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2025人教B版高中数学选择性必修第一册
专题强化练4 对称问题及其应用
1.已知两点P(a,b),Q(b+1,a-1)关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.y=x-1 B.y=x+1
C.y=-x+1 D.y=-x-1
2.(2024安徽县中联盟联考)光线通过点A(2,3),在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(2,2),则反射光线所在直线的方程为( )
A.6x-5y-2=0 B.6x+5y-22=0
C.5x-6y+2=0 D.5x+6y-22=0
3.(2022江苏镇江扬中第二高级中学月考)已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线所在直线为l:y=x+1,则AC所在直线的方程为( )
A.y=2x+4 B.y=x-3
C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0
4.(2024福建南平浦城第一中学期中)已知直线(2a-1)x+(-a+3)y-5=0过定点M,则直线2x-y+3=0关于点M的对称直线的方程为( )
A.x-2y-6=0 B.x-2y=0
C.2x-y-9=0 D.2x-y-3=0
5.入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为( )
A.x-2y+3=0 B.2x-y+3=0
C.2x+y-3=0 D.2x-y+6=0
6.(2024广东肇庆第一中学月考)已知x,y均为正实数,2x+y=2,则
x+的最小值为( )
A.
7.(多选题)(2024山东滕州第一中学月考)已知O为坐标原点,A(3,1),P为x轴上一动点,Q为直线l:y=x上一动点,则( )
A.△APQ周长的最小值为4
B.|AP|+|AQ|的最小值为1+
C.|AP|+|PQ|的最小值为2
D.|AP|+|OP|的最小值为4
8.(2024辽宁五校期末)事实上,很多代数问题都可以转化为几何问题解决,例如,与相关的代数问题,可以转化为点(x,y)与点(a,b)之间的距离的几何问题.已知点M(x1,y1)在直线l1:y=x+2上,点N(x2,y2)在直线l2:y=x上,且MN⊥l1,结合上述观点,的最小值为( )
A. D.5
9.(2023江苏苏州期中)已知点P在直线x-y-1=0上,点A(1,-2),
B(2,6),则|PA|-|PB|取得最小值时点P的坐标为 .
10.(2023辽宁沈阳郊联体月考)已知平面上两点A(4,1),B(0,4),点M在直线l:3x-y-1=0上.
(1)求||MA|-|MB||取得最大值时点M的坐标;
(2)求|MA|+|MB|取得最小值时点M的坐标.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4 对称问题及其应用
1.A 2.C 3.C 4.D 5.B 6.B 7.BCD 8.D
1.A 易知kPQ==-1,∴直线l的斜率为1.
设l的方程为y=x+m.易知PQ的中点坐标为,所以+m,解得m=-1,所以直线l的方程为y=x-1.故选A.
2.C 设点A(2,3)关于直线l的对称点为A'(x0,y0),则故A'(-4,-3).
易知反射光线所在直线经过点A'(-4,-3),B(2,2),所以反射光线所在直线的方程为y-2=(x-2),即5x-6y+2=0.故选C.
3.C 设B关于l:y=x+1的对称点为B'(x,y),则BB'⊥l,且BB'的中点在l上,∴∴B'(1,0).
又B'在直线AC上,A(3,1),
∴直线AC的方程为,即x-2y-1=0.
4.D 由(2a-1)x+(-a+3)y-5=0得a(2x-y)-x+3y-5=0.令所以M(1,2).
设直线2x-y+3=0关于点M的对称直线的方程为2x-y+b=0(b≠3),则M(1,2)到直线2x-y+3=0与2x-y+b=0的距离相等,所以,解得b=3(舍去)或b=-3,所以所求直线的方程为2x-y-3=0.故选D.
5.B 设直线l1:2x-y-3=0与x轴,y轴的交点分别为A,B,则A,B(0,-3).易知点A关于y轴的对称点A1的坐标为,点B关于x轴的对称点B1的坐标为(0,3),且A1,B1在直线l3上,故l3的方程为=1,即2x-y+3=0.故选B.
6.B x+表示点(x,y)(记为P)与(0,0)间的距离和点(x,y)到y轴的距离之和.
如图,作点O关于直线2x+y=2(x>0,y>0)的对称点C,连接PC,则|PO|=|PC|.
设C(x0,y0),则所以C.
过点P作PD⊥y轴于D,过点C作CH⊥y轴于H,连接CD,则|PD|+|PO|=|PD|+|PC|≥|CD|≥|CH|=,所以x+.故选B.
7.BCD 对于A,如图1,易得A(3,1)关于直线l:y=x的对称点为(1,3)(记为A1),关于x轴的对称点为(3,-1)(记为A2),连接A1Q,A2P,A1A2,则|QA|=|QA1|,|PA|=|PA2|,所以△APQ的周长为|PQ|+|QA|+|PA|=|PQ|+|QA1|+|PA2|≥|A1A2|=,当且仅当A1,P,Q,A2四点共线时,等号成立,所以△APQ周长的最小值为2,故A错误.
对于B,设A(3,1)到x轴、直线l:x-y=0的距离分别为d1,d2,则d1=1,d2=,所以|AP|+|AQ|≥d1+d2=1+,所以|AP|+|AQ|的最小值为1+,故B正确.
对于C,|AP|+|PQ|=|A2P|+|PQ|.
设A2(3,-1)到直线l:x-y=0的距离为d3,则d3=,所以|A2P|+|PQ|≥d3=2,所以|AP|+|PQ|的最小值为2,故C正确.
对于D,如图2,作PC⊥l,垂足为C.
因为直线l的斜率k=1,所以∠COP=45°,所以|CP|=|OP|,所以|A2P|+|OP|=(|A2P|+|CP|)≥d3=4,所以|AP|+|OP|的最小值为4,故D正确.
故选BCD.
8.D 表示点M(x1,y1)与点(0,4)(记为A)间的距离,
表示点N(x2,y2)与点(5,0)(记为B)间的距离,所以=|MA|+|NB|.
过点A作AC⊥l1,垂足为C,则|AC|=,又|MN|=,所以MN∥AC,|MN|=|AC|,连接CN,则四边形AMNC为平行四边形,所以|AM|=|CN|,所以=|CN|+|NB|≥|CB|,当且仅当C,N,B三点共线时,等号成立.
易得过点A(0,4)与直线l1垂直的直线的方程为y=-x+4.
由所以C(1,3),
所以|CB|==5,
所以的最小值为5.故选D.
9.答案 (-3,-4)
解析 如图,设点A(1,-2)关于直线x-y-1=0的对称点为E(m,n),则所以E(-1,0).
结合图形可知,当B,E,P三点共线,即点P在点Q的位置时,|PA|-|PB|取得最小值,此时kBQ==2,所以直线BQ的方程为y=2(x+1)=2x+2.
由所以Q(-3,-4).
所以|PA|-|PB|取得最小值时点P的坐标为(-3,-4).
10.解析 (1)设点B(0,4)关于直线l的对称点为C(m,n),则所以C(3,3).
连接MC,AC,易知|MB|=|MC|,所以||MA|-|MB||=||MA|-|MC||≤|AC|,当且仅当A,C,M三点共线时,等号成立.
易得直线AC的方程为2x+y-9=0,
由所以||MA|-|MB||取得最大值时的点M的坐标为(2,5).
(2)结合(1)中的图可知,要使|MA|+|MB|取得最小值,只需A,B,M三点共线.
易得直线AB的方程为3x+4y-16=0,
由所以|MA|+|MB|取得最小值时的点M的坐标为.
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