2025人教B版高中数学选择性必修第一册同步练习题（含解析）--第二章 平面解析几何拔高练
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学选择性必修第一册同步练习题（含解析）--第二章 平面解析几何拔高练 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 534.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-02 14:58:42 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学选择性必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1 直线与圆的方程及其应用
1.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1 B. D.2
2.(多选题)(2021新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
3.(2023新课标Ⅰ,6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( )
A.1 B.
4.(2023全国乙文,11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )
A.1+ D.7
5.(多选题)(2021新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
6.(2022全国乙理,14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
7.(2023新课标Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 .
8.(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
考点2 圆锥曲线的定义及其应用
9.(2020全国Ⅰ文,11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )
A. D.2
10.(2023全国乙理,13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
11.(2021全国甲理,15)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
考点3 圆锥曲线的标准方程及几何性质
12.(2023新课标Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=( )
A.
13.(2022全国甲理,10)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为( )
A.
14.(2023天津,9)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为( )
A.=1
C.=1
15.(多选题)(2023新课标Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
16.(2023新课标Ⅰ,16)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,
,则C的离心率为 .
考点4 直线与圆锥曲线的位置关系
17.(2023新课标Ⅱ,5)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=( )
A.
18.(2023全国乙理,11)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是( )
A.(1,1) B.(-1,2)
C.(1,3) D.(-1,-4)
19.(2023天津,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,且|A1F|=3,|A2F|=1.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设点P是椭圆C上一动点(不与顶点重合),直线A2P交y轴于点Q,若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍,求直线A2P的方程.
20.(2023全国甲理,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且=0,求△MFN面积的最小值.
21.(2023北京,19)已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,A,C分别是E的上、下顶点,B,D分别是E的左、右顶点,|AC|=4.
(1)求E的方程;
(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N.求证:MN∥CD.
22.(2023新课标Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
三年模拟练
应用实践
1.(2024湖南名校联合体期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,点M在C的下支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为D,若|MD|>|F1F2|-|MF1|恒成立,则C的离心率可能为( )
A.
2.(2024安徽肥东城关中学期中)已知点P(t,t),t∈R,点M是圆A:x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆B:(x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是( )
A.
3.(2024广东惠州质检)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )
A.
4.(2022江苏南通如东期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线-4y2=1的右焦点相同,过点F作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16 B.20
C.24 D.32
5.(2023广东广州中学期末)已知椭圆=1(a>b>0)的短轴长为2,
上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且△F1AB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则的取值范围是 .
6.(2023浙江杭州学军中学期中)已知圆C:x2+y2-2x=0,直线l:x+y+1=0,P为l上的动点,过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别A,B,当|PC|·|AB|最小时,直线PC的方程为 .
7.(2024浙江温州普通高中一模)斜率为1的直线与双曲线E:=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点C是双曲线E上一点,满足AC⊥BC,△OAC和△OBC的重心分别为P,Q,△ABC的外心为R,记直线OP,OQ,OR的斜率分别为k1,k2,k3,若k1k2k3=-8,则双曲线E的离心率为 .
8.(2024山东普高联考)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识,例如:用一张圆形纸片按如下步骤折纸(如图):
步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点,记为F;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点A与点
F重合);
步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与AE的交点为P;
步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片,设点F到圆心E的距离为2,按上述方法折纸.以线段EF的中点为原点,线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设曲线C与x轴从左到右的交点为A,B,点P为曲线C上异于A,B的动点,设PB交直线x=4于点T,连接AT,交曲线C于点Q,直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ.
(i)求证:kAP·kAQ为定值;
(ii)证明直线PQ经过x轴上的定点,并求出该定点的坐标.
9.(2023河南南阳宛城第五中学校月考)已知椭圆C:=1(a>b>0),若右焦点为F(,0),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M,N是C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切,证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.B 2.ABD 3.B 4.C 5.ACD 9.B 12.A 13.A
14.D 15.AC 17.C 18.D
1.B 解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号,即|k+1|≤,所以d=,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为.故选B.
解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点(-1,0)且斜率存在的直线,记点(-1,0)为P,点(0,-1)为Q.点Q(0,-1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为|PQ|=.故选B.
2.ABD 圆心C(0,0)到直线l的距离d=,
若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d==|r|,所以直线l与圆C相切,故A正确.
若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2|r|,所以直线l与圆C相离,故B正确.
若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|,所以直线l与圆C相交,故C错误.
若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==|r|,所以直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.
3.B 由x2+y2-4x-1=0得(x-2)2+y2=5,所以圆心为(2,0)(记为M),半径为.记点(0,-2)为P.设过点P(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的
两条切线分别是PA,PB,A,B为切点,连接PM,AM,如图,则∠APB=
2∠APM.
