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2025人教B版高中数学选择性必修第一册
专题强化练9 直线与圆锥曲线的综合问题
1.(2024江苏南京第九中学调研)已知椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是( )
A.11 B.12 C.13 D.14
2.(多选题)(2024湖北武汉质检)已知双曲线C:x2-=1,F1,F2为双曲线的左、右焦点,若直线l过点F2,且与双曲线的右支交于M,N两点,则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率为
B.若l的斜率为2,则MN的中点为(8,12)
C.若∠F1MF2=,则△MF1F2的面积为3
D.使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条
3.(多选题)(2023江苏南京师范大学附属中学期中)已知F1,F2分别为椭圆C:+y2=1的左、右焦点,不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P,Q两点,则下列结论正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.椭圆C的长轴长为2
C.若点M是线段PQ的中点,则MO的斜率为-
D.△OPQ的面积的最大值为
4.(2024山东大联考)已知双曲线=1(b>0)的右焦点到其一条渐近线的距离等于,抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合,则抛物线上一动点M到直线l1:4x-3y+8=0和l2:x=-3的距离之和
的最小值为( )
A.
5.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,若直线l:y=kx,k∈与双曲线C交于M,N两点,且MF1⊥NF1,则双曲线C的离心率e的取值范围是( )
A.(1,2) B.[,2)
C.[+1]
6.(2024江苏南京六校联合体期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)经过点P(4,6),且离心率为2.
(1)求C的方程;
(2)过点P作y轴的垂线,交直线l:x=1于点M,交y轴于点N.设点A,B为双曲线C上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=2,求.
7.(2022湖南湘东九校期末)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线l,交椭圆于A,B两点,△F2AB的周长为8,且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过坐标原点O作直线l的垂线,交椭圆于P,Q两点,试判断是不是定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
8.(2024江苏扬州中学月考)已知椭圆C1:=1和抛物线C2:y2=-2px(p>0),点F为C1的右焦点,点H为C2的焦点.
(1)过点F作C2的切线,切点为S,|SH|=,求抛物线C2的方程;
(2)过点H的直线l交C2于P,Q两点,点M满足(O为坐标原点),且点M在线段x=1上,记△PQM的面积为S1,△PFH的面积为S2,求的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练9 直线与圆锥曲线的综合问题
1.C 2.BCD 3.ACD 4.D 5.D
1.C 由题意得a=2c,所以b=c.
连接AF1,则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c,所以△AF1F2为正三角形.
又因为直线DE过F1且垂直于AF2,所以∠DF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=(x+c).
设D(x1,y1),E(x2,y2),
由得13x2+8cx-32c2=0,
则x1+x2=-,
所以|DE|==6,解得c=,所以a=.连接DF2,EF2,
易知直线DE垂直平分AF2,所以△ADE的周长等于△F2DE的周长,为4a=13.故选C.
2.BCD 对于A,由双曲线方程得a=1,b=,故c=2,则e=2,故A错误.
对于B,易得直线l的方程为y=2(x-2),与双曲线方程联立,化简得x2-16x+19=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=16,所以y1+y2=2x1-4+2x2-4=2(x1+x2)-
8=24,故MN的中点为(8,12),故B正确.
对于C,由双曲线定义得|MF1|-|MF2|=2,在△F1MF2中,由余弦定理得cos∠F1MF2=,即,所以|MF1|×|MF2|=12,所以△MF1F2的面积为,故C正确.
对于D,当直线MN⊥x轴时,|MF1|=|NF1|,此时△MNF1为等腰三角形.
根据双曲线定义得|MF1|-|MF2|=2,|NF1|-|NF2|=2,两式相加,得|MF1|+|NF1|=4+|MF2|+|NF2|=4+|MN|.
不妨设M(x3,y3),N(x4,y4)(x3>0,y3>0,x4>0,y4<0),
若|MF1|=|MN|,则|NF1|=4,所以
即N,此时△MNF1为等腰三角形;
若|NF1|=|MN|,则|MF1|=4,所以
即M,此时△MNF1为等腰三角形.
综上,使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条,故D正确.
故选BCD.
3.ACD 易得a2=2,b2=1,所以2a=2,c2=1,
所以离心率e=,故A正确,B错误.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),将P,Q的坐标分别代入+y2=1,得
两式相减,得+(y1+y2)·(y1-y2)=0,即,
即kOM·kPQ=-,因为kPQ=kl=1,所以kOM=-,故C正确.
设直线l:y=x+m(m≠0),由得3x2+4mx+2m2-2=0,
则Δ=16m2-12(2m2-2)>0,即m2<3.
x1+x2=-,
所以|QP|=,
又点O到直线l的距离d=,
所以S△OPQ=|QP|·d=,
因为,当且仅当m2=时取等号,所以△OPQ的面积的最大值为,故D正确.故选ACD.
