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2025人教B版高中数学选择性必修第一册
专题强化练8 抛物线的综合问题
1.(2023江苏盐城期中)抛物线有如下光学性质:经过抛物线焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行(或重合)于抛物线的对称轴;反之,平行(或重合)于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线E:y2=2px(1
A. D.3
2.(多选题)(2024湖北多地市联考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上,点Q(m,n),点P与点Q的距离和到y轴的距离分别为d1,d2,则( )
A.抛物线C的准线方程为y=-1
B.若m=n=1,则△PQF周长的最小值为3
C.若(m-3)2+n2=1,则d1的最小值为2
D.若m-n=-4,则d1+d2的最小值为-1
3.(多选题)(2023河南新乡模拟)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,A,B是抛物线上的两个动点,且|AF|的最小值为1,M是线段AB的中点,P(2,3)是平面内一定点,则( )
A.p=2
B.若|AF|+|BF|=8,则点M到x轴的距离为3
C.若,则||=3
D.|AP|+|AF|的最小值为4
4.(多选题)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,O为坐标原点,则( )
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±
D.△AOB的面积为4
5.(2024湖南长沙雅礼中学期中)已知N为抛物线x2=4y上的任意一点,M为圆x2+(y-5)2=4上的一点,A(0,1),则2|MN|+|MA|的最小值为 .
6.(2022湖南益阳期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l1,点M(x0,6是抛物线上一点,以M为圆心的圆与直线l:x=交于A,B两点(A在B的上方),若sin∠MFA=,则抛物线C的方程为 .
7.河道上有一抛物线形拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面8 m,拱圈内水面宽24 m,一条船在水面以上部分高6.5 m,船顶部宽6 m.
(1)试建立适当的平面直角坐标系,求拱圈所在的抛物线的标准方程;
(2)近日水位暴涨了1.54 m,为此,必须加重船载,降低船身,才能安全通过桥洞,则船身至少应该降低多少 (精确到0.1 m)
答案与分层梯度式解析
专题强化练8 抛物线的综合问题
1.D 2.BD 3.ABD 4.AC
1.D 易知F,AB∥x轴.设B(x0,y0),则y0=2p,将B(x0,2p)代入y2=2px(1联立消去y并整理,得8x2-17px+2p2=0,所以|BC|=,
因为A(8,2p)到直线BC:y=的距离d=(1所以S△ABC=·|BC|·d=,即p·=15,化简,得p2-4p+3=0,解得p=3或p=1(舍去).
2.BD 由抛物线方程可知抛物线的准线方程为x=-1,A错误.
当m=n=1时,△PQF的周长为|PQ|+|PF|+1,作PT垂直于直线x=-1于点T,则|PQ|+|PF|+1=|PQ|+|PT|+1≥|QT|+1=3,当且仅当P,Q,T,三点共线时取等号,B正确.
若(m-3)2+n2=1,则Q(m,n)在以(3,0)(记为M)为圆心,1为半径的圆上,所以d1=|PM|-1.设P,则|PM|2=(t2-4)2+8≥8,所以|PM|≥2,所以d1的最小值为2-1,C错误.
若m-n=-4,则Q(m,n)在直线x-y+4=0(记为l)上,所以d1+d2=d1+|PF|-1≥dF-l-1=-1,D正确.
故选BD.
3.ABD 根据题意,得F(0,1),所以=1,解得p=2,故A正确;
设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=y1+y2+2=8,所以y1+y2=6,所以点M到x轴的距离为=3,故B正确;
因为,所以直线AB过点F,
设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),因为p=2,所以抛物线的方程为x2=4y,联立消去x并整理,得y2-(4k2+2)y+1=0,则y1y2=1.
因为,所以(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1),所以1-y1=2(y2-1),即y1=3-2y2,
联立(舍去),所以|,故C错误;
过点A作抛物线的准线l:y=-1的垂线,垂足为E(图略),由抛物线的定义得|AF|=|AE|,所以|AP|+|AF|=|AP|+|AE|,所以当P,A,E三点共线,即PE⊥l时,|AP|+|AF|取得最小值,为3+1=4,故D正确.
4.AC 由抛物线的定义知|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,所以∠ACF=∠AFC,∠BDF=∠BFD.因为∠ACF=∠OFC,∠BDF=∠OFD,所以∠AFC+∠BFD=
∠OFC+∠OFD=∠CFD,而∠AFC+∠BFD+∠CFD=180°,所以∠CFD=90°,故A正确;设|BF|=m,则|AF|=3m,因为=1,即=1,所以m=,即|BF|=,|AF|=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+1=4,x2+1=,于是x1=3,x2=,当A在x轴上方时,可得A(3,2,从而kAB=,当A在x轴下方时,同理可得kAB=-,故C正确;由双曲线的对称性,不妨设A在x轴上方,则M,
所以kMC=-,所以MC与MD不垂直,故B错误;S△AOB=S△OAF+
S△OBF=,故D错误.
5.答案 4
解析 易知圆x2+(y-5)2=4的圆心坐标为(0,5)(记为B),半径为2,与y轴交点的坐标为(0,7),(0,3)(记为C).取AM的中点E,BC的中点D,连接BM,MD,CE,DN,如图所示.
因为C,E分别为AB和AM的中点,所以CE∥BM,|CE|=|BM|=1,所以
∠ACE=∠MBD,
又因为|BM|=|AC|,|BD|=|CE|,
所以△ACE≌△MBD,所以|AE|=|MD|.
因为|AE|=|MA|,所以|MA|=2|MD|,
所以2|MN|+|MA|=2(|MN|+|MD|)≥2|DN|,当且仅当D,M,N三点共线时取等号.
设N(2,m),m≥0,易知D(0,4),则|DN|=,所以当m=2时,|DN|min=2,即2|MN|+|MA|的最小值为4.
6.答案 y2=12x
解析 如图所示,过点M作ME⊥l,垂足为E,ME的延长线交准线l1于点D,∴sin∠MFA=,
由抛物线的定义可得|MF|=|MD|,
∴,即5x0+p,∴x0=3p.
∵点M(x0,6是抛物线上一点,
∴(6)2=2px0,将x0=3p代入,得36×6=6p2,
∴p=6,∴抛物线C的方程为y2=12x.
7.解析 (1)设抛物线形拱桥与水面两交点分别为A,B,以AB的垂直平分线为y轴,拱圈最高点O为坐标原点,建立平面直角坐标系(图略),则A(-12,-8),B(12,-8),
设拱圈所在抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
因为点A(-12,-8)在抛物线上,
所以144=16p,解得p=9,
故拱圈所在抛物线的标准方程是x2=-18y.
(2)在x2=-18y中,当x=3时,y=-0.5,
6.5+1.54-(8-0.5)=0.54≈0.6(m),
故当水位暴涨1.54 m后,船身至少应该降低0.6 m,才能安全通过桥洞.
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