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2025人教B版高中数学选择性必修第一册
专题强化练5 隐圆问题
1.(2024江苏常州第一中学期中)已知直线l1:x-my-2=0(m∈R)与直线l2:mx+y-2=0交于点A,点B是圆(x+2)2+(y+3)2=2上的动点,O为坐标原点,则|AB|的最大值为( )
A.3
C.5+2
2.(2024安徽合肥巢湖第一中学期中)已知△ABC是底边BC长为2的等腰直角三角形,D是平面ABC内一点,且DB∶DC=∶1,则△ABD面积的最大值是( )
A.
C.
3.(2023河南濮阳部分高中期中)已知在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1,若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|2=12,则实数a的取值范围为( )
A.[1,1+2]
C.(1,1+2]
4.(多选题)(2024浙江杭州重点中学期中)若A,B是平面内不重合的两定点,动点P满足=k(k>0,k≠1),则点P的轨迹是一个圆,该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称作阿波罗尼斯圆.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足=2,点P的轨迹为圆C,则( )
A.圆C的方程为(x-5)2+y2=16
B.设P(m,n),则m2+n2-6m-8n的最大值为20
C.若点P不在x轴上,圆C与线段AB交于点Q,则PQ平分∠APB
D.的最大值为72
5.(2023浙江杭州学军中学期中)已知点A(2,2),B(4,2m),点P在直线x-y+2=0上,若满足=2的点P有两个,则实数m的取值范围为 .
6.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(5,0).若圆M:(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一的点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为 .
7.已知圆O:x2+y2=16,点P(1,2),M,N为圆O上两个不同的点,且=0.
(1)求线段MN的中点S的轨迹方程;
(2)若,求||的最小值.
8.(2023山东潍坊诸城第一中学期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,4)与直线l:y=x-1,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.
(1)若点P(2,2)在圆C上,求圆C的方程;
(2)若圆C上存在点M,使得3|MO|=|MA|,求圆心C的横坐标的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练5 隐圆问题
1.C 2.A 3.B 4.ACD
1.C 由题意可得直线l1过定点(2,0),直线l2过定点(0,2),记M(2,0),N(0,2).由1×m+(-m)×1=0知l1⊥l2,又直线l1与l2交于点A,∴点A在以MN为直径的圆上,且此圆的圆心为(1,1)(记为C),半径r1=,故点A的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=2(x≠0且y≠0).
圆(x+2)2+(y+3)2=2的圆心为(-2,-3)(记为D),半径r2=,∴圆C与圆D外离,
∴|AB|的最大值为|CD|+r1+r2=5+2.故选C.
2.A 取BC的中点O,连接OA,以O为坐标原点,BC所在直线为x轴,
OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图,则A(0,1),B(-1,0),
C(1,0).
设D(x,y),因为DB∶DC=∶1,所以(x+1)2+y2=3(x-1)2+3y2,即(x-2)2+y2=3,所以点D的轨迹是以(2,0)为圆心,为半径的圆.
易得直线AB的方程为x-y+1=0,|AB|=.
设圆心(2,0)到直线AB的距离为d,则点D到直线AB的最大距离为d+,所以△ABD面积的最大值为.故选A.
3.B 设M(x,y),由|MA|2+|MB|2=12,得(x-2)2+y2+x2+(y-2)2=12,整理得(x-1)2+(y-1)2=4,∴点M的轨迹(记为圆C')方程为(x-1)2+(y-1)2
=4.
又点M在圆C上,∴圆C和圆C'相交或相切,
∴1≤≤3,即|a-1|≤2,
∴1-2≤a≤1+2.故选B.
解后反思 对于定点A,B,若动点M满足|MA|2+|MB|2=a(a>0),则动点M的轨迹一般为圆.
4.ACD 设P(x,y),由=2得=4,即(x-5)2+y2=16,故A正确.
m2+n2-6m-8n=(m-3)2+(n-4)2-25,故m2+n2-6m-8n表示圆C上的点P到点(3,4)的距离的平方减去25.
易得圆C上的点P到点(3,4)的距离的最大值为,所以(m-3)2+(n-4)2-25的最大值为16+11,故B不正确.
易得Q(1,0),所以=2,所以PQ平分∠APB,故C正确.
因为|·||·cos∠APB,=2,
所以|·||·cos∠APB,
当同向共线时,cos∠APB=1,且|PB|有最大值6,所以|·||=12×6=72,故D正确.
故选ACD.
5.答案 (-∞,-2-2)∪(2-2,+∞)
解析 设P(x,y),则=(4-x,2m-y).
由=2,得(2-x)(4-x)+(2-y)(2m-y)=2,整理得(x-3)2+(y-m-1)2
=m2-2m+4,
易知m2-2m+4>0恒成立,所以点P的轨迹为圆,其方程为(x-3)2+(y-m-1)2=m2-2m+4,记此圆为圆C.
又点P在直线x-y+2=0上,所以直线x-y+2=0与圆C相交,故,解得m<-2-2或m>2-2.故实数m的取值范围为(-∞,-2-2)∪(2-2,+∞).
6.答案 ±或±
解析 设P(a,b),则直线PA的方程为y=(x+1),其在y轴上的截距为,直线PB的方程为y=(x-5),其在y轴上的截距为-.
若点P(a,b)满足使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则有=5,整理可得b2+(a-2)2=9,则点P在圆(x-2)2+y2=9(y≠0)上.
若圆M:(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一的点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则圆M与圆(x-2)2+y2=9有且仅有一个公共点,即两圆内切或外切或圆(x-2)2+y2=9与圆M:(x-4)2+(y-m)2=4相交于点B.
又两圆圆心距为≥2,故两圆只能外切,
则有4+m2=25,解得m=±,
验证可得,当m=±时,两个圆的切点不是A,B点,故m=±成立;
若圆(x-2)2+y2=9与圆M:(x-4)2+(y-m)2=4相交于点B,则B在圆M上,
则有(5-4)2+m2=4,解得m=±.
综上,m=±或m=±.
7.解析 (1)如图,因为=0,所以PM⊥PN.
连接OS,OM,PS,则OS⊥MN,所以|OS|2=|OM|2-|MS|2=16-|MS|2,又△PMN为直角三角形,所以|MS|=|PS|,故|OS|2=16-|PS|2①.
设S(x,y),则由①可得x2+y2=16-[(x-1)2+(y-2)2],整理得,从而点S的轨迹是以为圆心,为半径的圆,其方程为.
(2)记T.易得点P(1,2)在圆的内部,所以|PS|min=,
因为,所以|.
8.解析 因为圆心在直线l:y=x-1上,所以不妨设圆心C的坐标为(a,a-1),因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-a)2+(y-a+1)2=1.
(1)因为点P(2,2)在圆C上,所以(2-a)2+(2-a+1)2=1,解得a=2或a=3,故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1或(x-3)2+(y-2)2=1.
(2)不妨设M(x0,y0),则(x0-a)2+(y0-a+1)2=1.
由3|MO|=|MA|,A(0,4),可得3,化简得,从而M(x0,y0)在圆心为,半径为的圆上.记P,故M(x0,y0)为圆P:x2+与圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1的公共点,即圆x2+与圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1相交或相
切,从而≤|PC|≤,即,解得-≤a≤0或≤a≤2,故圆心C的横坐标的取值范围为.
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