4.D 双曲线=1(b>0)的渐近线方程为bx±y=0,右焦点坐标为(,0),依题意得,解得b=,所以抛物线的焦点为(2,0),故p=4,所以抛物线的方程为y2=8x,准线方程为x=-2.
由消去x并整理,得y2-6y+16=0,因为Δ=62-4×16<0,所以直线l1与抛物线y2=8x相离.
记MP⊥l1于点P,MQ⊥l2于点Q,交准线于点N,连接MF,FP,如图,
易得抛物线上一动点M到直线l1:4x-3y+8=0和l2:x=-3的距离之和为|MP|+|MQ|=|MP|+|MN|+|NQ|=|MP|+|MF|+1≥|FP|+1,当且仅当M,F,P三点共线,即FP⊥l1时,等号成立,故(|MP|+|MQ|)min=.故选D.
5.D 易得F1(-c,0).设M(x,y),由题意有N(-x,-y),则
=(-c+x,y).
因为MF1⊥NF1,所以=(-c-x)(-c+x)-y2=0,即x2+y2=c2.
因为M(x,y)在双曲线上,所以=1.
由
又M在直线y=kx上,k∈,
所以k2=-1∈,即
解得2≤e2≤4+2或4-2≤e2≤(舍去),
所以≤e≤+1.
因为直线l与双曲线交于两点,双曲线的渐近线方程为y=±x,所以,所以e=>2,所以2
6.解析 (1)由题意得
所以C的方程为=1.
(2)由题意得M(1,6),N(0,6).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
解法一:①若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,
由消去y得(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0,
所以3-k2≠0且Δ=12(m2-4k2+12)>0,x1+x2=,
所以k1+k2==2,
整理,得(m-4k+2)(x1+x2)+(2k-2)x1x2-8m+16=0,所以(m-4k+2)·
+(2k-2)·-8m+16=0,化简得m2-12m-8k2-12k+2km+36=0,即(m-2k-6)(m+4k-6)=0.
因为直线AB不过点P(4,6),所以m+4k-6≠0,所以m-2k-6=0,即m=2k+6,所以直线AB的方程为y=k(x+2)+6,恒过点(-2,6).
②若直线AB的斜率不存在,则x1=x2,y1+y2=0,
所以k1+k2==2,所以x1=x2=-2,所以直线AB的方程为x=-2,过定点(-2,6).
综上,直线AB恒过点(-2,6)(记为Q).
设点M到直线AB的距离为d1,点N到直线AB的距离为d2,则.
解法二:因为直线AB不过点P(4,6),所以可设直线AB的方程为m(x-4)+n(y-6)=1.
由=1得=1,
所以(y-6)2-3(x-4)2+12(y-6)-24(x-4)=0,
所以(y-6)2-3(x-4)2+[12(y-6)-24(x-4)]·[m(x-4)+n(y-6)]=0,
所以(12n+1)(y-6)2+(12m-24n)(x-4)(y-6)-(24m+3)(x-4)2=0,
所以(12n+1)-(24m+3)=0.
Δ=(12m-24n)2+4(12n+1)(24m+3)>0,
所以k1+k2==2,解得m=-,所以直线AB的方程为-(x-4)+n(y-6)=1,即-(x+2)+6n(y-6)=0,恒过点(-2,6)(记为Q).
下同解法一.
7.解析 (1)由题意得4a=8,则a=2.
∵椭圆经过点(负值舍去),
∴椭圆的方程为=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,代入=1得y2=,所以|AB|=3,|PQ|=4,则.
当直线l的斜率存在时,设直线AB:y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),
将y=k(x+1)代入=1,整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
∴x1+x2=,
∴|AB|==
=4=4.
由AB⊥PQ,得直线PQ:y=-x,代入=1中,
整理得(3k2+4)x2-12k2=0,
∴x3+x4=0,x3x4=-,
∴|PQ|=·|x3-x4|==.
∴.
综上所述,,为定值.
8.解析 (1)由题意可知F(1,0),H.
设切线方程为y=k(x-1),
联立切线方程与抛物线方程可得k2x2-(2k2-2p)x+k2=0.(*)
令Δ=(2k2-2p)2-4k4=-8k2p+4p2=0,所以p=2k2,
则方程(*)可化为x2+2x+1=0,所以x=-1,
所以S(-1,±),故|SH|=,所以p=,所以抛物线C2的方程为y2=-x.
(2)设直线PQ的方程为x=-,
联立直线PQ的方程与抛物线的方程可得y2+2pty-p2=0,故yP+yQ=
-2pt,yPyQ=-p2,从而yp=.
因为,所以xM=-=1,即y0.
因为-,p>0,所以0连接OP,则S1=S△POQ+S△POM=S△POQ=p··p2·|FH|·|yP|=(p+2)·,
所以.
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