易知|AM|=,则sin∠APM=,所以cos∠APM=,所以sin α=
sin∠APB=2sin∠APM·cos∠APM=.故选B.
4.C 解法一:将x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆,
令x-y=t,即x-y-t=0,
由题可知直线x-y-t=0和圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,所以≤3,即|t-1|≤3,解得1-3≤t≤1+3.所以x-y的最大值为1+3.故选C.
解法二:由x2+y2-4x-2y-4=0得(x-2)2+(y-1)2=9,
令x=3cos θ+2,y=3sin θ+1,其中θ∈[0,2π),
则x-y=3cos θ-3sin θ+1=3cos +1,
因为θ∈[0,2π),所以θ+,所以θ+=2π,即θ=时,x-y取得最大值3+1.
5.ACD ∵A(4,0),B(0,2),∴过点A,B的直线方程为=1,即x+2y-4=0.设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为C,则C(5,5).圆心C到直线x+2y-4=0的距离d=>4,∴点P到直线AB的距离的取值范围为+4<9,∴点P到直线AB的距离小于10,但不一定大于2,故A正确,B错误.
如图,当过点B的直线与圆相切时,∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小,位于P2时∠PBA最大),此时|BC|=,故C,D均正确.
6.答案 (x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或(写出一个即可)
解析 解法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),
则
此时圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.
若圆过(0,0),(4,0),(4,2),
则
此时圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.
若圆过(0,0),(4,2),(-1,1),
则
此时圆的方程为x2+y2-y=0,即.
若圆过(-1,1),(4,0),(4,2),
则
此时圆的方程为x2+y2-=0,即.
解法二:若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),
根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上,
设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2,AC的中垂线方程为y=x+1.
联立解得圆心坐标为(2,3).
此时圆的半径r=.
所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.
同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,.
7.答案 2,-2,(填写四个中任意一个均对)
解析 依题意可得圆C的圆心为C(1,0),半径r=2,则圆心C(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=,则|AB|=2,所以S△ABC
=·d·|AB|=,解得m=2或m=-2或m=或m=-.
8.答案
解析 由题易知kAB=,所以直线AB关于直线y=a对称的直线方程为y-a=-x,即(3-a)x-2y+2a=0.
由题意可得圆心(-3,-2)到该直线的距离小于或等于半径,所以≤1,即6a2-11a+3≤0,解得≤a≤.
9.B 在双曲线C中,a=1,b=,故c=2,故|F1F2|=2c=4.在△PF1F2中,|OP|=|F1F2|=2,∴△PF1F2为直角三角形.
设|PF1|=m,|PF2|=n,则可得mn=6,
∴mn=3.故选B.
10.答案
解析 因为点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,
所以5=2p,即p=,
所以抛物线C:y2=5x的准线方程为x=-,故A到C的准线的距离为1-.
11.答案 8
解析 解法一:如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆方程=1可得,2a=|PF1|+|PF2|=m+n=8,2c=|F1F2|=4.
由P,Q关于原点对称得|OP|=|OQ|,又|OF1|=|OF2|,故四边形PF1QF2为平行四边形.
又|F1F2|=|PQ|,所以平行四边形PF1QF2为矩形,故PF1⊥PF2.
在Rt△F1PF2中,∠F2PF1=90°,则m2+n2=(4)2=48.
由(m+n)2=64得m2+n2+2mn=48+2mn=64,解得mn=8,所以四边形PF1QF2的面积为8.
解法二:由解法一知四边形PF1QF2为矩形,所以由焦点三角形面积公式得=2b2tan =2×4×1=8.
12.A 由题意得e2=,又因为e2=e1,所以e1=(a>1),解得a=.故选A.
13.A 设P(x0,y0),x0≠±a,则Q(-x0,y0),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=,得.
因为P(x0,y0)在C上,所以=1,得),所以,故C的离心率e=,故选A.
14.D 如图,易知|PF2|=b=2,|OP|=a,|OF2|=c.
设P(xP,yP).过点P的渐近线方程为y=x,直线PF2的方程为y=-(x-c).
联立可得xP=,
故P,又F1(-c,0),
所以,
即4a=(a2+2),即a2-2a+2=0,解得a=,
又b=2,所以双曲线的方程为=1.故选D.
15.AC ∵直线y=-(x-1)过焦点=1,∴p=2,故A正确.
抛物线方程为y2=4x.
由得3x2-10x+3=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,
∴|MN|=,故B错误.
