《圆周角和圆心角的关系》教学设计
焦作市第五中学 陈丽丽
一、教材内容及其解析
本节课是北师大版数学九年级下册第三章第4节第一课时的内容，它是在学生学习了圆的相关概念和圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角和圆心角的关系。通过本节课的学习，一方面可以加深学生对圆的基本概念的理解；另一方面本节知识的建立实现了角、弧、弦等量与量之间关系的转化，在与圆有关的推理、论证和计算中应用广泛，是后续研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带。因此，本节内容具有在知识上承上启下的重要地位。而本节课对于提高学生推理论证的能力，领悟分类讨论、转化与化归的数学思想方法方面更是具有不可替代的作用。
二、学生学情分析
九年级学生在此前的学习中，经历了许多动手实践、合情推理与演绎推理探究图形性质的数学活动，积累了丰富的合作学习的经验，并且具备一定的从实际问题中抽象出几何图形的能力.这为本节课的教学提供了必要的前提条件。但是从已有的探究直线型图形的经验向圆的转换还需要一个过程.尤其对于分类讨论、转化与化归的数学思想方法的理解还存在一定的个体差异，这些问题又对本节课的教学提出了挑战。
三、教学目标及其解析
通过以上对教材的理解和学生实际情况的分析，制定了如下的教学目标：
1.理解圆周角的概念。
2.探究并证明圆周角与圆心角的关系。
3.会用圆周角与圆心角的关系进行简单的推理和计算。
4.经历观察、猜想、推理论证探索圆周角定理的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，领会分类讨论的数学思想。
5.通过自主探索、合作交流等活动，培养学生合作意识和学习数学的兴趣。
重点：圆周角定理的探索与论证。
难点：理解定理需分三种情况证明的必要性。
四、教学策略分析
新课改倡导积极主动，勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生 ,根据本节课的教学特点和学生的实际，主要采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，并用多媒体辅助演示和训练，在探索圆周角和圆心角的过程中，不是简单地让学生去发现课本上给出的定理，而是让学生通过动手操作，经历知识形成过程，从而引导学生发现圆周角定理及推论，给学生创设自主探索、合作交流、独立获取知识的机会。使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略。让不同的学生在数学上得到不同的发展，使他们都能获得学习数学的兴趣和热情，在轻松愉快的课堂氛围中让学生获得知识、形成能力，力争达到教与学的完美统一。
五、教学过程设计
根据学生的认知规律，按照循序渐进的原则，教学过程分为以下环节：
（一）创设情境，引入新课；
（二）探究新知，交流展示；
（三）练习巩固，运用所学；
（四）当堂检测，及时反馈；
（五）课堂小结，感悟收获；
（六）布置作业，分类达标。
（一）创设情境，引入新课
新课程标准指出：“对数学的认识，应处处着眼于数学与人的发展和现实生活之间的密切联系”.基于这一理念创设了如下情境.
播放一段“2010年世界杯巴西对朝鲜0角度进球”小视频，老师想问：你知道这粒进球为什么能技惊四座吗？学生回答。老师根据学生回答说明他技术高超，使在座的人惊叹不已！同学们，足球运动想必是大家都很喜欢的球类运动。
问题1：如图所示，有B、D、E三个射门位置，如果你是运动员你会选择哪个位置射门？
怎样用数学知识解决这个问题呢？通过我们今天的学习大家就清楚了.（板书课题）学生齐读学习目标。
设计意图：这个环节通过联系生活中学生喜闻乐见的足球射门活动，创设具有一定挑战性的问题情境，导入新课。目的在于激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力尽快地集中到本节课的学习中.同时让学生经历与体验数学与生活的密切联系。当学生有了探究的欲望但又不知从何而入手的时候，教师顺水推舟，进入本节的中心环节，探究新知.这一环节有两大任务：1.建立概念；2.探究定理.
