2025人教B版高中数学选择性必修第一册同步练习题（含解析）--专题强化练7 双曲线的综合问题
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学选择性必修第一册同步练习题（含解析）--专题强化练7 双曲线的综合问题 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 423.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-02 16:26:18 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学选择性必修第一册
专题强化练7 双曲线的综合问题
1.直线l过圆M:(x-4)2+y2=1的圆心,且与圆相交于A,B两点,P为双曲线=1右支上一动点,则的最小值为( )
A.-2 B.1 C.2 D.0
2.已知A(-4,0),B是圆C:(x-1)2+(y-4)2=1上的点,点P在双曲线=1的右支上,则|PA|+|PB|的最小值为( )
A.9 B.2+6 C.10 D.12
3.(2023天津益中学校期中)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.=1(x≥=1(x≤-)
C.=1(x≥=1
4.(2024辽宁沈阳五校协作体期中)如图,已知F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P,Q为双曲线C上两点,满足F1P∥F2Q,且|F2Q|=2|F2P|=5|F1P|,则双曲线C的离心率为( )
A.
5.(2024重庆部分学校月考)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A(-,1)为椭圆C内一点,对称中心在坐标原点,焦点在x轴上的等轴双曲线E经过点(,1),点Q(a,b)在E上,若椭圆C上存在一点P,使得|PA|+|PF2|=4,则C的离心率的取值范围是
( )
A.
C.
6.(多选题)(2023江苏扬州第一中学期中)已知双曲线C:=1
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B,点M在双曲线C上,且点M在第二象限,MF1⊥x轴,直线MA,MB分别与y轴交于点P,Q.若|OP|=e|OQ|(e为双曲线C的离心率,O为原点),则( )
A.e=+1
B.|AF1|∶|AO|=∶1
C.直线OM的斜率为-2
D.直线AM的斜率为-3
7.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若双曲线上一点P,使=e,则的值为 .
8.(2024上海华东师范大学第二附属中学期中)如图,从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP,交双曲线右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|= .
答案与分层梯度式解析
专题强化练7 双曲线的综合问题
1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.AC
1.D 圆M:(x-4)2+y2=1的圆心为M(4,0),半径为1.
设P(x0,y0),x0≥3,连接PM,
所以) ·()·( -
-8x0+8,
所以当x0=3时,取得最小值,为×9-8×3+8=0.故选D.
2.C 根据题意,得点A是双曲线的左焦点,如图所示,设双曲线的右焦点为A',连接PA',易知圆心C(1,4),由双曲线的定义,知|PA|=
|PA'|+2a=|PA'|+6,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10,故|PA|+|PB|的最小值为10.故选C.
3.A 如图所示,设动圆M与圆C1,圆C2的切点分别为B,A.
由题意得|MB|=|MA|.
圆C1:(x+4)2+y2=2与圆C2:(x-4)2+y2=2的半径均为,即|BC1|=|AC2|=,所以|MC1|-|MC2|=|MB|+|BC1|-(|MA|-|AC2|)=|MB|+|BC1|-|MA|+|AC2|=|BC1|+|AC2|=2<|C1C2|=8,故点M的轨迹是以C1,C2为焦点,2为实轴长的双曲线的右支,则2a=2,2c=8,所以a=,c=4,所以b2=c2-a2=16-2=14,所以动圆圆心M的轨迹方程为=1(x≥).故选A.
4.B 延长QF2,与双曲线交于点P',则|F1P|=|F2P'|.
设|F1P|=|F2P'|=2t,则|F2P|=5t,|F2Q|=10t,所以|F2P|-|F1P|=3t=2a,即t=a,所以|P'Q|=12t=8a.
连接QF1,F1P',则|QF1|=|QF2|+2a=a,所以|P'Q|2+|F1P'|2=|QF1|2,所以∠F1P'Q=90°.
在△P'F1F2中,由勾股定理得|F2P'|2+|F1P'|2=|F1F2|2,即=4c2,解得e=(负值舍去).故选B.
