天津市耀华中学2023-2024学年高一下学期学科训练（二）数学试卷（含答案）

耀华中学2023-2024学年度下学期高一学科训练数学（二）
一、单选题（每小题6分，将答案涂在答题卡相应位置上）
1．复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
2．复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在正四棱锥P ABCD中，，M是PB的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数z满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为30，则塔高（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．或
7．在三棱锥P ABC中，底面ABC，，，，则点C到平面PAB的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．长方体中，四边形为正方形，直线与直线AD所成角的正切值为2，则直线与平面ABCD所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题6分，将答案填写在答题卡相应位置上）
9．如图，三棱锥P ABC中，已知平面ABC，，.则二面角P-BC-A的正弦值为 .
10．三棱锥P ABC中，平面ABC，，，，，则二面角P-AB-C的大小为 .
11．在四边形ABCD中，，，，M为AD中点．记，，用，表示；若，则的最大值为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，，，沿AC将△ABC折起，当三棱锥B ACD的体积取得最大值时，BD与平面ACD所成角的正切值为 .
13．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是 ．
①直线平面
②三棱锥的体积为定值
③异面直线AP与所成角的取值范围是
④直线与平面所成角的正弦值的最大值为
14．如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面，.点P在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，则PC的最大值为 ．
三、解答题（本题16分，将答案填写在答题卡相应位置上，解答过程要完整清晰）
15．如图，在三棱台中，平面ABC，，，，M为BC中点.，N为AB的中点，
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（3）求点C到平面的距离．
耀华中学2023-2024学年度第二学期学科训练数学（二）答案
一、选择题
BDDC ABAB
二、填空题
9 10 11 12 13 14
30° ①②④
三、解答题
15.
（1）连接MN，.
由M，N分别是BC，BA的中点，根据中位线性质，，且，
由棱台性质，，于是，由可知，四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面.
（2）过M作，垂足为E，过E作，垂足为F，连接MF，.
由面ABC，面ABC，故，又，，AC，平面，则平面.
由平面，故，又，，ME，平面MEF，于是平面MEF，
由平面MEF，故.
于是平面与平面所成角即∠MFE.
又，，则，
故，
在Rt△MEF中，，则，
于是
（3）[方法一：几何法]过作，垂足为P，作，垂足为Q，连接PQ，PM，过P作，垂足为R.
由题干数据可得，，，
根据勾股定理，，
由平面AMC，平面AMC，则，
又，，，平面，于是平面.
又平面，则，又，，，平面，故平面.
在中，，
又，故点C到平面的距离是P到平面的距离的两倍，
即点C到平面的距离是.
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点C到平面的距离为h.
.
.
由，即.