由对称性,不妨设M在x轴上方,如图,取MN的中点D,过M,N,D分别作l的垂线,垂足分别为M',N',D',则|DD'|=|MN|,
∴以MN为直径的圆和l相切,故C正确.
由B、C选项分析可知M,显然|OM|≠|ON|≠|MN|,
∴△OMN不是等腰三角形,故D错误.
故选AC.
16.答案
解析 因为,所以A,B,F2三点共线,且F2在A,B之间.
设|AF2|=2x,则|BF2|=3x,|BF1|=3x,|AB|=5x,
因为,所以|AF1|==4x,
由双曲线的定义得2a=|AF1|-|AF2|=4x-2x,则a=x.
易得∠BF2F1+∠AF2F1=π,|F1F2|=2c,
所以cos∠BF2F1+cos∠AF2F1==0,解得c=a,所以离心率e=.
17.C 由已知得F1(-,0).
∵,∴点F1到直线AB的距离为点F2到直线AB的距离的2倍,即=2·,解得m=-或m=-3,经检验,当m=
-3时,直线AB与椭圆C没有交点,故m=-.故选C.
18.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,则AB的中点坐标为.
设原点与线段AB的中点的连线的斜率为k,则kAB=.
∵A,B在双曲线上,∴两式作差并整理,得kABk=9.
对于A,可得k=1,则kAB=9,∴lAB:y=9x-8,与x2-=1联立消去y,得72x2-2×72x+73=0,Δ=-288<0,不符合题意.
对于B,可得k=-2,则kAB=-,与x2-=1联立消去
y,得45x2+2×45x+61=0,Δ=-2 880<0,不符合题意.
对于C,可得k=3,则kAB=3,∴lAB:y=3x,与双曲线的渐近线重合,故lAB与双曲线无交点,不符合题意.故选D.
19.解析 (1)设椭圆的半焦距为c(c>0).
依题可得
又a2=b2+c2,所以b=,
所以椭圆C的方程为=1,离心率e=.
(2)依题意可得过点A2(2,0)的直线A2P不平行于坐标轴,设其方程为x=my+2(m≠0),
由消去x,得(3m2+4)y2+12my=0,
设P(xP,yP),又A2(2,0),
所以0+yP=-,则yP=-.
设Q(0,yQ),
因为直线A2P交y轴于点Q,所以yQ=-.
.
因为,
所以2,解得m=±,
所以直线A2P的方程为x=±y+2,
即3x+y-6=0或3x-y-6=0.
20.解析 (1)联立消去x得y2-4py+2p=0.
由题知Δ=16p2-8p>0,且p>0,∴p>,
设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=4p,yAyB=2p,
∴|AB|=,∴p=2或p=-(舍去).
(2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),
易知直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去x得y2-4my-4n=0.
Δ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①,
y1+y2=4m,y1y2=-4n,∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2.
=(x2-1,y2),
∴=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,即4m2=n2-6n+1②,
①②联立可得+n>0,解得n≠1,
又n2-6n+1=4m2≥0,
∴n≤3-2或n≥3+2.
S△MFN=(x1+1)(x2+1)
=(2n2-4n+2)=(n-1)2.
∵n≤3-2或n≥3+2,
∴当n=3-2时,(S△MFN)min=(2-2.
21.解析 (1)由题意知|AC|=2b=4,即b=2,
又e=,∴a2=9.
∴E的方程为=1.
(2)证明:设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则=1,即4,直线PD:y=(x-3).
易得直线BC:y=-x-2,联立直线PD与直线BC的方程,得点M.
直线PA的方程为y=x+2,
令y=-2,得点N.
所以kMN==
==
=,
又因为kCD=,所以kMN=kCD,
又MN与CD无公共点,所以MN∥CD.
22.解析 (1)设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),半焦距为c,由题意知c=2,则a=2,
所以b2=c2-a2=(2)2-22=16,
所以双曲线C的方程为=1.
(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<-2,x2<-2,y1>0>y2,P(x,y),
由题意设过点(-4,0)的直线的方程为x=ty-4,
由消去x整理得(4t2-1)y2-32ty+48=0,
易知4t2-1≠0,Δ=64×(4t2+3)>0,
则y1+y2=,故y1+y2=y1y2.
易知A1(-2,0),A2(2,0),
则直线MA1:,直线NA2:,
联立消去y得y2,即x=-2=-1,即点P在定直线x=-1上.
三年模拟练
1.A 2.B 3.A 4.C
1.A 如图,过点F2作渐近线y=-x的垂线,垂足为E,连接MF2.
设|F1F2|=2c,则点F2到渐近线y=-x的距离为|EF2|==b.