5.B 设等轴双曲线E的方程为x2-y2=t2,将(,1)代入,得双曲线E的方程为=1.
因为点Q(a,b)在E上,所以a2-b2=2,所以F1(-,0).
连接PF1,因为|PA|+|PF2|=4,所以|PA|+(2a-|PF1|)=4,即|PA|-|PF1|=4-2a.
连接AF1,易知||PA|-|PF1||≤|AF1|=1,当且仅当P,A,F1三点共线时,等号成立,所以|4-2a|≤1,解得≤a≤①.
因为点A(-,1)在椭圆C内,所以<1,即<1,解得14②.
由①②得2故选B.
6.AC 如图所示,根据题意,得A(-a,0),B(a,0),F1(-c,0),M,所以|F1M|=,|OB|=a,|OA|=a,|F1A|=c-a,|F1B|=c+a.
易知△BOQ∽△BF1M,△AOP∽△AF1M,
则,
所以|OQ|=.
因为|OP|=e|OQ|,所以=e·,整理,得a+c=e(c-a),即1+e=e(e-1),即e2-2e=1,解得e=+1或e=1-,因为e>1,所以e=+1,故A正确.
,故B错误.
在Rt△OF1M中,因为|MF1|=,|OF1|=c,所以tan∠MOF1=,所
以直线OM的斜率k=--e=-2,故C正确.
易知直线AM的斜率k1=--2,故D错误.
故选AC.
7.答案 2
解析 由双曲线方程x2-=1得a=1,c=2,由双曲线的定义得||||=2.因为=e=2,所以由正弦定理得=2,可解得||=2,又||=4,根据余弦定理可得cos∠PF2F1
=,所以|·||·cos∠PF2F1=2×4×=2.
8.答案
解析 由题意得|OT|=a=,c2=3+5=8,
故c=2.
因为T为切点,所以|TF|=.
设双曲线的右焦点为F',连接PF',则|PF|-|PF'|=2a=2.
因为M为线段FP的中点,O为FF'的中点,
所以|MF|-|OM|=,
所以|MO|-|MT|=|MO|-|MF|+|TF|=|TF|-(|MF|-|MO|)=.
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专题强化练7 双曲线的综合问题
1.直线l过圆M:(x-4)2+y2=1的圆心,且与圆相交于A,B两点,P为双曲线=1右支上一动点,则的最小值为( )
A.-2 B.1 C.2 D.0
2.已知A(-4,0),B是圆C:(x-1)2+(y-4)2=1上的点,点P在双曲线=1的右支上,则|PA|+|PB|的最小值为( )
A.9 B.2+6 C.10 D.12
3.(2023天津益中学校期中)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.=1(x≥=1(x≤-)
C.=1(x≥=1
4.(2024辽宁沈阳五校协作体期中)如图,已知F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P,Q为双曲线C上两点,满足F1P∥F2Q,且|F2Q|=2|F2P|=5|F1P|,则双曲线C的离心率为( )
A.
5.(2024重庆部分学校月考)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A(-,1)为椭圆C内一点,对称中心在坐标原点,焦点在x轴上的等轴双曲线E经过点(,1),点Q(a,b)在E上,若椭圆C上存在一点P,使得|PA|+|PF2|=4,则C的离心率的取值范围是
( )
A.
C.
6.(多选题)(2023江苏扬州第一中学期中)已知双曲线C:=1
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B,点M在双曲线C上,且点M在第二象限,MF1⊥x轴,直线MA,MB分别与y轴交于点P,Q.若|OP|=e|OQ|(e为双曲线C的离心率,O为原点),则( )
A.e=+1
B.|AF1|∶|AO|=∶1
C.直线OM的斜率为-2
D.直线AM的斜率为-3
7.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若双曲线上一点P,使=e,则的值为 .
8.(2024上海华东师范大学第二附属中学期中)如图,从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP,交双曲线右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|= .
答案与分层梯度式解析
专题强化练7 双曲线的综合问题
1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.AC
1.D 圆M:(x-4)2+y2=1的圆心为M(4,0),半径为1.
