并研究△MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）（m）
（2），最小值为．
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理证得，从而判断得是正三角形，由此得解；
（2）在与中，利用正弦定理求得与关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到关于的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.
【小问1详解】
依题意，在中，m，m，，
所以，则，
，即，
所以，又，故，
所以是正三角形，则m，m，
所以护栏的长度为（m）．
【小问2详解】
学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下：
设，在△ANC中，，
则，
由正弦定理得，得，
在中，，
由正弦定理得，得，
所以
，
所以当且仅当，即时，
的面积取得最小值为．
22. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求证：；
（2）若，求a边的范围；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）由，进而得到，再利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式求解；法二：由，利用正弦定理转化为，进而得到，再利用和差化积求解.
（2）由（1）知，进而得到，再根据为锐角三角形，得到，再由，利用正弦定理求解；
（3）由（2）知，转化为，再令，得到求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以，
由正弦定理可得，
又因为，
代入可得，
即，
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以．
法二：由正弦定理可得：，
则，
则，
又，故，
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
【小问2详解】
因为为锐角三角形，，
所以，
由，解得，
又故．
小问3详解】
由（2）知．
由，
，
令，则在上单调递增，所以，
所以的取值范围为．内江六中2023--2024学年（下）高2026届半期考试
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设平面向量，则
A. B. C. D.
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. 2 B. C. D.
3. 在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（ ）
A B.
C. D.
4. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
8. 已知函数在区间上单调递增，则下列选项中错误的是（ ）
A. 函数两个零点最小距离为，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，且函数在区间有唯一零点，则
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知向量，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D. 若，则向量在向量上的投影向量为
11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的表达式可以写成
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的对称中心，
D. 若方程在上有且只有6个根，则
12. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则面积的最大值为
B. 若，且只有一解，则b的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为
D. 若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为
第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在中，已知，则角为_________.
14. 函数，的最大值是______．
15. 如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为_________________.
16. 已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17 设复数，其中.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
18. 已知函数．
（1）把化为的形式，并求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间以及对称中心．
19. 在中，，，边，上的点，满足，，为中点．
（1）设，求实数，的值；
（2）若，求边的长．
20. 在第六章平面向量初步中我们学习了向量加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”，“×乘”）．向量与的向量积记作：．其中的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量与所在平面，它的长度．现在我们定义一种运算规则“”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为，规定示．试求解下列问题：
（1）已知向量，满足，，，求的值；
（2）已知向量，，，求的最小值．
21. 为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC区域）进行分区改造．△BNC区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC区域规划为学生自主栽培区．△MNC的周围将筑起护栏．已知m，m，，，设．
（1）若m，求护栏的长度（△MNC的周长）；
（2）试用表示△MNC的面积，并研究△MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．
22. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求证：；
（2）若，求a边的范围；
（3）求的取值范围．