由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a,故|MF1|=|MF2|+2a,所以|MD|+|MF1|=|MD|+|MF2|+2a≥|EF2|+2a=b+2a,故|MD|+|MF1|的最小值为2a+b.
因为|MD|>|F1F2|-|MF1|恒成立,所以|MD|+|MF1|>|F1F2|恒成立,即2a+b>2c恒成立,所以b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,所以3c2+5a2-8ac<0,即3e2-8e+5<0,解得12.B 圆x2+(y-1)2=的圆心为A(0,1),圆(x-2)2+y2=的圆心为B(2,0),则|PN|-|PM|≤|PB|+=|PB|-|PA|+1.设A关于直线y=x的对称点为A',则A'(1,0),所以|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA'|+1≤|A'B|
+1=2.故选B.
3.A 设|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,则|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.
设|F1F2|=2c,在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos,化简得=4c2,即=4.
因为e1>0,e2>0,4=≥2,所以,所以e1e2≥,当且仅当,即e1=时,等号成立,所以椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.故选A.
4.C 由双曲线方程知F(1,0),所以=1,即p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.
由题意设直线l1的方程为y=k1(x-1)(k1≠0),直线l2的方程为y=k2(x-1)(k2≠0),则=1.
由消去y,得=0,
所以xA+xB=.同理,xD+xE=2+.
由抛物线的定义可得|AB|+|DE|=≥8+=24,当且仅当时,|AB|+|DE|取得最小
值24.故选C.
5.答案 [1,4]
解析 由已知得2b=2,故b=1.
∵△F1AB的面积为.
又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,∴a=2,c=.
∴=.
易知2-≤|PF1|≤2+,
∴1≤-+4|PF1|≤4,∴1≤≤4.
故的取值范围为[1,4].
6.答案 x-y-1=0
解析 圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,所以圆心为C(1,0),半径r=1.
圆心C到直线l:x+y+1=0的距离d=>r,则直线l与圆C相离.
由切线性质得,PC是AB的垂直平分线,AC⊥PA,
所以|PC|·|AB|=4S△PAC=4××|PA|×|AC|=2|PA|.
而|PA|=,当直线PC⊥l时,|PC|最小,即|PA|最小,即|PC|·|AB|最小,又直线l:x+y+1=0,所以可设直线PC:x-y+c=0,又因为C(1,0),所以1-0+c=0,即c=-1,故直线PC的方程为x-y-1=0.
7.答案
解析 若直线y=kx+m与双曲线=1(a>0,b>0)有两个交点G,H,设GH的中点为K.
由得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,所以xG+xH=,所以xK=,所以yK=,所以kOK=,所以kGH·kOK=.
取AC,BC的中点M,N,连接OM,ON.
易知△OAC的重心P在中线OM上,△OBC的重心Q在中线ON上,所以k1=kOP=kOM,k2=kOQ=kON,又kOM·kAC=kON·kBC=,所以k1·kAC=k2·kBC=.
由AC⊥BC,得kAC·kBC=-1,所以k1·k2=-.
因为AC⊥BC,且△ABC的外心为点R,所以R为线段AB的中点, 所以kOR·kAB=,又kAB=1,所以kOR=.所以k1k2k3=-=-8,所以,
所以e=.
8.解析 (1)由题意可知|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4>|EF|=2,故点P的轨迹是以E,F为焦点,2a=4为长轴长的椭圆,所以b2=a2-c2=1,
所以C的方程为+y2=1.
(2)(i)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(4,m).
由题可知A(-2,0),B(2,0),
则kAP=.
因为kBP=kBT,即,所以m=,
所以kAP·kAQ=,
又=1,即),
所以kAP·kAQ=,为定值.
(ii)设直线PQ的方程为x=ty+n,
由得(t2+4)y2+2tny+n2-4=0,
所以y1+y2=-.
由(i)知kAP·kAQ=-,所以,化简得,解得n=1或n=-2(舍去),所以直线PQ的方程为x=ty+1,所以直线PQ经过定点(1,0).
9.解析 (1)由题意得
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:①先证必要性.
因为M,N,F三点共线,所以设直线MN:x=my+.
由题意知O(0,0)到直线MN的距离d==1,解得m=±1,所以直线MN:x±y-=0.
根据对称性,不妨令直线MN:y=x-.
联立消去y,整理得4x2-6x+3=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,
所以|MN|=·|x1-x2|=,即必要性成立.
②再证充分性.
因为直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切,所以设切点为P(x0,y0)(x0>0),M(x1,y1),N(x2,y2),则直线MN:x0x+y0y=1且=1.