（二）探究新知，展示交流
1.类比归纳、建立概念
在射门过程中,球员射中球门难易与他所处的位置B,对球门AC的张角（ ∠ABC ）有关.
我们知道，选择射门位置的问题就是比较这三个角（课件强调射门角）大小的问题，为此,我们先来认识一下这样个角。
问题2：这三个角有什么共同的特征？
请大家观察，它与前面所学的圆心角有什么不同？图中三个张角∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
通过观察，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：
特征：① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.
问题3：你能类比圆心角为圆周角下个定义吗？
学生概括得出圆周角定义: 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
设计意图:选择新旧知识的切入点，引导学生对比圆心角,归纳圆周角的特征,从而概括出圆周角的定义.这样既复习上节课的内容，加强各知识点之间的联系.同时,在建立概念的过程中，又提高了学生的观察与归纳能力.
紧接着随堂练习：
设计意图:通过对具体问题的辨析，来加深学生对圆周角特征的理解。
2 .小组合作，探究定理
为了更好的突出重点、突破难点，本环节设置了三个活动，分别是：定理的发现；定理的证明；定理的启示.
活动（1）观察猜想、发现定理
根据圆周角的定义,我们发现选择射门位置的问题,就是比较同一条弧所对的圆周角大小的问题.
我们知道，同一条弧所对圆心角只有一个，请同学们在圆O上画出几个弧BC所对的圆周角？你能画几个呢？请同学们大胆的说出你的猜想！学生很易得到：无数个，同一条弧所对的无数个圆周角有什么关系？为了解决这个问题，我们先来研究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系？为此,我们先来观察弧AC所对的圆心角和圆周角具有什么关系
1.请同学们在圆上确定一条劣弧BC，画出它所对的圆心角和圆周角。
2.它们的大小有什么关系呢？你是通过什么方法得到的？学生在练习本上画图、测量，总结得到结论，老师(几何画板展示度量值)
通过测量的方法得知：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半.
对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证才能作为定理来用，怎么证明呢？
活动（2）小组合作、证明定理
如何写出已知、求证呢？学生回答。
已知：在圆o中弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC.求证：∠BAC=∠BOC.
设计意图：学生要解决这一问题有一定的难度，但仍要留一定的时间，让他们分小组讨论、交流进行思考。
议一议：我们知道，一条弧所对圆周角角有无数个。
思考：圆心O与这些圆周角有几种不同位置关系呢？请同学们大胆的提出你的猜想！
引导学生得出：圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论，先考虑书上小亮的这种特殊的证法即圆心在角的边上，学生很容易理解，在此基础上，引导学生观察书上的两种情况，这两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？通过学生互相讨论、交流，得出解题途径．在展示证明思路的过程中，可以引导学生总结出需要分三种情况证明。即（1）圆心在圆周角内部； （2）圆心在圆周角边上；（3）圆心在圆周角外部。
（1）圆心在圆周角内部； （2）圆心在圆周角边上； （3）圆心在圆周角外部。
学生先独立思考，写下证明过程，并小组交流讨论，上台展示三种情况的证明。
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
推论：同弧所对的圆周角相等.
活动（3）定理的启示
引导学生归纳：当解决一个问题有困难时，我们首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般性的问题，这是解决问题时常用的策略。渗透分类讨论及转化与化归的数学思想方法。在进入下一环节之前要像学生强调对定理的认识是对一条弧的认识，接下来进入知识巩固环节。
设计意图：由于问题的开放性，学生获得了探究知识的主动权，探究热情自然会更为高涨.在学生独立思考之后，教师组织学生小组讨论，让学生充分交流自己的想法.由于学生个性不同，能力不同，选择探究问题的角度自然不同.所以在展示证明思路的过程中，可以引导学生总结出需要分三种情况证明。并且学生能够深刻体会到当圆心在圆周角的一条边上时，证明最为简单，其它两种情况可以转化为这种特殊的情况得以解决。从而归纳出定理给我们带来的启示，即从特殊到一般的思考问题的方式。
问题4：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.若弧AD=弧AC，则∠1与∠2是否相等，为什么？
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
解决课前问题：
问题：如图所示，有B、D、E三个射门位置，如果你是运动员，你会选择哪个位置射门？
学生很容易得出无论站在哪个射门位置，进球可能性一样大，因为∠ABC=∠ADC=∠AEC即同一条弧所对的圆周角相等。
设计意图：解决课前问题，让学生明白数学来源于生活，又应用于生活，学以致用。
（三）练习巩固，运用所学
1.如图点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= ，理由是 ;
(2)∠BDC= ，理由是 。
.
