第一章 整式的乘除
平方差公式（第1课时）
课时安排说明:
《平方差公式》共分两课时，第一课时，主要是利用多项式乘法法则推导平方差公式，运用公式进行计算；第二课时，主要是了解平方差公式的几何背景，运用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算.
学生起点分析
学生的知识技能基础：七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法.
学生活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.
教学任务分析
学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.
本节课的教学目标是：
1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.
2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.
3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.
教学过程设计
基于对教材以及教学任务的分析，本节课设计了六个教学环节：创设情境、引入新课；探究规律、发现结论；典例分析、巩固提高；观察思考、拓展延伸；当堂达标、自我检测；课堂小结、分层作业.
第一环节 创设情境、引入新课
活动内容：从前有一个狡猾的地主，他把一块边长为a米的正方形土地租给了农户张老汉。第2年他对农户张老汉说：“我把土地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，租金不变继续租给你，你也没有吃亏，你觉得如何？”张老汉想了想，一边少5米，一边多5米好像没有吃亏，于是就回答了好。张老汉回到了家里，把这个事告诉了儿子，他的儿子说：“您吃亏了”！同学们，你们觉得张老汉吃亏了吗？现在不妨和老师一起计算一下吧！
活动目的：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则，设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备.
实际教学效果：在引入的过程中，学生从知识和心理等方面，做好探究新知识的准备，从而为本节课平方差的探究学习奠定了基础.
第二环节 探究规律、发现结论
活动内容：
1.提出问题
计算下列各题
① (x＋1)(x－1)； ② (m＋2)(m－2)；
③ (2x＋1)(2x－1)； ④ (x＋5y)(x－5y) .
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？
活动目的：在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述.
实际教学效果：问题提出后，学生能够主动地去寻找解决问题的方法.利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了.观察学生所列的以及这四个算式的特征，学生经过思考、讨论、交流，了解了平方差公式的本质特征，掌握了运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到平方差公式：(a+b)(a b)＝a2 b2，两数和与两数差的积，等于它们的平方差.
第三环节 典例分析、巩固提高
活动内容：
巩固练习，填一填
(a+b)(a-b) a b a2-b2
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
活动目的：通过填空题的设计，让学生进一步加深对平方差公式形式的理解.
实际教学效果：学生在平方差公式的基础上，结合填空题的题样，重新审视平方差公式，进一步理解如何确定平方差公式中的a和b.
活动内容：
例1 利用平方差公式计算：
（5+6x）（5－6x）； （2）（x－2y）（x+2y）
（－m+n）（－m－n）
巩固练习
利用平方差公式计算：
（1） （a+2）（a－2）； （2）（3a+2b）（3a－2b）
活动目的：在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.
实际教学效果：此环节的设计注意层次的递进，符合学生的认知过程.在计算过程中，让学生分析公式中的a和b，相对应本题中的哪部分，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.
活动内容：
例2 利用平方差公式计算：
； （2）（ab+8）（ab－8）
巩固练习
利用平方差公式计算：
（1）； （2）（－mn+3）（－mn－3）
活动目的：例2是对例1内容的拓展与延伸，使学生从不同的角度来认识平方差公式，从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中，确定平方差公式中的a和b，巩固平方差公式，进一步体字母a、b可以是数，也可以是整式，加深对字母含义广泛性的理解.
实际教学效果：例2中的第1题和巩固练习中的第1题，学生在确定公式中a和b时，有一定难度，教师应引导学生仔细观察题目，分析题目当中谁相当于公式当中的a与b，同时提醒学生，不要漏掉负号和括号，帮助学生突破难点.
第四环节 观察思考、拓展延伸
活动内容：
想一想
（a b）（－a b）=？你是怎样做的？
活动目的：“想一想”目的，是让学生体会平方差公式和多项式乘法之间的关系，可以利用整式乘法解决，也可以利用平方差公式.
实际教学效果：使学生体会到新、旧知识之间的联系，进一步感受平方差公式在简化计算中的优越性.加深对平方差公式的理解和应用.
第五环节 当堂达标、自我检测
活动内容： 利用平方差公式计算：
(1) (a + 3b)(a - 3b)； (2) (3 + 2a)(－3 + 2a)
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y) （4）(－5 + 6x)(－6x－5).
活动目的：为学生提供自我检测的机会，教师针对学生反馈情况，及时调整授课，查漏补缺.
第六环节 课堂小结、布置作业
活动内容：
1.平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2
公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；
右边是两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项：
1）紧紧抓住 “一同一反”这一特征；
2）不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用；
3）字母a、b可以是数，也可以是整式
4）注意计算过程中的符号和括号
活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的.