联立
则,即(3=0,即(2=0,所以x1+x2=,所以|x1-x2|=.又kMN=-,故|MN|=·|x1-x2|=,即2x0+1=0,即(x0-1)2=0,所以x0=,故y0=±.
由于MN:x0x+y0y=1,即MN:x±y=,故直线MN过F(,0),即M,N,F三点共线.故充分性成立.
故M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
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2025人教B版高中数学选择性必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1 直线与圆的方程及其应用
1.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1 B. D.2
2.(多选题)(2021新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
3.(2023新课标Ⅰ,6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( )
A.1 B.
4.(2023全国乙文,11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )
A.1+ D.7
5.(多选题)(2021新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
6.(2022全国乙理,14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
7.(2023新课标Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 .
8.(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
考点2 圆锥曲线的定义及其应用
9.(2020全国Ⅰ文,11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )
A. D.2
10.(2023全国乙理,13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
11.(2021全国甲理,15)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
考点3 圆锥曲线的标准方程及几何性质
12.(2023新课标Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=( )
A.
13.(2022全国甲理,10)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为( )
A.
14.(2023天津,9)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为( )
A.=1
C.=1
15.(多选题)(2023新课标Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
16.(2023新课标Ⅰ,16)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,
,则C的离心率为 .
考点4 直线与圆锥曲线的位置关系
17.(2023新课标Ⅱ,5)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=( )
A.
18.(2023全国乙理,11)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是( )
A.(1,1) B.(-1,2)
C.(1,3) D.(-1,-4)
19.(2023天津,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,且|A1F|=3,|A2F|=1.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设点P是椭圆C上一动点(不与顶点重合),直线A2P交y轴于点Q,若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍,求直线A2P的方程.
20.(2023全国甲理,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且=0,求△MFN面积的最小值.
21.(2023北京,19)已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,A,C分别是E的上、下顶点,B,D分别是E的左、右顶点,|AC|=4.
(1)求E的方程;
(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N.求证:MN∥CD.
22.(2023新课标Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
三年模拟练
应用实践
1.(2024湖南名校联合体期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,点M在C的下支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为D,若|MD|>|F1F2|-|MF1|恒成立,则C的离心率可能为( )
A.
2.(2024安徽肥东城关中学期中)已知点P(t,t),t∈R,点M是圆A:x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆B:(x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是( )
A.
3.(2024广东惠州质检)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )
A.
4.(2022江苏南通如东期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线-4y2=1的右焦点相同,过点F作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16 B.20
C.24 D.32
5.(2023广东广州中学期末)已知椭圆=1(a>b>0)的短轴长为2,
上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且△F1AB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则的取值范围是 .
6.(2023浙江杭州学军中学期中)已知圆C:x2+y2-2x=0,直线l:x+y+1=0,P为l上的动点,过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别A,B,当|PC|·|AB|最小时,直线PC的方程为 .
7.(2024浙江温州普通高中一模)斜率为1的直线与双曲线E:=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点C是双曲线E上一点,满足AC⊥BC,△OAC和△OBC的重心分别为P,Q,△ABC的外心为R,记直线OP,OQ,OR的斜率分别为k1,k2,k3,若k1k2k3=-8,则双曲线E的离心率为 .
8.(2024山东普高联考)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识,例如:用一张圆形纸片按如下步骤折纸(如图):
步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点,记为F;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点A与点
F重合);
步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与AE的交点为P;
步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片,设点F到圆心E的距离为2,按上述方法折纸.以线段EF的中点为原点,线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设曲线C与x轴从左到右的交点为A,B,点P为曲线C上异于A,B的动点,设PB交直线x=4于点T,连接AT,交曲线C于点Q,直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ.
(i)求证:kAP·kAQ为定值;
(ii)证明直线PQ经过x轴上的定点,并求出该定点的坐标.
9.(2023河南南阳宛城第五中学校月考)已知椭圆C:=1(a>b>0),若右焦点为F(,0),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M,N是C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切,证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.B 2.ABD 3.B 4.C 5.ACD 9.B 12.A 13.A
14.D 15.AC 17.C 18.D
1.B 解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号,即|k+1|≤,所以d=,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为.故选B.
解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点(-1,0)且斜率存在的直线,记点(-1,0)为P,点(0,-1)为Q.点Q(0,-1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为|PQ|=.故选B.
2.ABD 圆心C(0,0)到直线l的距离d=,
若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d==|r|,所以直线l与圆C相切,故A正确.
若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2
若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|,所以直线l与圆C相交,故C错误.
若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==|r|,所以直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.
3.B 由x2+y2-4x-1=0得(x-2)2+y2=5,所以圆心为(2,0)(记为M),半径为.记点(0,-2)为P.设过点P(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的
两条切线分别是PA,PB,A,B为切点,连接PM,AM,如图,则∠APB=
2∠APM.