本题采用学生口答，让学生掌握基本定理应用，注意是同一条弧。
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
完成下列填空：
∠1= . ∠2= . ∠3= .∠5= .
本题让学生明确同弧所对圆周角的相等，加深对定理推论的理解。
3.如图所示，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若∠ BOD=50°，求∠ A 的度数.
本题难度加大，让学生明确”弦、弧、角等量与等量之间关系的转化。
设计意图：练习是理解和巩固知识的重要手段，也是开发学生智力、培养学生能力的重要途径. 根据学生的认知规律，循序渐进地设计有目的、有坡度、有层次的练习题，这样能让学生更好地掌握知识，使不同程度的学生个性得到充分的展示.
（四）当堂检测，及时反馈
学生对所学知识是否掌握了呢？ 为了检测学生对本课教学目标的达成情况,进一步加强知识的应用训练,我设计了组题目. 由易到难,由简单到复杂,满足不同层次学生需求,针对解答情况,采取措施及时弥补和调整.
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
学生两分钟独立完成，这样设计检测对所学概念的是否能正确区分，（1）题检测对定理推论的应用，学生容易判断（2）题要注意“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则不成立（3）题难度有点大，需要学生深度思考，使学生明确同弦所对弧有优弧和劣弧，所对圆周角相等或互补。
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=48°, 则∠AOB= ．
设计本题主要检测学生对圆周角定理的应用，难度不大。
3.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是多少？ .
最后一题也主要检测圆周角定理的应用，结合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”进行解题。
设计意图：当堂检测的设计既使学生明确本节课的重难点。又能检测学生是否对概念、定理的理解，并学以致用。
（五）课堂小结，感悟收获
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？
我们获得这些数学知识，经历了怎样的过程？引导学生回顾知识形成的过程。
设计意图:这样有利于强化学生对知识的理解和记忆,提高分析和小结能力建立自己的知识网络系统.帮助学生梳理本节课所学的知识，建立自己的知识网络系统.
板书：
设计意图：板书设计是整个课堂教学的有机组成部分，任何一则好的板书都是为一定的教学目的服务的，这样的板书设计使学生对本节课重点一目了然。
（六）布置作业，分类达标
（基本题)
课本习题3.4 1、2题
（发散探究）
船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
设计意图：这两类作业的设计突出一个层次性，满足不同基础水平的学生需要，使不同的人在数学上得到不同的发展。
教师寄语：
学而不思则罔，思而不学则殆！希望同学们每天都能有所思、有所想，在学思中前进，在前进中享受幸福！
以上是我对本节课的教学设计，不足之处敬请批评指正。 谢谢大家！
转化
转化
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
B
A
C
O
C
A
B
O
5 / 6(共39张PPT)
（一）创设情境，引入新课
你知道刚才这粒进球为什么能技惊四座吗？
（一）创设情境，引入新课
问题1：
如图所示，有B、D、E三个射门位置，如果你是运动员，你会选择哪个位置射门？
在射门过程中,球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（ ∠ABC ）有关.
1.理解圆周角的概念。
2.探究并证明圆周角与圆心角的关系。
3.会用圆周角与圆心角的关系进行简单的推理和计算。
学习目标
选择射门位置的问题，就是比较这三个张角（射门角）大小的问题，为此，我们先来认识一下这个角。
问题2：这三个角有什么共同特征？
图中三个张∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
（二）探究新知，交流展示
共同特征：① 角的顶点在圆上.
