2023-2024学年湖南省岳阳市湘阴一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省岳阳市湘阴一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则它在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.如图，已知轴，轴，是用斜二测画法画出的的直观图，那么是( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 钝角三角形
5.设函数，则下列叙述正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在上的最小值为 D. 的图象关于点对称
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为，从处向正东方向走米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为米( )
A.
B.
C.
D.
8.已知圆锥的轴截面为，为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分图中的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的倍，，则下列说法正确的是( )
A. 弧长度为
B. 曲池的体积为
C. 曲池的表面积为
D. 三棱锥的体积为
10.设，是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，在梯形中，，，，，，，分别在线段，上，且线段与线段的长度相等，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的值域是______．
13.已知平面向量，若，则 ______．
14.函数，方程有个实数解，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，，是边的中点，求的长．
16.本小题分
已知函数．
若的定义域和值域均是，求实数的值；
若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在高为的正三棱柱中，，是棱的中点．
求该正三棱柱的体积；
求三棱锥的体积；
设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，；已知
求角的大小；
若外接圆的半径为，求面积的最大值．
19.本小题分
在中，．
证明：为的重心．
若，，求的最大值，并求此时的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则它在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，或，
或，
又，
，解得．
故选：．
先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于的不等式组，解之即得．
本题主要考查了集合的并集运算及包含关系的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意知向量，，
故由，得，．
故选：．
根据向量共线的坐标表示，列式计算，即得答案．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由轴，轴，知，
所以是直角三角形．
故选：．
由轴，轴，知，进而判断的形状即可．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，的最小正周期，故A错误；
对于，，直线不是的图象的对称轴，故B错误；
对于，时，，
，，
在上的最小值为，故C错误；
对于，，，
的图象关于点对称，故D正确．
故选：．
根据正弦型函数的周期性、对称性、值域逐项判断即可得结论．
本题考查正弦型函数的性质的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
分别利用函数单调性判断出、、的范围，即可得到答案．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设铁塔的高度为米，
由题意可得：，
在中，由余弦定理，
即，解得．
故选：．
设铁塔的高度为，用表示出和，在中利用余弦定理即可求出．
本题考查了余弦定理的应用，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，如图，圆锥的轴截面为，设内切球与相切于点，内切球的半径为，
因为，所以．
由内切球的表面积为，则有，
解可得：，则，
故圆锥的高为，圆锥的底面半径为，
所以该圆锥的体积．
故选：．
根据题意，作出圆锥的轴截面图，设内切球与相切于点，内切球的半径为，由球的表面积公式求出的值，进而由球的体积公式计算可得答案．
本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥与球的位置关系，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，
因为弧长度是弧长度的倍，底面扇环所对的圆心角为，
所以，即，
所以，解得，，
所以弧长度为，选项A正确；
该曲池的体积为，选项B错误；
曲池的表面积为，选项C错误；
三棱锥的体积为，选项D正确．
故选：．
设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，根据题意列方程组求出、，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了简单几何体的结构特征应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：若，故，故A正确；
若，，则，而，故B错误；
，
则，，
故，故C正确；
若，，则，而，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，
则，，，，，
所以，
对于，：，故A错误，B正确；
对于：，
当时，取得最大值，且最大值为，故C正确．
对于：，
当时，取得最大值，且最大值为，故D正确．
故选：．
建立平面直角坐标系，由数量积的坐标运算及函数的值域求法即可判断；由三角形的面积公式及二次函数的最值即可判断．
本题考查平面向量的数量积运算，三角形的面积公式，涉及二次函数的值域，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：令，
，
所以，，
对称轴，
所以，
即函数的值域是
换元法，令，把函数换元成二次函数，利用二次函数求得值域．
本题考查三角函数求最大值和最小值，属于中档题目．
13.【答案】
【解析】解：平面向量，，
则，即，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：方程有个实数解，等价于函数的图象与直线有个公共点，因当时，在上单调递减，在上单调递增，，，
当时，单调递增，取一切实数，
在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图：
由图象可知，当时，函数的图象及直线有个公共点，方程有个解，
所以的取值范围为．
故答案为：．
根据给定条件将方程的实数解问题转化为函数的图象与直线的交点问题，再利用数形结合思想即可作答．
本题考查了学生数形结合思想，将原题转化为函数的图象与直线有个公共点，属于中档题．
15.【答案】解：由于，利用正弦定理，
，
故，由于，
故A．
由于为的中点，利用，
故，
故AD．
【解析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果；
利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点，三角函数的关系式的变换，正弦定理，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：，则的开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，
则，解得．
，又在上单调递增，
则在上单调递增，且，
所以当时，，
又因为在上单调递减，且，，
所以当时，，
因为对任意的，都存在，使得成立，
则，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
【解析】先确定单调性，根据单调性列方程组求解；
求出函数和的值域，根据题意得到值域之间的包含关系，再列不等式求解．
本题考查了函数定义域和值域的求法，函数恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：因为在高为的正三棱柱中，，是棱的中点．
所以，
即．
因为，，
所以．
将侧面绕旋转至与侧面共面，
为棱的中点，为棱上一点，
如图所示．
当，，三点共线时，取得最小值，
且最小值为．
【解析】直接利用柱体体积公式即可求解；
利用割补法求锥体体积即可；
将侧面绕旋转至与侧面共面，当，，三点共线时，取得最小值．
本题考查柱体，锥体的体积计算以及利用展开思想求线段的最值，属于中档题．
18.【答案】解：在中，由正弦定理得，得，
又，
即，
，又，．
结合由正弦定理可知，
由余弦定理可知，
所以当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为．
【解析】利用正弦定理以及两角和与差的三角函数转化求解即可．
通过正弦定理求解，然后利用余弦定理以及基本不等式求出，然后求解三角形的面积．
本题考查正弦定理以及余弦定理以及基本不等式的应用，是基本知识的考查．
19.【答案】证明：设的中点为，则，
因为，所以，可得，
由此可得、、三点共线，即点在的中线上．
设的中点为，的中点为，同理可证点在的中线、上，
所以点为三条中线的交点，即为的重心．
解：由知，因为，所以．
因为，所以，
设，则，，
由余弦定理，得，，
则．
设，
可得，
当，即时，取得最大值，且最大值为，
此时，解得，
所以．
【解析】设、、分别为、、的中点，利用向量的加法与三角形中线的性质，证出，可得，所以点在的中线上，同理证出点在另外两条中线上，进而可得点是三条中线的交点，证出结论；
分别在与中利用余弦定理，证出，从而设，，，利用两角和的正弦公式化简得到用表示的式子，进而根据正弦函数的性质算出的最大值，然后在中利用余弦定理求出的长．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、余弦定理及其应用、三角恒等变换公式与正弦函数的最值等知识，属于中档题．
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