易知|AM|=,则sin∠APM=,所以cos∠APM=,所以sin α=
sin∠APB=2sin∠APM·cos∠APM=.故选B.
4.C 解法一:将x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆,
令x-y=t,即x-y-t=0,
由题可知直线x-y-t=0和圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,所以≤3,即|t-1|≤3,解得1-3≤t≤1+3.所以x-y的最大值为1+3.故选C.
解法二:由x2+y2-4x-2y-4=0得(x-2)2+(y-1)2=9,
令x=3cos θ+2,y=3sin θ+1,其中θ∈[0,2π),
则x-y=3cos θ-3sin θ+1=3cos +1,
因为θ∈[0,2π),所以θ+,所以θ+=2π,即θ=时,x-y取得最大值3+1.
5.ACD ∵A(4,0),B(0,2),∴过点A,B的直线方程为=1,即x+2y-4=0.设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为C,则C(5,5).圆心C到直线x+2y-4=0的距离d=>4,∴点P到直线AB的距离的取值范围为+4<9,∴点P到直线AB的距离小于10,但不一定大于2,故A正确,B错误.
如图,当过点B的直线与圆相切时,∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小,位于P2时∠PBA最大),此时|BC|=,故C,D均正确.
6.答案 (x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或(写出一个即可)
解析 解法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),
则
此时圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.
若圆过(0,0),(4,0),(4,2),
则
此时圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.
若圆过(0,0),(4,2),(-1,1),
则
此时圆的方程为x2+y2-y=0,即.
若圆过(-1,1),(4,0),(4,2),
则
此时圆的方程为x2+y2-=0,即.
解法二:若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),
根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上,
设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2,AC的中垂线方程为y=x+1.
联立解得圆心坐标为(2,3).
此时圆的半径r=.
所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.
同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,.
7.答案 2,-2,(填写四个中任意一个均对)
解析 依题意可得圆C的圆心为C(1,0),半径r=2,则圆心C(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=,则|AB|=2,所以S△ABC
=·d·|AB|=,解得m=2或m=-2或m=或m=-.
8.答案
解析 由题易知kAB=,所以直线AB关于直线y=a对称的直线方程为y-a=-x,即(3-a)x-2y+2a=0.
由题意可得圆心(-3,-2)到该直线的距离小于或等于半径,所以≤1,即6a2-11a+3≤0,解得≤a≤.
9.B 在双曲线C中,a=1,b=,故c=2,故|F1F2|=2c=4.在△PF1F2中,|OP|=|F1F2|=2,∴△PF1F2为直角三角形.
设|PF1|=m,|PF2|=n,则可得mn=6,
∴mn=3.故选B.
10.答案
解析 因为点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,
所以5=2p,即p=,
所以抛物线C:y2=5x的准线方程为x=-,故A到C的准线的距离为1-.
11.答案 8
解析 解法一:如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆方程=1可得,2a=|PF1|+|PF2|=m+n=8,2c=|F1F2|=4.
由P,Q关于原点对称得|OP|=|OQ|,又|OF1|=|OF2|,故四边形PF1QF2为平行四边形.
又|F1F2|=|PQ|,所以平行四边形PF1QF2为矩形,故PF1⊥PF2.
在Rt△F1PF2中,∠F2PF1=90°,则m2+n2=(4)2=48.
由(m+n)2=64得m2+n2+2mn=48+2mn=64,解得mn=8,所以四边形PF1QF2的面积为8.
解法二:由解法一知四边形PF1QF2为矩形,所以由焦点三角形面积公式得=2b2tan =2×4×1=8.
12.A 由题意得e2=,又因为e2=e1,所以e1=(a>1),解得a=.故选A.
13.A 设P(x0,y0),x0≠±a,则Q(-x0,y0),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=,得.
因为P(x0,y0)在C上,所以=1,得),所以,故C的离心率e=,故选A.
14.D 如图,易知|PF2|=b=2,|OP|=a,|OF2|=c.
设P(xP,yP).过点P的渐近线方程为y=x,直线PF2的方程为y=-(x-c).
联立可得xP=,
故P,又F1(-c,0),
所以,
即4a=(a2+2),即a2-2a+2=0,解得a=,
又b=2,所以双曲线的方程为=1.故选D.
15.AC ∵直线y=-(x-1)过焦点=1,∴p=2,故A正确.
抛物线方程为y2=4x.
由得3x2-10x+3=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,
∴|MN|=,故B错误.