分层作业
1. 必做题：教材习题1.9
2. 选做题：你能用图形来验证平方差公式吗？
活动目的：课下将所学知识进一步巩固，并得以反馈.
教学反思
平方差公式是特殊形式的多项式与多项式相乘的一种简便计算，它在代数运算和恒等变形中有广泛地应用.运用平方差公式计算一定要看是否符合公式的特征：(a－b)(a+b)=a2－b2，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字母 ，单项式，也可以代表多项式.引导学生经历探索平方差公式的过程，指导学生发现公式的特点：
左边为两数的和乘以两数的差，即在左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边为这两个数的平方差.公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式.提醒学生利用平方公式计算，首先观察是否符合公式的特点，公式中的a和b分别是什么，注意负号和括号等细节.
本节课从实际情境入手，在教学设计时提供了充分的探索与交流的空间，使学生进一步经历了观察、实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养了学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材的在内容安排上螺旋上升的特点.采用合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，让学生在探究中，经历知识产生发展的过程，体会“做数学”的乐趣.
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1.5 平方差公式(第1课时)
第一章 整式的乘除
创设情境 引入新课
学习目标
1.理解平方差公式及其结构特征;
2.能应用平方差公式进行计算.
① (x＋1)(x－1)；
② (m＋2)(m－2)；
③ (2x＋1)(2x－1)；
④ (x＋5y)(x－5y) .
算一算：看谁算得又快又准.
探究规律 发现结论
② (m＋2)(m－2) = m2－4
③ (2x＋1)(2x－1) = 4x2－1
④ (x＋5y)(x－5y) = x2－25y2
① (x＋1)(x－1) = x2－1
想一想：这些计算结果有什么特点？
= x2－12
= m2－22
= (2x)2－12
= x2－(5y)2
用自己的语言叙述你的发现.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
观察这些运算，你发现了什么规律？
探究规律 发现结论
(a + b)(a b) = a2 b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
平方差公式：
探究规律 发现结论
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个数，也可以是两个整式．
(a + b)(a - b) = a2 - b2
相同为 a
相反为 b
探究规律 发现结论
填一填：
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
(0.3x)2－12
(a + b)(a - b)
(1 + x)(1 - x)
(-3 + a)(-3 - a)
(0.3x - 1)(1 + 0.3x)
(1 + a)(-1 + a)
典例分析 巩固提高
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) 原式＝52－(6x)2 ＝25－36x2.
(2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2.
(3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
注意：1. 先把要计算的式子与公式对照；
2. 哪个是 a 哪个是 b
典例分析 巩固提高
利用平方差公式计算：
（1） (a+2)(a-2)； （2）(3a+2b)(3a-2b)
解：(1) 原式＝a2－22 ＝a2－4.
(2) 原式＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2.
注意：1. 先把要计算的式子与公式对照；
2. 哪个是 a 哪个是 b
练一练
典例分析 巩固提高
例2 利用平方差公式计算：
(1) ； (2) (ab + 8)(ab－8).
解：(1) 原式 =
(2) 原式 = (ab)2－82
= a2b2－64.
典例分析 巩固提高
利用平方差公式计算：
(1) (x - y)(x + y) ; (2)(-mn+3)(-mn-3)
解：(1) 原式＝x2－( y)2 ＝x2－ y2.
(2) 原式＝(-mn)2－32＝m2n2－9.
练一练
典例分析 巩固提高
(a－b)(－a－b)= 你是怎样做的？
解： (a－b)(－a－b)
= (－b+ a)(－b－a)
= (－b)2－a2
= b2－a2
想一想
观察思考 拓展延伸
(1) (a + 3b)(a - 3b)；
(2)解:原式 = (2a + 3)(2a－3)
= (2a)2－32
= 4a2－9.
= a2－9b2.
(1)解:原式 = a2－(3b)2
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
利用平方差公式计算：
当堂达标 自我检测
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
(3)解:原式 = (－2x2 )2－y2
= 4x4－y2.
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
(4)解:原式 = (－5 + 6x)(－5－6x)
= (－5)2－(6x)2
= 25－36x2.
当堂达标 自我检测
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
符号表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
1.要紧紧抓住 “一同一反”这一特征；
2.不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用；
3.字母a、b可以是数，也可以是整式；
4.注意计算过程中的符号和括号.
注意
内容
课堂小结 布置作业
课堂小结 布置作业
A. 必做题：教材习题1.9
B. 选做题：你能用图形来验证平方差公式吗？ 请尝试完成.