②角的两边都和圆相交.
概括与表述---形成概念
问题3：你能类比圆心角为圆周角下个定义吗？
圆心角
顶点在圆心,并且两边都与圆相交的角叫圆心角， 如∠AOC.
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
1.圆周角的定义
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
（4）
知识应用于生活
根据圆周角的定义,我们发现，选择射门位置的问题,就是比较同一条弧所对的圆周角大小的问题.
解决问题
A1
A2
A3
一条弧所对圆心角只有一个。
请同学们在圆O上画出几个弧BC所对的圆周角？你能画几个呢？
无数个
议一议：
请同学们大胆的说出你的猜想！
1.请同学们在圆上确定一条劣弧BC，画出它所对的圆
心角和圆周角。
2.它们的大小有什么关系呢？你是通过什么方法得到的？
先研究同一条弧所对的圆周角与圆心角的大小关系
活动（1）观察猜想、发现定理
测量法
结论：圆周角的度数_______它所对弧上圆心角度数的一半.
测量法：如图，∠ABC与∠AOC存在怎样的数量关系.
等于
活动（1）观察猜想、发现定理
对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证才能作为定理来用，怎么证明呢？
已知：如图，在圆O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC.
求证：∠BAC= ∠BOC.
活动（2）小组合作、证明定理
你能写出已知、求证吗？
结论：圆周角的度数_______它所对弧上圆心角度数的一半.
等于
A1
A2
A3
一条弧所对的圆周角有无数个
思考：圆心O与这些圆周角有几种不同的位置关系呢？
议一议：
圆心O在∠BAC的内部
圆心O在
∠BAC的一边上
圆心O在
∠BAC的外部
圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
∠BOC= 2∠ A
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
当解决一个问题有困难时，我们首先考虑其特殊情
形，然后再设法解决一般性的问题，这是解决问题时
常用的策略，即从特殊到一般的思考问题的方法。
（活动3）定理的启示：
A1
A2
A3
推论：
同弧所对的圆周角相等.
问题4：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？
⌒
⌒
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
2.圆周角定理及其推论
A1
A2
A3
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识应用于生活
问题：如图所示，有B、D、E三个射门位置，如果你是运动员，你会选择哪个位置射门？
∠ABC=∠ADC=∠AEC
同一条弧所对的圆周角相等
解决课前问题
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= ，理由
是 ;
(2)∠BDC= ，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半
（三）巩固知识，运用所学
(1)完成下列填空：
∠1= .
∠2= .
∠3= .
∠5= .
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
解：连接OC，如图所示.
∵ BC=BD，∴∠ BOC= ∠ BOD=50° .
∴∠ A= ∠ BOC= ×50° =25° .
3.如图所示，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=弦BD， 若∠BOD=50°，求∠ A 的度数.
知识因传播而美丽
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
（四）当堂检测，及时反馈
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
∠ABC=48°, 则∠AOB= ．
B
A
C
O
164°
3.如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 .
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
2
（五）课堂小结，感悟收获
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？
圆周角定义
一个条件
圆周角定理
两个条件
推论
三个条件
同弧或等弧所对
的圆周角相等
圆周角和圆心角的关系
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交
（五）课堂小结，感悟收获
我们获得这些数学知识，经历了怎样的过程？
现实情景
知识的形成
数学问题
抽象
建立概念
类比
探究定理
推理
解决问题
运用
射门活动
比较角的大小
圆周角
分类讨论、转化的思想
应用于生活
（六）布置作业，分类达标
（基础题)
课本习题3.4
1、2。
船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
发散探究
学而不思则罔，思而不学则殆！希望同学们每天都能有所思、有所想，在学思中前进，在前进中享受幸福！
【教师寄语】
欢迎指导！