由对称性,不妨设M在x轴上方,如图,取MN的中点D,过M,N,D分别作l的垂线,垂足分别为M',N',D',则|DD'|=|MN|,
∴以MN为直径的圆和l相切,故C正确.
由B、C选项分析可知M,显然|OM|≠|ON|≠|MN|,
∴△OMN不是等腰三角形,故D错误.
故选AC.
16.答案
解析 因为,所以A,B,F2三点共线,且F2在A,B之间.
设|AF2|=2x,则|BF2|=3x,|BF1|=3x,|AB|=5x,
因为,所以|AF1|==4x,
由双曲线的定义得2a=|AF1|-|AF2|=4x-2x,则a=x.
易得∠BF2F1+∠AF2F1=π,|F1F2|=2c,
所以cos∠BF2F1+cos∠AF2F1==0,解得c=a,所以离心率e=.
17.C 由已知得F1(-,0).
∵,∴点F1到直线AB的距离为点F2到直线AB的距离的2倍,即=2·,解得m=-或m=-3,经检验,当m=
-3时,直线AB与椭圆C没有交点,故m=-.故选C.
18.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,则AB的中点坐标为.
设原点与线段AB的中点的连线的斜率为k,则kAB=.
∵A,B在双曲线上,∴两式作差并整理,得kABk=9.
对于A,可得k=1,则kAB=9,∴lAB:y=9x-8,与x2-=1联立消去y,得72x2-2×72x+73=0,Δ=-288<0,不符合题意.
对于B,可得k=-2,则kAB=-,与x2-=1联立消去
y,得45x2+2×45x+61=0,Δ=-2 880<0,不符合题意.
对于C,可得k=3,则kAB=3,∴lAB:y=3x,与双曲线的渐近线重合,故lAB与双曲线无交点,不符合题意.故选D.
19.解析 (1)设椭圆的半焦距为c(c>0).
依题可得
又a2=b2+c2,所以b=,
所以椭圆C的方程为=1,离心率e=.
(2)依题意可得过点A2(2,0)的直线A2P不平行于坐标轴,设其方程为x=my+2(m≠0),
由消去x,得(3m2+4)y2+12my=0,
设P(xP,yP),又A2(2,0),
所以0+yP=-,则yP=-.
设Q(0,yQ),
因为直线A2P交y轴于点Q,所以yQ=-.
.
因为,
所以2,解得m=±,
所以直线A2P的方程为x=±y+2,
即3x+y-6=0或3x-y-6=0.
20.解析 (1)联立消去x得y2-4py+2p=0.
由题知Δ=16p2-8p>0,且p>0,∴p>,
设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=4p,yAyB=2p,
∴|AB|=,∴p=2或p=-(舍去).
(2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),
易知直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去x得y2-4my-4n=0.
Δ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①,
y1+y2=4m,y1y2=-4n,∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2.
=(x2-1,y2),
∴=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,即4m2=n2-6n+1②,
①②联立可得+n>0,解得n≠1,
又n2-6n+1=4m2≥0,
∴n≤3-2或n≥3+2.
S△MFN=(x1+1)(x2+1)
=(2n2-4n+2)=(n-1)2.
∵n≤3-2或n≥3+2,
∴当n=3-2时,(S△MFN)min=(2-2.
21.解析 (1)由题意知|AC|=2b=4,即b=2,
又e=,∴a2=9.
∴E的方程为=1.
(2)证明:设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则=1,即4,直线PD:y=(x-3).
易得直线BC:y=-x-2,联立直线PD与直线BC的方程,得点M.
直线PA的方程为y=x+2,
令y=-2,得点N.
所以kMN==
==
=,
又因为kCD=,所以kMN=kCD,
又MN与CD无公共点,所以MN∥CD.
22.解析 (1)设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),半焦距为c,由题意知c=2,则a=2,
所以b2=c2-a2=(2)2-22=16,
所以双曲线C的方程为=1.
(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<-2,x2<-2,y1>0>y2,P(x,y),
由题意设过点(-4,0)的直线的方程为x=ty-4,
由消去x整理得(4t2-1)y2-32ty+48=0,
易知4t2-1≠0,Δ=64×(4t2+3)>0,
则y1+y2=,故y1+y2=y1y2.
易知A1(-2,0),A2(2,0),
则直线MA1:,直线NA2:,
联立消去y得y2,即x=-2=-1,即点P在定直线x=-1上.
三年模拟练
1.A 2.B 3.A 4.C
1.A 如图,过点F2作渐近线y=-x的垂线,垂足为E,连接MF2.
设|F1F2|=2c,则点F2到渐近线y=-x的距离为|EF2|==b.
