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2025人教B版高中数学选择性必修第一册
专题强化练6 椭圆的综合问题
1.(2024江苏泰州口岸中学期中)如图,某同学用两根木条钉成十字架,制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽,在另一活动木条的P处钻一个小孔,可以容纳笔尖,A,B各在一条槽内移动,且PA与PB的长度不变,此时P处笔尖就画出一个椭圆E.已知|PA|=3|AB|,且P为右顶点时,B恰好在O点,则E的离心率为( )
A.
2.(2024福建龙岩一级校联盟期中)已知O是坐标原点,F1,F2是椭圆C:=1的左、右焦点,P是椭圆在第一象限内的点,且cos∠F1PF2
=,M是∠F1PF2的平分线上的动点,则|MF1|+|MO|的最小值为( )
A.
C.2 D.3
3.(多选题)(2024山东青岛期中)通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆C:=1(a>b>0),A1,A2分别为左、右顶点,B1,B2分别为上、下顶点,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有( )
A.|A1F2||F1A2|=4|F1F2|2
B.∠F1B1A2=90°
C.四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1,F2
D.PF1⊥x轴,且PO∥A2B1
4.(2022江西南昌期末)设F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使线段PF1的垂直平分线经过点F2,则离心率e的取值范围是( )
A.
5.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M,N是椭圆=1上的两个动点,动点P满足,直线OM与直线ON的斜率之积为-2,存在两定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值,则该定值为( )
A.4
6.(多选题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则( )
A.离心率e的取值范围为
B.当离心率e=时,|QF1|+|QP|的最大值为4+
C.存在点Q使得=0
D.的最小值为1
7.(2024福建福州外国语学校期中)过椭圆=1上一动点P分别向圆C1:(x+3)2+y2=4和圆C2:(x-3)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2+2|PN|2的最小值为 .
答案与分层梯度式解析
专题强化练6 椭圆的综合问题
1.C 2.A 3.BC 4.C 5.A 6.BD
1.C 设|AB|=x,x>0,则|PA|=3x.
当A滑动到O时,P为上顶点或下顶点,则b=|PA|=3x,又当P为右顶点时,B恰好在O点,所以a=|PB|=4x,所以c=x,故离心率e=.故选C.
2.A 由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4,F1(-,0).
由余弦定理得cos∠F1PF2=,
所以|PF1|=3,|PF2|=1,所以PF2⊥x轴,即P(,1).
设∠F1PF2的平分线与x轴相交于N(x0,0),由三角形角平分线定理得,所以N,故∠F1PF2的平分线所在直线的方程为x-y-1=0,记为l.
易得原点O(0,0)关于直线l的对称点为,记为O1,连接MO1,F1O1,则|MF1|+|MO|=|MF1|+|MO1|≥|F1O1|=.故选A.
3.BC 易得A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b),F1(-c,0),F2(c,0).
对于A,若|A1F2||F1A2|=4|F1F2|2,则(a+c)2=(4c)2,即a+c=4c,故a=3c,所以e=,故A不符合题意.
对于B,易得=(a,-b),因为∠F1B1A2=90°,所以=ac-b2=ac-a2+c2=0,即e2+e-1=0,解得e=(负值舍去),故B符合题意.
对于C,若四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1,F2,则×c=ab,即(2a2-c2)c2=a2(a2-c2),整理得c4-3a2c2+a4=0,所以e4-3e2+1=0,解得e2=(舍去)或e2=,所以e=,故C符合题意.
对于D,当PF1⊥x轴,PO∥A2B1时,P,所以kOP=,又,所以-,整理得b=c,所以a=c,所以e=,故D不符合题意.
故选BC.
4.C 由题意得F1(-c,0),F2(c,0),
设点P,PF1的中点为K,则K,
∵=-1,即=-1,
∴m2=-≥0,∴a4-2a2c2-3c4≤0,
∴3e4+2e2-1≥0,∴e2≥,∴e≥.
又∵e∈(0,1),∴≤e<1.
5.A 设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2).
由,得
因为点N在椭圆=1上,所以=1,
所以=1,即2x2+y2-8x1x-4y1y+8=4.
将代入上式,得2x2+y2-8x1(2x1+x2)-4y1(2y1+y2)+8=4,即2x2+y2-4(2x1x2+y1y2)-4(2)=4.
因为点M在椭圆=1上,所以=1,即2=4,所以2x2+y2-4(2x1x2+y1y2)-16=4.
因为直线OM与直线ON的斜率之积为-2,所以=-2,所以2x1x2+y1y2=0,所以2x2+y2=20,
故动点P的轨迹方程为=1,其轨迹为椭圆,
所以|PF1|+|PF2|=2.故选A.
6.BD 由题意可得2a=4,所以a=2,由点P(,1)在椭圆内部可得<1,所以2对于A,e=,故A错误.
对于B,当e=时,c=,|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≤2a+|PF2|=4+,故B正确.
对于C,由A知0对于D,=1,当且仅当|QF1|=|QF2|=2时等号成立,故D正确.故选BD.
7.答案 90
解析 ∵a2=36,b2=27,∴c==3,
圆C1的圆心为C1(-3,0),半径为2,圆C2的圆心为C2(3,0),半径为1,
易知C1(-3,0),C2(3,0)为椭圆的两个焦点,如图所示:
|PM|2+2|PN|2=|PC1|2-4+2(|PC2|2-1)=|PC1|2+2|PC2|2-6,
根据椭圆的定义得|PC1|+|PC2|=2a=12,
设|PC2|=t,则a-c≤t≤a+c,即3≤t≤9,
则|PM|2+2|PN|2=(12-t)2+2t2-6=3t2-24t+138=3(t-4)2+90,
∴当t=4时,|PM|2+2|PN|2取得最小值,且最小值为90.
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