设P(x0,y0),x0≥3,连接PM,
所以) ·()·( -
-8x0+8,
所以当x0=3时,取得最小值,为×9-8×3+8=0.故选D.
2.C 根据题意,得点A是双曲线的左焦点,如图所示,设双曲线的右焦点为A',连接PA',易知圆心C(1,4),由双曲线的定义,知|PA|=
|PA'|+2a=|PA'|+6,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10,故|PA|+|PB|的最小值为10.故选C.
3.A 如图所示,设动圆M与圆C1,圆C2的切点分别为B,A.
由题意得|MB|=|MA|.
圆C1:(x+4)2+y2=2与圆C2:(x-4)2+y2=2的半径均为,即|BC1|=|AC2|=,所以|MC1|-|MC2|=|MB|+|BC1|-(|MA|-|AC2|)=|MB|+|BC1|-|MA|+|AC2|=|BC1|+|AC2|=2<|C1C2|=8,故点M的轨迹是以C1,C2为焦点,2为实轴长的双曲线的右支,则2a=2,2c=8,所以a=,c=4,所以b2=c2-a2=16-2=14,所以动圆圆心M的轨迹方程为=1(x≥).故选A.
4.B 延长QF2,与双曲线交于点P',则|F1P|=|F2P'|.
设|F1P|=|F2P'|=2t,则|F2P|=5t,|F2Q|=10t,所以|F2P|-|F1P|=3t=2a,即t=a,所以|P'Q|=12t=8a.
连接QF1,F1P',则|QF1|=|QF2|+2a=a,所以|P'Q|2+|F1P'|2=|QF1|2,所以∠F1P'Q=90°.
在△P'F1F2中,由勾股定理得|F2P'|2+|F1P'|2=|F1F2|2,即=4c2,解得e=(负值舍去).故选B.
5.B 设等轴双曲线E的方程为x2-y2=t2,将(,1)代入,得双曲线E的方程为=1.
因为点Q(a,b)在E上,所以a2-b2=2,所以F1(-,0).
连接PF1,因为|PA|+|PF2|=4,所以|PA|+(2a-|PF1|)=4,即|PA|-|PF1|=4-2a.
连接AF1,易知||PA|-|PF1||≤|AF1|=1,当且仅当P,A,F1三点共线时,等号成立,所以|4-2a|≤1,解得≤a≤①.
因为点A(-,1)在椭圆C内,所以<1,即<1,解得1
由①②得2
6.AC 如图所示,根据题意,得A(-a,0),B(a,0),F1(-c,0),M,所以|F1M|=,|OB|=a,|OA|=a,|F1A|=c-a,|F1B|=c+a.
易知△BOQ∽△BF1M,△AOP∽△AF1M,
则,
所以|OQ|=.
因为|OP|=e|OQ|,所以=e·,整理,得a+c=e(c-a),即1+e=e(e-1),即e2-2e=1,解得e=+1或e=1-,因为e>1,所以e=+1,故A正确.
,故B错误.
在Rt△OF1M中,因为|MF1|=,|OF1|=c,所以tan∠MOF1=,所
以直线OM的斜率k=--e=-2,故C正确.
易知直线AM的斜率k1=--2,故D错误.
故选AC.
7.答案 2
解析 由双曲线方程x2-=1得a=1,c=2,由双曲线的定义得||||=2.因为=e=2,所以由正弦定理得=2,可解得||=2,又||=4,根据余弦定理可得cos∠PF2F1
=,所以|·||·cos∠PF2F1=2×4×=2.
8.答案
解析 由题意得|OT|=a=,c2=3+5=8,
故c=2.
因为T为切点,所以|TF|=.
设双曲线的右焦点为F',连接PF',则|PF|-|PF'|=2a=2.
因为M为线段FP的中点,O为FF'的中点,
所以|MF|-|OM|=,
所以|MO|-|MT|=|MO|-|MF|+|TF|=|TF|-(|MF|-|MO|)=.
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