由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a,故|MF1|=|MF2|+2a,所以|MD|+|MF1|=|MD|+|MF2|+2a≥|EF2|+2a=b+2a,故|MD|+|MF1|的最小值为2a+b.
因为|MD|>|F1F2|-|MF1|恒成立,所以|MD|+|MF1|>|F1F2|恒成立,即2a+b>2c恒成立,所以b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,所以3c2+5a2-8ac<0,即3e2-8e+5<0,解得1
+1=2.故选B.
3.A 设|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,则|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.
设|F1F2|=2c,在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos,化简得=4c2,即=4.
因为e1>0,e2>0,4=≥2,所以,所以e1e2≥,当且仅当,即e1=时,等号成立,所以椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.故选A.
4.C 由双曲线方程知F(1,0),所以=1,即p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.
由题意设直线l1的方程为y=k1(x-1)(k1≠0),直线l2的方程为y=k2(x-1)(k2≠0),则=1.
由消去y,得=0,
所以xA+xB=.同理,xD+xE=2+.
由抛物线的定义可得|AB|+|DE|=≥8+=24,当且仅当时,|AB|+|DE|取得最小
值24.故选C.
5.答案 [1,4]
解析 由已知得2b=2,故b=1.
∵△F1AB的面积为.
又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,∴a=2,c=.
∴=.
易知2-≤|PF1|≤2+,
∴1≤-+4|PF1|≤4,∴1≤≤4.
故的取值范围为[1,4].
6.答案 x-y-1=0
解析 圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,所以圆心为C(1,0),半径r=1.
圆心C到直线l:x+y+1=0的距离d=>r,则直线l与圆C相离.
由切线性质得,PC是AB的垂直平分线,AC⊥PA,
所以|PC|·|AB|=4S△PAC=4××|PA|×|AC|=2|PA|.
而|PA|=,当直线PC⊥l时,|PC|最小,即|PA|最小,即|PC|·|AB|最小,又直线l:x+y+1=0,所以可设直线PC:x-y+c=0,又因为C(1,0),所以1-0+c=0,即c=-1,故直线PC的方程为x-y-1=0.
7.答案
解析 若直线y=kx+m与双曲线=1(a>0,b>0)有两个交点G,H,设GH的中点为K.
由得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,所以xG+xH=,所以xK=,所以yK=,所以kOK=,所以kGH·kOK=.
取AC,BC的中点M,N,连接OM,ON.
易知△OAC的重心P在中线OM上,△OBC的重心Q在中线ON上,所以k1=kOP=kOM,k2=kOQ=kON,又kOM·kAC=kON·kBC=,所以k1·kAC=k2·kBC=.
由AC⊥BC,得kAC·kBC=-1,所以k1·k2=-.
因为AC⊥BC,且△ABC的外心为点R,所以R为线段AB的中点, 所以kOR·kAB=,又kAB=1,所以kOR=.所以k1k2k3=-=-8,所以,
所以e=.
8.解析 (1)由题意可知|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4>|EF|=2,故点P的轨迹是以E,F为焦点,2a=4为长轴长的椭圆,所以b2=a2-c2=1,
所以C的方程为+y2=1.
(2)(i)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(4,m).
由题可知A(-2,0),B(2,0),
则kAP=.
因为kBP=kBT,即,所以m=,
所以kAP·kAQ=,
又=1,即),
所以kAP·kAQ=,为定值.
(ii)设直线PQ的方程为x=ty+n,
由得(t2+4)y2+2tny+n2-4=0,
所以y1+y2=-.
由(i)知kAP·kAQ=-,所以,化简得,解得n=1或n=-2(舍去),所以直线PQ的方程为x=ty+1,所以直线PQ经过定点(1,0).
9.解析 (1)由题意得
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:①先证必要性.
因为M,N,F三点共线,所以设直线MN:x=my+.
由题意知O(0,0)到直线MN的距离d==1,解得m=±1,所以直线MN:x±y-=0.
根据对称性,不妨令直线MN:y=x-.
联立消去y,整理得4x2-6x+3=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,
所以|MN|=·|x1-x2|=,即必要性成立.
②再证充分性.
因为直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切,所以设切点为P(x0,y0)(x0>0),M(x1,y1),N(x2,y2),则直线MN:x0x+y0y=1且=1.
联立
则,即(3=0,即(2=0,所以x1+x2=,所以|x1-x2|=.又kMN=-,故|MN|=·|x1-x2|=,即2x0+1=0,即(x0-1)2=0,所以x0=,故y0=±.
由于MN:x0x+y0y=1,即MN:x±y=,故直线MN过F(,0),即M,N,F三点共线.故充分性成立.
故M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
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